数検4級 連立方程式の加減法｜消す文字を選び符号と係数をそろえて解く｜武蔵野個別指導塾

式を引くときの符号と係数のそろえ方を、途中式と両方の式への検算でたどる加減法の練習です。

よくあるのは、二つの式を引いて符号が逆になった欄を前に、どこから直せばよいか迷う場面です。例えば、下の式の左辺を引くつもりで、最初の項にしか引く符号を付けないと、残った文字の係数が変わってしまいます。答えを急ぐ前に、どの文字を消すか、式全体をどう扱うかを決めてから計算しましょう。

式の並びから選ぶ操作

連立方程式の解は、2本の式を同時に成り立たせる文字の値の組です。加減法では、一方の文字の項が打ち消し合うように2本の式を加えるか引きます。残った文字を求めた後、その値を元の式に戻してもう一方も求めます。最後に両方の元の式を確認すれば、途中の符号の間違いにも気づけます。

出方の1つ目は、同じ文字の係数がすでに等しい型です。例えば両方に同じ数のxがあれば、一方の式全体からもう一方の式全体を引くとxが消えます。どちらを上に置いて引いても構いませんが、左辺と右辺で引く順序をそろえます。

2つ目は、係数の絶対値が等しく符号が反対の型です。この場合は2本を辺ごとに加えると、その文字の項が0になります。引き算が苦手でも、符号を見て足す型だと判断できれば、引く操作を無理に選ぶ必要はありません。

3つ目は、どちらの文字もそのままでは消えない型です。式の両辺に同じ数を掛け、消したい文字の係数の絶対値をそろえます。掛ける前に、xとyのどちらなら小さい数倍でそろうかを比べると、計算量を抑えられます。式の代入によって文字を消す方法は別に扱い、ここでは加減法に絞ります。

等式を辺ごとに扱う

等式は、左辺と右辺が等しいことを表します。2本の等式がともに成り立つなら、左辺どうしの和と右辺どうしの和も等しくなります。差についても同じです。ただし差では、どちらからどちらを引いたかが重要です。上の式から下の式を引くなら、右辺でも上の数から下の数を引きます。

図1のように、同じ係数のxを縦に並べて引くと、xの項は0になります。yの項と右辺もそれぞれ同じ順序で引きます。文字だけを消す作業に見えても、実際には両辺を含む式全体の引き算です。

また、式を2倍するとは、左辺のそれぞれの項と右辺の数を2倍することです。片側や一部の項だけを変えると、元の式と同じ条件ではなくなります。式に番号を付け、倍した後には新しい番号を付けると、元の式と計算用の式を区別できます。

係数は文字に掛かる数です。たとえば -3y の係数は -3 で、y の係数は 1 です。同じ符号で係数が等しければ引き、反対の符号で絶対値が等しければ足す、と項の符号まで含めて見ます。係数をそろえた後も、消す文字以外の項と右辺を忘れずに計算しましょう。

基本例題：同じ係数を引く

次の連立方程式を加減法で解いてください。続いて、この問題に「xとyをそれぞれ整数で答える」という指定を付けてよいか、求めた解を根拠に判断してください。

① 2x + 3y = 13

② 2x − y = 5

両式のxの係数が2なので、①から②を引くとxを消せます。引く式の左辺全体を括弧で囲むと、各項に引く符号が及ぶことが見えます。図2のように、右辺も同じ順序で引きます。

① − ②より、

(2x + 3y) − (2x − y) = 13 − 5

2x + 3y − 2x + y = 8

4y = 8

y = 2

2行目では、括弧の前の引く符号を中の両方の項に反映しています。特に、-yを引くと+yになる点に注意します。4y = 8 の両辺を4で割り、yを求めました。

続いて y = 2 を、係数が比較的簡単な②に入れます。これは求めた値を使って残る文字を計算する段階です。

2x − 2 = 5

2x = 7

x = 7/2

ここで問題文の「整数で答える」という指定に戻ると、xは整数ではありません。したがって、整数の組としては答えられません。問題の条件と計算結果が合わない場合に、7/2を無理に整数へ直してはいけません。方程式の解そのものは x = 7/2、y = 2 です。

確かめると、①の左辺は 2 × 7/2 + 3 × 2 = 7 + 6 = 13、②の左辺は 2 × 7/2 − 2 = 7 − 2 = 5 です。両方とも右辺と一致します。問題の指定が不適切だとわかったときも、解の組と指定との食い違いを分けて伝えます。分数を小数に丸めず、そのまま計算して一致を調べると正確です。

倍してから消す場合の分かれ目

次の連立方程式を加減法で解き、xとyを整数で答えてください。

① 2x + 3y = 12

② 3x − 2y = 5

そのままでは、xもyも係数の絶対値がそろっていません。xを消すには①を3倍、②を2倍します。ここでは符号が反対のyに着目し、①を2倍、②を3倍して加えます。どちらを消しても同じ解に到達します。

① × 2より、

③ 4x + 6y = 24

② × 3より、

④ 9x − 6y = 15

③ + ④より、

13x = 39

x = 3

①の両項と右辺をそれぞれ2倍し、②の両項と右辺をそれぞれ3倍しました。+6yと-6yを足すと0になるので、残るxを求められます。次に x = 3 を①へ入れると、

2 × 3 + 3y = 12

3y = 6

y = 2

したがって x = 3、y = 2 です。元の①では 2 × 3 + 3 × 2 = 12、②では 3 × 3 − 2 × 2 = 5 となり、両方の条件に戻ります。片方だけの確認では、もう片方の式の写し間違いを見逃すことがあります。

係数が同符号にそろった場合は引き、異符号にそろった場合は加えるのが基本です。途中で負の数を掛けて符号をそろえることもできますが、どの項と右辺にも掛ける点は変わりません。計算後に消したはずの文字が残ったら、係数の符号と加減の選択を見直します。

引き算の誤りを直す

基本例題の①から②を引くとき、誤って 2x + 3y − 2x − y = 8 とすると、2y = 8 と進んでしまいます。この誤りは、②の最初の項だけを引き、-yをそのまま書いたことが原因です。図3のように引く式を括弧で囲み、括弧内の各項に引く符号を行き渡らせます。

正しくは -(2x − y) = -2x + y です。したがって残るのは 3y + y = 4y であり、2yではありません。もし誤った y = 4 を②に入れると x = 9/2 ですが、①の左辺は 9 + 12 = 21 となり、右辺の13と一致しません。検算の不一致は、どちらの値を修正するかを当て推量で決める合図ではなく、元の式の書き写しと加減の行へ戻る合図です。

別の失敗として、式の一部だけを倍する場合があります。たとえば上の少し難しい例題の①を2倍するとき、右辺を12のままにしてはいけません。2x + 3y 全体と12の両方が等しいので、両辺を2倍した結果は 4x + 6y = 24 です。左辺の2項もそれぞれ倍になっているか、指で追いながら確認できます。

計算の途中で時間が足りなくなったときは、消す文字と使った操作を式の横に残します。再開時に、倍した式の各項と右辺を元の式と照らしてから続ければ、未確認の行を土台にせずに済みます。途中式が読めないほど崩れた場合も、答えだけを書き直すより、元の2式から最初の操作をやり直しましょう。

練習：操作を決めてから計算する

4問それぞれを加減法で解き、整数の解の組があるか調べてください。整数の組がない問では、解を約分した分数で示し、整数で答えられない理由も記します。途中式を残し、得た組を元の2本へ代入して確かめてください。

1. 3x + y = 11、3x − 2y = 2
2. 2x + 5y = 13、4x − 5y = 5
3. 2x + 3y = 1、3x + 2y = 9
4. 4x − 3y = -14、2x + 5y = 6

解答と確かめ

1. 上の式から下の式を引くと、3y = 9 なので y = 3 です。上の式に入れると 3x + 3 = 11、よって x = 8/3 です。これは整数ではないため、整数の組はありません。解の組自体は x = 8/3、y = 3 で、上の式は 8 + 3 = 11、下の式は 8 − 6 = 2 です。指定に合う答えがないことと、式の解を区別します。

2. 2式を加えると 6x = 18 なので x = 3 です。上の式に入れると 6 + 5y = 13、5y = 7、y = 7/5 です。これも整数の組はありません。解の組は x = 3、y = 7/5 です。上の式は 6 + 7 = 13、下の式は 12 − 7 = 5 と確かめられます。反対符号の項は引かずに加えると消えます。

3. 上の式を3倍、下の式を2倍すると、6x + 9y = 3、6x + 4y = 18 です。前者から後者を引いて 5y = -15、y = -3 を得ます。上の式へ戻すと 2x − 9 = 1 なので x = 5 です。上の式は 10 − 9 = 1、下の式は 15 − 6 = 9 となります。差の右辺が負になることも、引く順序から確認します。

4. 下の式を2倍すると 4x + 10y = 12 です。元の上の式からこの式を引くと -13y = -26 なので y = 2 です。下の式に入れれば 2x + 10 = 6、2x = -4、x = -2 です。上の式は -8 − 6 = -14、下の式は -4 + 10 = 6 となります。負の数で割るときも両辺の符号を一緒に扱います。

整数を指定された問題で分数が出たときは、まず計算を点検し、それでも両式に合うなら指定との関係を記します。計算結果を丸めると、元の等式が成り立たなくなることがあります。問題文の答えの形も、検算の対象に含めましょう。

計算の選び方をもう一度比べる

同じ式でも、消す文字は一通りに決まるわけではありません。少し難しい例題でxを消すなら、①を3倍して 6x + 9y = 36、②を2倍して 6x − 4y = 10 とします。前者から後者を引けば 13y = 26 なので y = 2 です。①に戻すと 2x + 6 = 12、x = 3 となり、yを先に消した解と一致します。2つの道筋を比べると、どの式を何倍したかを明記する意味が見えます。

引く順序を逆にしても構いません。上の2式について後者から前者を引くと -13y = -26 です。両辺を -13 で割れば、やはり y = 2 です。左辺の順序だけを逆にして右辺を 36 − 10 のままにすると符号がずれます。計算が負の数を含むから誤りなのではなく、等式の左右で操作がそろっているかが判断の基準です。

式を縦に書くときは、xの項、yの項、右辺の数をそれぞれ縦にそろえます。項がない場所には0として考え、符号も項の一部として見ます。横に書くときは引く側を括弧に入れ、括弧を外した行と同類の項をまとめた行を分けます。途中式を残せば、消去が正しくても最後の割り算で間違えた場合と、消去そのものが間違っていた場合を見分けられます。

検算で片方が合わない場合は、先に合わなかった式を元の問題と照合します。式の写し間違いがなければ、消去後の等式、倍した式の順に戻ります。両方が合わない場合も同じく、値を代入するときの負の数の括弧から点検します。検算は答えが正しいかを確かめる操作であり、間違いの位置をそれだけで特定するものではありません。

練習1と2では、整数という指定が解の値に合いません。自分で問題を作ったり書き写したりするときは、解を求めて両式を満たすかに加え、指定した形で表せるかも確認します。条件に合わない結果を見つけたら、問題の数字を勝手に変えず、どの条件が満たせないかを示します。正しい答えが得られる場合と、指定に合う答えがない場合の両方で、根拠は元の2式に戻って確かめられます。

式の右辺が0の場合も手順は同じです。0を倍しても0であり、引くときは右辺どうしを選んだ順で引きます。左辺で消した項に対応する数を右辺から消すのではなく、等式全体を加減することを意識します。係数が負の場合も、数の大きさだけで決めず符号を含めて並べると、足すか引くかを選べます。

手元に残す要点

• 消す文字を選び、係数の大きさと符号を見る。
• 式を倍するときは両辺の各項に掛ける。
• 引くときは式全体を括弧で囲んで符号を変える。
• 求めた組を元の2式と答えの指定に照らす。

どの行へ戻るか

消したい文字が残るなら、そろえた係数と、足すか引くかの判断を見ます。文字は消えたのに答えが合わなければ、残った項と右辺を同じ順序で計算したかをたどります。両方の式には合うのに答えの指定に合わない場合は、計算の正しさと指定の適否を分けて考えます。

個別指導で確かめるなら、完成した答えだけでなく、どの文字を選んだかを本人に説明してもらうと、係数を見る段階と符号を処理する段階を区別できます。お子さまが途中で止まった場合も、最初から説明し直す前に、倍した式のどの項まで確かめられたかを見ると、次の一手を選びやすくなります。2本の式を同じ順序で扱う意識が、加減法の計算を支えます。