数検4級 割合の連立方程式｜増減の前後を区別して基準量から式を作る｜武蔵野個別指導塾

人数の増減を元の人数と分け、割合の基準を表にして立式する手順をたどり、基準から読み解く割合の連立方程式です。

よくあるのは、増えた人数を元の人数に足せない集計紙の前で、式が止まる場面です。増加分が元の人数の何割かはわかっても、その数だけを変化後の人数として扱うと、集計の意味が変わってしまいます。元の人数、増減した人数、変化後の人数を別々の欄に置けば、どの数を足し、どの数を比べるかが見えてきます。

ここでは2つの集団の人数を文字で表し、増減と割合を使って連立方程式を作ります。人数は整数であることも、求めた後に確かめます。濃度を混ぜる問題には広げません。

問題文のどこを式にするか

1つ目の型は、2つの集団の元の合計と、それぞれの増減後の合計が与えられる型です。例えば片方が元の人数の2割増、もう片方が1割減なら、元の合計と変化後の合計が2本の式を作る手がかりです。増えた側には元の人数に増加分を足し、減った側には元の人数から減少分を引きます。

2つ目の型は、元の合計と、増加分と減少分の合計が与えられる型です。こちらでは変化後の合計を式にするのではありません。「増えた人数と減った人数を合わせて」とあれば、変化した人数どうしを足します。減った人数を正の人数として数えていることにも注意します。

3つ目は、変化後の人数の間に差や比べ方が示される型です。どちらが何人多いのかを言葉の順に読み、変化後の人数どうしを比べます。いずれも、まず文字が何を指すかを決めてから、2つの条件を別々に式にするのが出発点です。

基準と変化を表で分ける

割合は、比べる量を基準にする量で割ったものです。元の人数を x 人とし、その2割が増えたなら、増加分は 0.2x 人です。増加後は増加分だけではなく、元の x 人と合わせた x + 0.2x = 1.2x 人です。1.2は元の人数を1としたときの、増加後の割合を表します。

一方、元の人数を y 人とし、その1割が減ったなら、減少分は 0.1y 人です。残った人数は y − 0.1y = 0.9y 人です。図1のように、基準、変化した人数、変化後を分けて見ると、1.2と0.9が何を表すかを取り違えにくくなります。

図1では増えた場合と減った場合を別々に並べています。増加分 0.2x と増加後 1.2x は異なる量です。同じように、減少分 0.1y と減少後 0.9y も異なります。元の人数が基準と明記されているかを必ず読み、変化後の人数を基準とする別の条件を見つけたら、その量を改めて基準にします。

表を作るときは、行を集団ごとに分け、列を元、増減分、後にします。合計の条件が元の列にあるなら元の列を足し、後の列にあるなら後の列を足します。増減分の列には、増えたか減ったかも書き添えます。数字が多い問題でも、条件がどの列を指すかを先に決めれば、無関係な量を混ぜずに式を作れます。

割合を分数で書いても考え方は同じです。例えば2割は 2/10、1割は 1/10 です。計算の途中で小数と分数を混ぜずにそろえると、どの項に何を掛けたか追いやすくなります。人数を表す文字の意味を途中で変えず、単位も欄の上に書いておきます。割合の基準が各班の元の人数なら、全体の合計に割合を掛けないようにします。

基本例題：元と後の合計を使う

ある集まりのA班とB班の元の人数の合計は90人です。その後、A班は元の人数の2割にあたる人数が増え、B班は元の人数の1割にあたる人数が減りました。変化後の合計は96人です。元の各班の人数を、それぞれ整数と単位で答えましょう。

A班の元の人数を x 人、B班の元の人数を y 人とします。元の合計から、1本目の式は次のようになります。

x + y = 90

図2のように、A班の増加分は 0.2x 人、変化後は 1.2x 人です。B班の減少分は 0.1y 人、変化後は 0.9y 人です。変化後の合計が96人なので、2本目の式を作れます。

1.2x + 0.9y = 96

小数をなくすため、この式の両辺の全体を10倍します。右辺も忘れずに10倍します。

12x + 9y = 960

両辺を3で割って、4x + 3y = 320 です。最初の式を3倍すると、3x + 3y = 270 です。前の式からこの式を引きます。

(4x + 3y) − (3x + 3y) = 320 − 270

x = 50

これを x + y = 90 に代入すると、50 + y = 90 なので y = 40 です。答えはA班50人、B班40人です。

式を解いただけで終わらず、場面に戻します。A班は50人の2割の10人が増えて60人、B班は40人の1割の4人が減って36人です。元は 50 + 40 = 90 人、変化後は 60 + 36 = 96 人となり、どちらの条件にも合います。増減する人数も整数で、減少後の人数も負ではありません。

もし増加分を 1.2x と書くと、元の人数まで増えた人数に含めたことになります。逆に変化後を 0.2x と書くと、元からいた人が消えます。迷ったときは、50人が10人増える例で「増加分は10人、後は60人」と言葉に戻してから文字式を読み直します。

増減分が合計として与えられたら

別の集まりのC班とD班の元の人数の合計は80人です。C班では元の人数の3割にあたる人数が増え、D班では元の人数の2割にあたる人数が減りました。増えた人数と減った人数の合計は20人です。元の各班の人数を、整数と単位で求めましょう。

C班の元の人数を x 人、D班の元の人数を y 人とします。元の合計は x + y = 80 です。増加分は 0.3x 人、減少分は 0.2y 人ですから、もう一方の条件は 0.3x + 0.2y = 20 です。減少分も「何人減ったか」という正の人数として足しています。

2本目の式を10倍すると 3x + 2y = 200 です。1本目を2倍した 2x + 2y = 160 を引けば x = 40 です。これを元の合計の式へ戻すと y = 40 です。答えはC班40人、D班40人です。

C班は12人増え、D班は8人減ります。増減した人数の合計は 12 + 8 = 20 人で、元の合計も80人です。変化後は52人と32人なので合計84人です。20人は変化後の合計ではなく、増減した人数の合計だと確かめられます。

ここが式の分かれ目です。「変化後の合計」なら 1.3x + 0.8y、「増加分と減少分の合計」なら 0.3x + 0.2y です。また「全体で何人増えたか」なら増加分から減少分を引き、0.3x − 0.2y と表します。問題文の合計が何の合計かを丸で囲み、表の対応する欄だけを使います。

誤答から基準を探し直す

基本例題で、変化後の合計を 0.2x + 0.1y = 96 とする誤りを考えます。この左辺はA班の増加分とB班の減少分を足したもので、変化後の人数の合計ではありません。さらに、減少分を足しているので、全体が何人増えたかも表していません。

図3のように、まず変化した人数と変化後の人数を別の場所へ書きます。A班の後は x + 0.2x、B班の後は y − 0.1y です。2つの後の人数を合わせれば 1.2x + 0.9y = 96 と修正できます。

別の誤りに、減少後を 1.1y とするものがあります。1.1y は元より1割多い人数です。減るときは元の1から割合を引くので 0.9y です。割合を使う前に、後の人数が元より大きいはずか小さいはずかを予想すると、符号の誤りに気づけます。

小数を消す操作にも注意が必要です。例えば 1.2x + 0.9y = 96 の両辺を10倍するなら、左辺の2項と右辺の96をそれぞれ10倍します。1項だけを変えると、等しい関係が保たれません。式を解いた後に元の合計と変化後の合計の両方へ戻せば、途中の符号や掛け忘れを探す手がかりになります。

計算結果が分数の人数になった場合も、そのまま答えにしません。まず式と計算を見直し、それでも条件から整数にならないなら、その条件を満たす人数はありません。勝手に丸めると元の合計や割合が変わることがあるためです。減った人数が元の人数を超える場合や、求めた人数が負の場合も、場面の条件に戻して判断します。

自分で立てる4問

次の各問では、元の人数を求め、整数と単位で答えてください。増減する人数も整数とします。条件を満たす人数がない場合は、その理由を答えてください。

1. 読書会のE組とF組の元の合計は70人です。E組は元の2割にあたる人数が増え、F組は元の1割にあたる人数が減り、後の合計は72人でした。元の各組の人数を求めましょう。
2. 制作班のG組とH組の元の合計は60人です。G組は元の1割にあたる人数が増え、H組は元の2割にあたる人数が減りました。増えた人数と減った人数の合計は9人です。元の各組の人数を求めましょう。
3. 合唱のI組とJ組の元の合計は100人です。I組は元の2割にあたる人数が増え、J組は元の2割にあたる人数が減りました。変化後のI組は変化後のJ組より24人多くなりました。元の各組の人数を求めましょう。
4. 清掃のK組とL組の元の合計は11人です。K組は元の2割にあたる人数が増え、L組は元の2割にあたる人数が減り、後の合計は12人でした。条件を満たす元の各組の人数があるか調べましょう。

解答と場面への戻し方

1. E組を x 人、F組を y 人とすると、x + y = 70、1.2x + 0.9y = 72 です。後の式を10倍して 12x + 9y = 720、前の式を9倍して 9x + 9y = 630 とします。引くと 3x = 90 なので x = 30、y = 40 です。E組30人、F組40人です。E組は6人増えて36人、F組は4人減って36人です。元の合計は70人、後の合計は72人となり、増減分も整数です。

2. G組を x 人、H組を y 人とすると、x + y = 60、0.1x + 0.2y = 9 です。後の式を10倍して x + 2y = 90、ここから最初の式を引くと y = 30、したがって x = 30 です。G組30人、H組30人です。増えた3人と減った6人の合計は9人で、元の合計は60人です。後は33人と24人となり、減少分を後の人数と混同していないことも確認できます。

3. I組を x 人、J組を y 人とすると、x + y = 100、1.2x − 0.8y = 24 です。後の式を10倍し、4で割ると 3x − 2y = 60 です。前の式を2倍して加えると 5x = 260、x = 52、y = 48 です。しかし増減する人数はそれぞれ 10.4人、9.6人となり、整数ではありません。元の人数だけは整数でも、増減する人数の条件に合わないため、答えとなる人数はありません。

4. K組を x 人、L組を y 人とすると、x + y = 11、1.2x + 0.8y = 12 です。後の式を10倍し4で割ると 3x + 2y = 30 です。前の式を2倍した 2x + 2y = 22 を引くと x = 8、y = 3 です。ところが増加分は1.6人、減少分は0.6人で、人数として整数になりません。元の合計と後の合計の式は満たしても、増減する人数の条件を満たさないので、答えとなる人数はありません。

解答の最後では、式への代入に加えて、元の合計、増減した人数、変化後の人数を問題文に照らします。条件に合わないときは、どの量が整数にならないかを示すと、計算間違いと条件そのものの不一致を区別できます。

覚えておくこと

元の人数を文字にし、増減分と変化後を分けます。
増加後は元に増加分を足し、減少後は元から減少分を引きます。
何の合計や差かを確かめて2本の式を作ります。
答えは場面へ戻し、人数の整数性も調べます。

手が止まった場所を見分ける

式が立たないときは、まず各文字が元と後のどちらの人数かを、お子さま自身の言葉で説明してみます。増加分は書けるのに後の人数が書けないなら、元の人数を表に残し、増加分を足すところへ戻ります。式は立つのに答えが合わないなら、両辺の全項に同じ数を掛けたか、引き算の符号が正しいかを順に追います。

個別指導で確かめる場合も、正解の式を先に示すより、問題文の「合計」が元、変化分、変化後のどれにかかるかを指さして説明してもらうと、戻る場所が明確になります。整数の答えが出ても増減分が人数として成立するかを最後に照合すれば、式と場面のずれを見逃しにくくなります。割合の基準を決めることが、人数の変化を読む一歩です。