数検4級 個数と代金の連立方程式｜二つの数量を表にして立式と答えを照合する｜武蔵野個別指導塾

品物の組み合わせを表から式にし、条件に戻して確かめるのは個数と代金です。

よくあるのは、合計金額は合うが個数が違う買い物メモを見直す場面です。品物ごとの個数を変えると、同じ金額になっても、買った品物の合計個数が変わることがあります。金額が一致したところで終えず、個数の条件にも戻して確かめましょう。

2種類の品物が登場するときは、何を文字にするかを最初に決めます。その後、個数の合計と代金の合計を別々の式にします。答えが出たら、品物の数として使える整数かどうかも、問題文と照らして判断します。

買い物の条件はどの形で現れるか

出方の1つは、2種類の品物の単価、合計個数、合計金額から、それぞれの個数を求める形です。たとえば、単価が異なる2種類を合わせて何個買い、いくら払ったかが示されます。合計個数は個数どうしの和、合計金額はそれぞれの単価と個数の積の和です。同じ2文字を使っていても、2つの式が表すものは異なります。

もう1つは、同じ2種類の品物を組み合わせた買い方が2通り示され、各品物の単価を求める形です。この場合、個数は問題文に書かれた数で、文字が表すのは1個あたりの金額です。買い方ごとの合計金額を1本ずつ式にします。文字の意味が個数か単価かを取り違えると、正しく計算しても答えの単位が合いません。

さらに、人数と配る個数の関係から個数の条件を作り、合計金額と組み合わせる形もあります。何人に何個ずつ配るのか、余りがあるのかを読み、品物の総数に直します。文章の順に数を並べるのではなく、何を数えている条件かを見分けることが出発点です。

買い方が2通りある単価の問題では、同じ品物ならどちらの買い方でも同じ単価を使います。1回目の個数と2回目の個数を別々に掛け、それぞれの合計額を右辺に書きます。どちらか一方の式だけでは、単価の組を絞り切れないことがあります。

逆に、計算で得られた数が負の単価になる場合も、普通の購入を表す条件には合いません。計算を丸めたり符号を勝手に直したりせず、まず表と式の対応を点検します。立式と計算が正しく、それでも場面に合わないなら、その条件に合う購入はできないと判断します。

個数と単価を表に分ける

単価は品物1個あたりの代金です。同じ品物を複数個買う代金は、単価に個数を掛けて求めます。2種類を合わせるなら、種類ごとの代金を出し、それらを足します。品物の個数は足せますが、単価どうしを足して合計個数を掛けても、普通は合計代金にはなりません。

図1のように、品物の種類を列に置き、単価と個数を別々の行に書きます。単価を a 円と b 円、個数を x 個と y 個とすると、代金はそれぞれ ax 円と by 円です。合わせた個数は x + y 個、合わせた代金は ax + by 円です。表の縦方向は1種類の「単価×個数」、横方向は2種類の合計を示しています。

文字を置くときには「x は品物Aの個数」のように、何の数で単位が何かまで書きます。x と y を逆に置いてもかまいませんが、表のすべての行で対応を守ります。個数は、問題で0個を許すなら0以上の整数、両方を買うと書かれていれば正の整数です。人数についても、文章で示された人数の範囲を確認します。

式の単位に目を向けると、立式の誤りを見つけやすくなります。x + y が個数を表すなら、右辺も個数です。ax + by が円を表すなら、右辺も円です。数字が2つあるからといって、個数と金額をそのまま足すことはできません。

基本例題：合計個数と代金から探す

問題　1個120円のノートと1個80円の鉛筆を合わせて15個買い、代金は合計1480円でした。ノートと鉛筆をそれぞれ何個買いましたか。答えは整数で、単位を付けて書きなさい。

ノートを x 個、鉛筆を y 個とします。品物を合わせて15個なので、個数の条件は次の式です。

x + y = 15　①

ノートの代金は120x円、鉛筆の代金は80y円です。両方の代金を足すと1480円になるので、金額の条件は次のように書けます。

120x + 80y = 1480　②

図2のように、表の上の段から①、下の代金の段から②を作ります。120と80は単価ですから、個数の式①には掛けません。反対に、代金の式②では、それぞれの個数に対応する単価を掛けます。

②の両辺を40で割ると、計算しやすい式になります。両方の項と右辺を同じ数で割ることに注意します。

3x + 2y = 37　③

①の両辺を2倍すると、y の係数を③にそろえられます。

2x + 2y = 30　④

③から④を引くと、2y が消えます。

3x + 2y − (2x + 2y) = 37 − 30

x = 7

①に x = 7 を代入すると、7 + y = 15 です。したがって y = 8 です。求める個数は、ノート7個、鉛筆8個です。

元の場面へ戻すと、個数は7 + 8 = 15個です。代金は120 × 7 + 80 × 8 = 840 + 640 = 1480円です。どちらの条件にも合い、どちらも正の整数です。金額が合っていても個数が合わなければ、その組はこの問題の答えにはなりません。

たとえばノート3個と鉛筆14個でも、代金は360 + 1120 = 1480円です。しかし合わせると17個です。金額の式だけを満たす組があることからも、2つ目の条件を使う意味が見えてきます。

配る場面では余りを先に読む

問題　ある集まりで、1個90円の消しゴムと1個150円の定規を合わせて買いました。参加者6人に消しゴムを2個ずつ配ると3個余り、定規を1人に1個ずつ配ると2個余りました。購入代金の合計は2550円です。それぞれの購入個数を整数で、単位を付けて答えなさい。

消しゴムを x 個、定規を y 個とします。消しゴムは配った12個に余りの3個を足して15個です。定規は配った6個に余りの2個を足して8個です。代金を確かめると、90 × 15 + 150 × 8 = 1350 + 1200 = 2550円です。答えは消しゴム15個、定規8個で、両方とも正の整数です。

この問題では、配る条件からそれぞれの個数が直接決まります。金額の条件はその結果を確かめるために使えます。連立方程式を作る前に、何がすでに決まるかを読むことも大切です。もし「合わせて23個」と金額だけが与えられていたなら、x + y = 23 と 90x + 150y = 2550 を組にして個数を求められます。元の配り方から作る式と、この2本の式は同じ状況を別の側面から表します。

余りがある場合と足りない場合は符号の分かれ目です。たとえば全員に2個ずつ配るには3個足りないなら、用意した数は人数の2倍から3個を引いた数です。余りなら配った数に足し、足りないなら配るのに必要な数から引きます。何を基準に足し引きするかを言葉で確かめてから式へ移します。

誤答を条件に戻して直す

基本例題で、120x + 80y = 1480 だけを見て、ノート3個、鉛筆14個と答えたとします。図3のように、この組は代金の条件を満たしますが、個数は17個になり、15個という条件を満たしません。金額が正しいことと、問題の答えとして正しいことは別です。

原因は、2つある条件のうち金額しか使っていないことです。修正するときは、個数の条件 x + y = 15 を書き足し、金額の式と同時に成り立つ組を求めます。解いた後も、ノート7個と鉛筆8個を元の買い物に戻し、個数と金額の両方を計算します。

もう1つの誤りは、2種類の単価を足してから合計個数を掛けることです。基本例題で (120 + 80) × 15 とすると、15個のそれぞれに120円と80円の両方を掛けたことになります。品物の内訳に応じて120xと80yを別に作り、その後に足します。合計個数は代金の計算の中で各種類に振り分ける必要があります。

計算の結果が整数でない場合も、そのまま個数として答えてはいけません。文字の定義に戻って、個数を求めているのか金額を求めているのかを確かめます。単価については、問題が円単位の整数と指定しているかも読みます。たとえば1個100円と1個160円の品物を合わせて5個買い、代金が680円だとします。高い方を y 個とすれば 100(5 − y) + 160y = 680 なので y = 3 です。一方、合計が690円という条件なら y = 19/6 となり、品物を整数個ずつ買う条件に合う組はありません。四捨五入して個数に直すと元の金額が変わるため、条件を満たす組がないと判断します。

自分で表を作ってみる

次の問題はそれぞれ独立しています。まず文字の意味と単位を決め、条件を書き出してから解きましょう。個数は整数、単価は円単位の整数として条件に合う組を探してください。そのような組が存在しなければ、計算結果を示して存在しない理由を答えてください。

1. 1個110円のパンと1個70円の焼き菓子を合わせて13個買い、代金は1150円でした。それぞれ何個買いましたか。
2. 同じ種類のカードと封筒について、カード3枚と封筒2枚で460円、カード2枚と封筒5枚で570円でした。カード1枚と封筒1枚の代金をそれぞれ求めなさい。
3. 1本60円の青い花と1本100円の白い花を合わせて12本買います。代金を900円にする買い方はありますか。あるならそれぞれの本数を、ないならその理由を答えなさい。
4. 1個40円の赤い玉と1個70円の黄色い玉を買いました。赤い玉は参加者8人に3個ずつ配ると4個余り、黄色い玉は1人に2個ずつ配るのに3個足りませんでした。購入したそれぞれの個数と、合わせた代金を求めなさい。

練習の答えと解き方

1. パンを x 個、焼き菓子を y 個とすると、x + y = 13、110x + 70y = 1150 です。後の式を10で割って 11x + 7y = 115、前の式を7倍して 7x + 7y = 91 とします。2式を引けば 4x = 24 なので x = 6、y = 7 です。答えはパン6個、焼き菓子7個です。6 + 7 = 13個、110 × 6 + 70 × 7 = 660 + 490 = 1150円で、両条件に合います。

2. カード1枚を x 円、封筒1枚を y 円とすると、3x + 2y = 460、2x + 5y = 570 です。前の式を5倍して 15x + 10y = 2300、後の式を2倍して 4x + 10y = 1140 とします。引き算で 11x = 1160 となり、x = 1160/11 です。これは円単位の整数ではありません。また y = 790/11 円です。したがって指定された整数の単価の組はありません。分数のまま戻すと、3 × 1160/11 + 2 × 790/11 = 460円、2 × 1160/11 + 5 × 790/11 = 570円ですが、整数という条件は満たしません。

3. 白い花を y 本とすれば、青い花は 12 − y 本です。代金から 60(12 − y) + 100y = 900、720 + 40y = 900 となり、y = 9/2 です。本数は整数なので、条件に合う買い方はありません。近い整数の4本では青8本と合わせて880円、5本では青7本と合わせて920円です。どちらも900円にはならず、分数の本数を整数に丸めて答えることもできません。

4. 赤い玉は 8 × 3 + 4 = 28個です。黄色い玉は全員に配るのに必要な16個より3個少ないので、8 × 2 − 3 = 13個です。代金は 40 × 28 + 70 × 13 = 1120 + 910 = 2030円です。赤は24個を配った後に4個残り、黄は13個から全員分の16個をそろえるには3個足りません。どちらも整数で、元の配り方に戻ります。

覚えておくこと

• 個数の合計と代金の合計は別の式にします。
• 各品物の代金は、単価にその品物の個数を掛けます。
• 解を元の場面へ戻し、個数と金額の両方を確かめます。
• 個数や人数は、問題の範囲に合う整数か調べます。

どこで止まったかを見つける

表を作る前に式が止まるときは、求めるものが個数なのか単価なのかを言葉に戻します。単価と個数を掛ける場所があいまいなら、1種類の品物について「1個の値段」と「何個」を指で追い、代金を先に書いてみます。式を解けても答えが合わないときは、2つの条件のどちらを確かめたかを見直します。

個別指導で確かめるなら、計算の正誤に加えて、表の各欄と文章のどの言葉を結び付けたかを尋ねます。お子さまが余りを引いていた場合は、配った数より購入数が多いのか少ないのかから説明してもらいます。分数が出た場合も途中計算を消さず、それが個数として使えるかを問題文に照らします。条件を2本とも通る組が、買い物の答えです。