数検4級 速さの連立方程式｜時間と道のりの単位をそろえて条件へ戻す｜武蔵野個別指導塾

出会うまでの道のりの和と、追いつくまでに縮まる間隔を表で整理し、分と時間をそろえて解く速さの連立方程式です。

よくあるのは、分と時間を混ぜた移動の表を前に、どの数を掛けるか迷う場面です。時速で表された速さに、経過した分数をそのまま掛けると、道のりの単位がそろいません。まず速さと時間の組を見て、2人がどれだけ進んだかを同じ単位で表しましょう。式を解いた後は、それぞれの道のりを元の位置関係に戻して確かめます。

移動の条件をどう読むか

速さの連立方程式では、2つの未知の速さを文字で置き、移動の条件を2本の式にします。最初に読むべきものは、数字の大小ではなく、どこからどちらへ動き、どの時点を比べているかです。速さは各区間で一定とし、折り返しや途中の停止がある場合は、その区間を分けて考えます。

出会いの型では、向かい合う2人が同時に出発すると、出会うまでに進んだ道のりの和が、出発地点の間隔になります。両者が同じ時間だけ進むことと、進んだ距離を足すことを別々に確認します。出発時刻が異なるなら、それぞれの移動時間も異なります。

追いつきの型では、同じ向きに進む2人の位置を比べます。後ろの人が先の人に追いつくまでに余分に進んだ道のりは、初めの間隔に等しくなります。道のりを単に足すのではなく、後ろの人の道のりから先の人の道のりを引きます。どちらを引くかは、追いつく側が長く進むことから決めます。

もう1つは、同じ道を別々の条件で進む型です。たとえば2人の速さが同じ道のりに対する異なる時間で示されるとき、道のりが等しいという条件から式を作れます。どの型でも、問題の2つの条件がそれぞれ何を表すかを言葉で書き、その後に文字式へ直すと整理しやすくなります。

表に置くのは速さ・時間・道のり

速さ、時間、道のりの関係は「道のり = 速さ × 時間」です。時速が km で1時間に進む道のりを表すなら、掛ける時間は時間単位にします。分速が m で1分間に進む道のりを表すなら、時間は分単位にします。表の1行には同じ人の、同じ移動区間の値を入れます。

図1のように、時速 x kmで30分進む行では、30分を 1/2 時間に直し、道のりを x/2 kmと表します。分速 y mで12分進む行は、12y mです。両方の道のりを比べる場合は、さらに kmとmをそろえます。1 kmは1000 mなので、x/2 kmは500x mです。

時間の換算は60で行います。15分は15/60時間、約分して1/4時間です。逆に2時間15分なら2 + 15/60 = 9/4時間です。小数に直しきれない時間も、分数のままで正確に扱えます。時速と分速の換算では、道のりの単位も同時に考えます。時速3 kmは1時間に3000 mなので、分速50 mです。

文字を置くときは単位まで明記します。たとえば「Aの速さを分速 x m、Bの速さを分速 y m」と置けば、8分間の道のりはそれぞれ8x m、8y mです。表は計算の飾りではなく、掛け算に使った時間がその人自身の時間かを点検する場所です。時刻と経過時間を区別し、同時に出発していなければ、同じ時間を両方に入れないようにします。

基本例題：向かい合って出会う

一直線の道で、900 m離れた地点からAとBが同時に向かい合って歩き始め、6分後に出会いました。AはBより分速30 m速く歩きます。2人の速さを、それぞれ分速何mか整数で求めてください。2人の速さは一定とします。

Aの速さを分速 x m、Bの速さを分速 y mとします。図2のように、出会うまでの時間はどちらも6分です。Aの道のりは6x m、Bの道のりは6y mとなります。

出発地点の間を2人の道のりが埋めるので、1つ目の式は次のとおりです。

6x + 6y = 900

両辺を6で割ると、x + y = 150 です。これは速さの和が分速150 mであることを表します。もう1つの条件「AはBより分速30 m速い」から、x − y = 30 です。2式を並べます。

x + y = 150

x − y = 30

辺どうしを足すと、2x = 180 です。両辺を2で割り、x = 90 を得ます。これを x + y = 150 に戻すと、90 + y = 150 なので、y = 60 です。答えはAが分速90 m、Bが分速60 mです。

場面へ戻して確かめます。6分でAは540 m、Bは360 m進み、和は900 mです。また、Aの分速90 mからBの分速60 mを引くと分速30 mとなり、速さの差の条件も満たします。出会う位置はAの出発地点から540 m、Bの出発地点から360 mです。式の解が出ても、和と差のどちらか一方だけを調べて終わらず、両方の条件に戻します。

出発時刻がずれる追いつき

同じ地点からPが先に出発し、一定の速さで歩きます。12分後、Qが同じ向きに一定の速さで出発し、さらに8分後にPに追いつきました。Qの速さはPより分速60 m速いものとします。2人の速さをそれぞれ分速何mか整数で求めてください。

Pの速さを分速 x m、Qの速さを分速 y mとします。追いつくまでにPが歩いた時間は12 + 8 = 20分、Qが歩いた時間は8分です。同じ地点から出て同じ位置に着くので、道のりが等しく、20x = 8y です。もう1つの条件は y − x = 60 です。

20x = 8y を4で割ると、5x = 2y です。y = x + 60 を代入すると、5x = 2(x + 60) となります。括弧を外して 5x = 2x + 120、移項して 3x = 120、したがって x = 40 です。y = 40 + 60 = 100 なので、Pは分速40 m、Qは分速100 mです。

元の場面で、Pは20分に800 m、Qは8分に800 m進みます。速さの差も分速60 mです。Qが出る時点の間隔はPの12分間の道のりで480 mあり、8分間に縮まる間隔は (100 − 40) × 8 = 480 mです。この見方でも一致します。

出会いとの分かれ目は、2人が向かい合うか同じ向きか、また出発地点が同じか異なるかです。同じ地点からの追いつきでは出発からの道のりが等しくなります。別の地点から同時に出る追いつきでは、後ろの人の道のりと先の人の道のりの差が初めの間隔になります。式を書く前に、比べる2つの位置と開始時刻を確かめます。

誤答から時間の単位を直す

基本例題の6分を時間に直さず、速さを時速で置いたまま「6x + 6y = 0.9」とする誤りを考えます。0.9 kmは900 mを直した値ですが、6は6時間を意味してしまいます。道のりをkmにそろえただけでは、時間の単位の不一致は直りません。

図3のように6分は6/60 = 1/10時間です。A、Bの速さをそれぞれ時速 x km、時速 y kmと置くなら、正しい道のりの式は x/10 + y/10 = 0.9 です。分速30 mの差も時速に直すと、1時間では1800 mの差なので、x − y = 1.8 となります。2式から x = 5.4、y = 3.6 です。これはそれぞれ分速90 m、分速60 mに戻ります。

もう1つの誤りは、追いつきの問題で2人の移動時間を両方8分とすることです。Qの出発後の時間は8分ですが、Pにはその前の12分があります。Pの道のりを8xとすると、先に進んだ分が消えてしまいます。時間の欄に出発から到着までを人ごとに書き、20分と8分を使い分けます。

また、2人が向かい合うのに道のりの差を900 mとする間違いもあります。出会うまでの2つの道のりを道の上に並べると、足して出発地点の間隔になるとわかります。式だけを眺めて符号に迷ったら、出発地点と出会う位置を描き、どの部分をつなぐかに戻ります。

条件が足りるかを先に見る

2つの文字を置いたら、問題文の条件が2つの異なる関係を与えるかを調べます。たとえば、同じ地点から同時に出た2人が同じ位置にいたという条件だけでは、同じ時間に進んだ距離は等しいとわかりますが、それぞれの速さの数値までは決まりません。速さの和や差など、もう1つの独立した条件が必要です。条件を探すときは、すでに式にした文に印を付けると、同じ内容を別の言い方で2回使うのを防げます。

出会いまでの時間が問題に示されている場合と、出会うまでの時間自体を求める場合も区別します。ここでは時間が与えられ、速さを2つ求める場面に絞っています。式にした後で負の速さが出た場合は、そのまま答えとせず、進む向きや道のりの差、単位の換算を点検します。正の値が出た場合も、それだけでは十分ではなく、出発時刻と元の間隔に戻して確かめます。

同じ地点から先に出た人に追いつくとき、後から出た人が進んだ時間は、追いついた時刻からその人の出発時刻を引いて求めます。先に出た人の時間に待ち時間を足したり、2人の時間を取り違えたりすると、式は解けても元の場面と合いません。表に記入する前に、出発から追いつくまでの順序を短い線に記すと、時間の数え始めを区別できます。

練習：場面を表に移す

いずれも速さは一定です。答えの速さは分速何mか整数で求め、2つの条件を場面に戻して確かめてください。

1. 780 m離れた地点からCとDが同時に向かい合って歩き、6分後に出会いました。CはDより分速10 m速く歩きます。CとDの速さを求めてください。
2. EとFは同じ地点から同じ向きに歩きます。Eが9分先に出発し、Fが出発してから6分後に追いつきました。FはEより分速90 m速く歩きます。EとFの速さを求めてください。
3. GとHは同じ向きに同時に進みます。HはGより240 m前から出発し、Gは8分後にHに追いつきました。GとHの速さの和は分速180 mです。GとHの速さを求めてください。
4. 1080 m離れた地点からJとKが同時に向かい合って歩き、9分後に出会いました。Jの速さはKの速さの2倍です。JとKの速さを求めてください。

解答と確かめ

1. Cを分速 x m、Dを分速 y mとすると、6x + 6y = 780、x − y = 10 です。前の式を6で割り、x + y = 130 とします。2式を足すと 2x = 140、x = 70、y = 60 です。Cは分速70 m、Dは分速60 mです。6分で420 mと360 m進み、和は780 m、速さの差は分速10 mです。

2. Eを分速 x m、Fを分速 y mとすると、Eの時間は15分、Fの時間は6分です。同じ地点から出て追いつくので、15x = 6y、また y − x = 90 です。前の式を3で割って 5x = 2y、y = x + 90 を代入すると 5x = 2x + 180 です。x = 60、y = 150 となります。Eは分速60 m、Fは分速150 mです。Eは15分で900 m、Fは6分で900 m進み、速さの差は分速90 mです。

3. Gを分速 x m、Hを分速 y mとします。8分間にGが余分に進む道のりが240 mなので、8x − 8y = 240 です。これを8で割ると x − y = 30、速さの和は x + y = 180 です。2式を足すと 2x = 210 なので、x = 105、y = 75 です。Gは分速105 m、Hは分速75 mです。8分間の道のりは840 mと600 mで、その差240 mが初めの間隔に一致します。速さの和も分速180 mです。

4. Jを分速 x m、Kを分速 y mとすると、9x + 9y = 1080、x = 2y です。前の式を9で割り x + y = 120 として、2yを代入すると 3y = 120 です。y = 40、x = 80 なので、Jは分速80 m、Kは分速40 mです。9分間にJは720 m、Kは360 m進み、和は1080 mです。80は40の2倍でもあります。

手元に残す要点

• 時速には時間、分速には分を合わせ、道のりの単位もそろえます。
• 出会いは道のりの和、別地点からの追いつきは道のりの差に注目します。
• 出発時刻が違えば、それぞれの移動時間を書き分けます。
• 解いた速さで移動距離を計算し、元の条件へ戻します。

どこで迷ったかを見分ける

式を作れないときは、まず道の上に出発地点、進む向き、出会う位置を書いてみます。図は描けるのに式が合わないなら、表の各行で速さと時間が同じ人のものかを見ます。式は合っているのに答えが合わないときは、連立方程式の途中式と単位換算を一行ずつたどります。

個別指導で確かめるなら、お子さまに「この6分は誰が動いた時間か」「2つの道のりは足すか引くか」を図を指しながら説明してもらうと、迷いの位置が見えます。答えが条件に戻らない場合も、すぐ計算をやり直すのではなく、時間と位置関係から順に調べます。速さの問題は、移動の場面を道のりの関係に翻訳すると解き進められます。