数検4級 小数と分数の連立方程式｜式全体を整数係数へ直して計算する｜武蔵野個別指導塾

両辺の全項に同じ数を掛ける理由を、括弧や分母の異なる式でたどり、小数と分数の連立方程式を読み解きます。

よくあるのは、片方の項だけ10倍した下書きを見て、どこから計算がずれたのか探す場面です。小数点が消えた項に目が向くと、隣の項や等号の右側が元のままであることを見落としがちです。等式は左右が等しいという約束ですから、一部だけを変えると、その約束を保てるとは限りません。左右の式全体を同じ数倍する手順を、具体的な連立方程式でたどります。

どんな形から始めるか

小数や分数が混ざった連立方程式では、2つの式を同時に成り立たせる x と y を求めます。係数が整数になるように各式を整理すると、その後の加減が見通しやすくなります。整数に直す操作は解く準備であり、整理後も元の2つの式と同じ解を持っていることが必要です。

型の1つは、小数係数を含む式です。例えば 0.2x + 0.3y = 1.1 なら、左右の全項を10倍すると 2x + 3y = 11 です。右辺も10倍するところまでが1つの操作です。小数第2位まであれば100倍を考えますが、すでに整数の項も含めて全体を倍にします。

もう1つは、分母が異なる分数係数の式です。x/2 + y/3 = 2 では、分母2と3の両方で割り切れる6を掛けて 3x + 2y = 12 とします。分母ごとに別々の数を掛けるのではなく、1つの式の両辺に同じ数を掛けます。

括弧が入る型では、括弧の中まで倍率を届けるか、先に分配するかを選びます。どちらも同じ式に戻るように操作します。ここでは式を整理して解くところに絞り、数量の文章から式を作る問題には広げません。

等しいまま整数に直す

等式の両辺に同じ0でない数を掛けると、成り立つ x と y の組は変わりません。掛けた後に同じ数で両辺を割れば元の式に戻せるからです。0を掛けると元に戻せず、条件が失われるので使いません。連立の2つの式は別々の等式です。一方を10倍し、他方を6倍しても、それぞれの両辺に同じ数を掛けていればよいのです。

図1のように、0.2x + 0.3y = 1.1 の左右をひとまとまりとして見ます。左の2項と右の1項のいずれにも10を掛けると、等しさを保ったまま小数が消えます。等号をまたいで右側まで操作が届いているかを、上下の式を見比べて確認しましょう。

分数なら、まず各分母を見て、共通の倍数を探します。例えば分母が4と6なら12を選べます。12は両方で割り切れるので、x/4 は 3x、y/6 は 2y に変わります。整数の項も12倍します。分母をそろえる数が大きすぎると後の計算が長くなるため、最小公倍数を選ぶと便利です。

符号は項に付けて読みます。-y/3 に6を掛けた結果は -2y です。負の符号が分子にあると考えても同じです。整数化した行を元の行と比べ、項の数、符号、右辺の3点を順に点検すると、計算を進める前に抜けを見つけられます。

倍率を決めるとき、すべての式を同じ数倍にそろえる必要はありません。一方に0.1、他方に1/3があれば、前者は10倍、後者は3倍で整数にできます。どちらも元に戻せる操作なので、2つの条件の組合せは変わりません。倍率を書く場所を各式の横に分けると、別の行へ誤って持ち込むことを防げます。

例えば 0.04x − 0.5y = 0.3 なら、100倍して 4x − 50y = 30 です。10倍では 0.4x − 5y = 3 となり、まだ小数が残ります。この行も正しい等式ですが、整数係数にする目的には届いていません。もう10倍すると同じ結果になります。必要な桁を見てから倍率を選び、最後に各係数を確かめます。

分母が4と6の例で24を掛けても、両辺を同じ数倍していれば誤りではありません。12を掛けた結果の各項をさらに2倍した式になるためです。ただし数が大きくなる分、加減の計算も長くなります。最小公倍数を選ぶことは計算を短くする工夫であり、それ以外の共通倍数を使った式が必ず誤りという意味ではありません。

等号の右側に文字や複数の項がある場合も、右辺全体に倍率を掛けます。例えば x/2 = y/3 + 1 の両辺を6倍すると 3x = 2y + 6 です。右辺を6倍する際、y/3 と1の両方を変えます。移項してから整数化してもよいですが、順番を変えたときは符号まで追い、両辺に何をしたかを1行ずつ記録します。

基本例題：小数と分数を別々に整理する

次の連立方程式を解き、x と y をそれぞれ整数で答えましょう。

0.2x + 0.3y = 1.3 ……①
x/2 − y/3 = 0 ……②

①は小数第1位までなので、両辺を10倍します。②の分母は2と3なので、両辺を6倍します。図2のように、各行で使う倍率を分け、右辺まで掛けます。

①の左辺では 0.2x が 2x、0.3y が 3y です。右辺の 1.3 は 13 になります。したがって、

2x + 3y = 13 ……③

②では x/2 に6を掛けると 3x、-y/3 に6を掛けると -2y です。右辺の 0 にも6を掛けます。

3x − 2y = 0 ……④

ここから y を消します。③の両辺を2倍、④の両辺を3倍すると、

4x + 6y = 26 ……⑤
9x − 6y = 0 ……⑥

⑤と⑥の左辺どうし、右辺どうしを足します。6y と -6y が打ち消し合い、

13x = 26

したがって x = 2 です。③に代入すると、

2 × 2 + 3y = 13
3y = 9
y = 3

求めた組は x = 2、y = 3 です。元の式へ戻して確かめます。①の左辺は 0.2 × 2 + 0.3 × 3 = 0.4 + 0.9 = 1.3 です。②の左辺は 2/2 − 3/3 = 1 − 1 = 0 です。両方の条件を満たし、指定された整数の形にも合います。

途中で整数にならない場合でも、すぐに計算を丸めてはいけません。係数を整数に直しても、解が分数になる式はあります。元の2式を満たすかと、問題文が求める答えの形を別々に点検します。

括弧があるときの分かれ目

次の連立方程式を解き、x と y を整数で答えましょう。

0.5(x + y) = 2.5 ……①
(x − y)/3 + y/2 = 2 ……②

①は両辺を2倍すると x + y = 5 ……③ です。括弧の前の 0.5 と2の積が1になるため、括弧の中がそのまま残ります。先に分配して 0.5x + 0.5y = 2.5 としてから2倍しても同じ結果です。

②は両辺を6倍します。(x − y)/3 は 2(x − y)、y/2 は 3y となります。右辺も6倍するので、

2(x − y) + 3y = 12
2x − 2y + 3y = 12
2x + y = 12 ……④

④から③を引くと x = 7 です。③へ戻して 7 + y = 5 なので y = -2 です。元の①では 0.5(7 − 2) = 2.5、②では (7 − (-2))/3 + (-2)/2 = 3 − 1 = 2 となります。2つの条件に戻ったので、求めた組は x = 7、y = -2 です。

括弧の外に倍率が残る場合は、中の全項への分配が必要です。2(x − y) を 2x − y とすると、負の項に2が届いていません。先に分配する場合も、分数の分子全体が括弧になっていることに注意します。元の形で倍率を見失いやすければ、括弧を残した行と分配した行を分けて書くと確認できます。

間違えた行から戻る

0.2x + 0.3y = 1.2 を10倍したつもりで、2x + 0.3y = 1.2 と書く誤りを考えます。左の最初の項だけは10倍ですが、次の項と右辺は変わっていません。図3のように、変わっていない場所を見つけ、元の行まで戻して全項に10を掛け直します。正しくは 2x + 3y = 12 です。

この誤りは、たまたま選んだ値が一方の式に合うかどうかだけでは見つからないことがあります。等式の変形は、特定の数を1回代入する前に、元の式と同じ条件を表しているかを確かめます。左右全体を同じ倍率にする理由を言葉に戻してから、次の行へ進みます。

分数でも失敗の形は似ています。x/2 − y/3 = 1/3 の6倍を 3x − 2y = 1/3 とすれば、右辺を掛け忘れています。正しくは右辺も2です。また、-y/3 の符号を落とすと別の式になります。括弧の中の引き算、係数の負号、右辺の倍率をそれぞれ独立に点検しましょう。

解が分数になった場合は、整数化の失敗だと決めつける前に、両辺への倍率と加減の計算を確認します。係数が整数でも解が整数とは限りません。途中で割り切れなければ分数を保ち、指定があればその形に従います。答えが元の一方にしか合わないときは、もう一方の式を整理した行と代入の符号を調べ直します。

加減の方法を選ぶときは、整数化した2つの式を並べ、同じ文字の係数を比べます。すでに絶対値が等しく符号が反対なら、両式を足すとその文字が消えます。符号も同じなら、一方の式から他方を引く方法があります。係数がそろっていなければ、両式に適切な数を掛けてから足し引きします。掛ける操作と足し引きの操作を同じ行に詰め込まないほうが、誤りの場所を追いやすくなります。

引き算で式全体を引くときは、引かれる側の各項の符号を確認します。例えば 5x + 2y = 9 から 3x + 2y = 5 を引けば、左辺は 5x + 2y − 3x − 2y です。右辺も 9 − 5 とするので、2x = 4 です。最後の項だけを引くわけではありません。符号が見えにくい場合は、引く式を括弧で囲み、括弧を外した行を別に書きます。

答えを元の式へ戻す際には、負の数を括弧に入れて代入します。例えば y = -2 なら、-y/3 は -(-2)/3 です。負号を2つ続けて書くより、括弧で区別すると符号の意味が見えます。元の式に小数と分数が混在していても、小数を正確な分数に直して計算できます。小数を途中で四捨五入して一致したかどうかを判定すると、わずかな違いを見落とすことがあります。

検算で片方の等式が成立しない場合、答えをただ書き直すのではなく、まず元の式への代入を確認します。代入に誤りがなければ、最後の代入で求めた文字、消去の行、整数化の行へと順に戻ります。2つの式のどちらに問題があるかは、成立しなかった式を手掛かりにできますが、消去の段階で両方を使っているため、もう一方の式も必要に応じて確認します。

練習問題

次の各連立方程式を解き、x と y をそれぞれ整数で答えましょう。先に4問を解き、後の解答で変形と元の式を照合します。

1. 0.4x + 0.2y = 1.8、x − y = 0
2. x/3 + y/2 = 3、x + y = 7
3. 0.25(x − y) = 1、x/2 + y = 5
4. (x + y)/2 = 4、x/3 − y/4 = 1/3

解答と確かめ

1. 最初の式の両辺を10倍して 4x + 2y = 18 です。2つ目から x = y とわかるので、6x = 18、x = 3、y = 3 です。元の左辺は 0.4 × 3 + 0.2 × 3 = 1.8、3 − 3 = 0 です。両方の条件に合います。

2. 最初の式の両辺を6倍すると 2x + 3y = 18 です。2つ目を2倍して 2x + 2y = 14 とし、引くと y = 4 です。x + 4 = 7 より x = 3 です。元の式では 3/3 + 4/2 = 3、3 + 4 = 7 となります。

3. 最初の式を4倍すると x − y = 4、次の式を2倍すると x + 2y = 10 です。後者から前者を引いて 3y = 6、y = 2 です。x − 2 = 4 より x = 6 です。元の式に戻すと 0.25(6 − 2) = 1、6/2 + 2 = 5 です。括弧の中の差も元の条件に戻っています。

4. 最初の式を2倍して x + y = 8、次の式を12倍して 4x − 3y = 4 です。前者を3倍して 3x + 3y = 24 とし、足すと 7x = 28 です。x = 4、y = 4 です。元の式では (4 + 4)/2 = 4、4/3 − 4/4 = 1/3 です。分数の式も正確に両辺が一致します。

手元に残す要点

両辺の全項に同じ0でない数を掛けます。
小数の桁や分母から倍率を選び、2つの式は別々に整理できます。
括弧の中の各項と負の符号に倍率を届けます。
答えは元の2式に戻し、指定された形も確かめます。

どの行から立て直すか

お子さまが整数化した式を見直すときは、まず倍率を指で示し、元の行の各項と右辺に対応する項を探します。そこが合っていれば、次は加減で消す文字の係数と、引く場合の符号を見ます。個別指導で確かめるなら、答えを聞くだけでなく、1行前からどの操作をしたかを説明してもらうと、掛け忘れと加減の誤りを区別できます。

元の2式に戻した結果が片方だけ違う場合は、合わなかった式の整数化と代入を調べます。両方に合うのに指定された形と違う場合は、計算を丸めず、問題の条件そのものを確かめます。等号の左右を同じ倍率で扱うことが、後の計算を支えます。