数検4級 文字式による説明｜連続する整数の性質を式と言葉でつなぐ｜武蔵野個別指導塾

偶数と奇数の表し方から連続する整数の和や反例まで、式と言葉をつないで説く整数証明です。

よくあるのは、数例は合うのに説明を続けられない夜という場面です。連続する整数をいくつか足すと同じ性質が見えてきても、試した数以外まで成り立つ理由は、その計算結果だけでは示せません。負の整数や0も含めて表すには、文字にどんな数を入れるかを決め、計算後の式を言葉に戻します。

要点（結論から）

• 偶数は整数の2倍、奇数はその形に1を足して表します。
• 連続する整数の差は1、連続する偶数や奇数の差は2です。
• 計算後は、整数倍の形と括弧内が整数である理由を示します。

問われることを先に分ける

出方の1つは、偶数や奇数を文字で置き、和や差が偶数か奇数かを説明する型です。たとえば、2つの偶数の和なら、それぞれを2の整数倍として表し、和も2の整数倍になることを示します。2つの数を同じ文字で置くと、違う偶数を扱えないので注意します。

もう1つは、連続する整数の関係を使う型です。小さい方を整数 n とすれば、次は n + 1、その次は n + 2 と表せます。3つの和を整理して3の整数倍の形にできれば、どの整数から始めても成り立つ理由になります。文字を置いた時点で、隣り合う数の差が1であることを表しておきます。

さらに、示された説明が正しいか判断する型もあります。「数例で合った」ことと「どの数でも合う」ことを区別し、条件を満たす反例があれば主張を退けます。反例が見つからなくても、それだけで正しいと決まるわけではありません。ここでは整数の表現と式を使った説明に絞り、図形の証明には立ち入りません。

整数を文字で置くときの約束

整数は、0、正の整数、負の整数を含みます。整数を2倍した数は偶数なので、整数 k を使って偶数を 2k と表せます。逆に、どの偶数も整数の2倍として表せます。k が負でも0でもよいことを忘れないようにします。

奇数は偶数より1大きい数として、整数 k を使い 2k + 1 と表せます。たとえば k = -2 なら -3 です。負の奇数も含められます。2k − 1 と表しても奇数ですが、どちらで置いたかを最後までそろえると符号を追いやすくなります。

図1のように、整数という条件を文字に添えてから、数の種類を表す形へ進みます。2k の k が整数でなければ、2k が偶数とは限りません。たとえば k が 1/2 なら 2k は1です。文字だけでなく、文字が動く範囲も説明の一部です。

図1では、同じ整数 k から 2k と 2k + 1 を作っています。これは隣り合う偶数と奇数を表す場合に使えますが、無関係な2つの偶数を表すときは整数 a、b を使い 2a、2b と置きます。a と b は等しくても違っていてもよいので、条件を狭めずに済みます。

「連続する」という言葉にも向きがあります。小さい方を n とすれば次は n + 1 ですが、大きい方を n と決めたなら小さい方は n − 1 です。どちらも使えます。はじめに文字の意味を書き、問題の指定する順序と照合することが必要です。

連続する偶数は、差が2なので 2k、2k + 2 と表せます。連続する奇数なら 2k + 1、2k + 3 です。整数が連続する場合の差1と、同じ偶奇の数が連続する場合の差2を混同しないようにします。

倍数の形から言えること

整数 q を使って 3q と表せる数は3の倍数です。q が負や0でも、この定義は変わりません。たとえば -12 は整数 -4 の3倍で、0 も整数0の3倍です。正の数をいくつか試すだけでは見落としやすい範囲も、文字の条件を明記すれば含められます。

ただし、式の一部分に3があるだけでは、全体が3の倍数とはいえません。3q + 1 は3の倍数の形ではありません。q = 0 とすると値は1で、実際に3の倍数ではありません。変形では、式の全体が目的の数の整数倍になっているかを見ます。

偶数や奇数を表す式は、片方の数から別の数を作る道具としても使えます。奇数 2k + 1 の直前の整数は 2k、直後の整数は 2k + 2 で、どちらも偶数です。逆に、任意の偶数 2k の両隣は 2k − 1 と 2k + 1 で、どちらも奇数です。前後どちらへ進むかを式で確かめると、負の数を含む場合も同じ手順で扱えます。

基本例題：連続する3つの整数の和

問題：連続する3つの整数の和は3の倍数です。このことを文字式を用いて説明しなさい。文字が表す数の範囲と、最後に何が整数であるかも書きなさい。

まず、3つのうち最も小さい整数を n とします。n は整数です。問題の条件から、残りの整数は n + 1、n + 2 と表せます。たとえば始めが負の数であっても、1ずつ増えるという関係は変わりません。

図2のように、3つの数を順に並べてから和にします。小さい数からの増え方をそれぞれ0、1、2と見れば、式の各項が何を表すか追えます。

和を S とすると、次のように整理できます。

S = n + (n + 1) + (n + 2)

S = n + n + n + 1 + 2

S = 3n + 3

S = 3(n + 1)

1行目では3つの整数をそのまま足し、2行目で括弧を外しました。3行目で文字の項と数の項をそれぞれまとめ、最後に3をまとめて外に出しました。図2の右端の形は、その計算の結果を表しています。

n は整数なので n + 1 も整数です。したがって S は整数 n + 1 の3倍であり、3の倍数です。これで最初に選んだ n に特定の数を限定せずに説明できました。3の倍数と結論する根拠は、式に3が見えることだけでなく、掛けられている n + 1 が整数であることです。

具体例として -4、-3、-2 を考えると、和は -9 で、-3 の3倍です。この計算は式の符号や順序を点検する助けになります。ただし、この1組が合うことは、ほかの組すべてに成り立つ証明にはなりません。上の文字式の説明は、負の整数を含む任意の n に対して成り立つ点が異なります。

もし3つの数を n、n + 2、n + 4 と置いたら、隣の差は2です。これは同じ偶奇の数が続く形であり、問題の連続する整数とは違います。たまたま別の性質が出ても、元の条件を表したことにはなりません。式に進む前に、差が1かを確かめます。

条件が変わると、結論も変わる

問題：連続する2つの整数の和は奇数であることを説明しなさい。また、連続する2つの偶数の和も奇数といえるか、理由を示しなさい。

前半では、小さい方を整数 m とすると、2つの整数は m、m + 1 です。和は

m + (m + 1) = 2m + 1

となります。m は整数なので、2m + 1 は奇数です。m の偶奇を先に決めなくても、和が奇数の形になっていることから結論できます。

後半では、連続する偶数の小さい方を 2p とします。p は整数で、次の偶数は 2p + 2 です。和は

2p + (2p + 2) = 4p + 2 = 2(2p + 1)

です。2p + 1 は整数なので、この和は偶数です。連続するという言葉は共通でも、整数を1ずつ進むか偶数を2ずつ進むかで、置く式も結論も変わります。

たとえば後半の条件で 4 と 6 を選ぶと、和は10です。条件を満たすこの1組が奇数にならないので、「連続する2つの偶数の和は奇数」という主張への反例になります。一方、偶数になることをすべての場合について示すには、上の 2(2p + 1) という一般的な説明が必要です。

誤答から、条件と結論をつなぎ直す

誤答例：「偶数と奇数の和は偶数です。偶数を 2a、奇数を 2b + 1 とすると、和は 2a + 2b + 1 = 2(a + b + 1) だからです。」図3のように、左の式から右の式へ変えるところで余分な1が入っています。

原因は、最後の1まで2でくくったつもりになったことです。右辺の 2(a + b + 1) を展開すると 2a + 2b + 2 なので、元の 2a + 2b + 1 とは1違います。元に戻す計算で、変形の失敗を見つけられます。

修正すると、和は 2(a + b) + 1 です。a、b は整数なので a + b も整数です。この形は偶数より1大きい数を表し、和は奇数になります。たとえば偶数0と奇数 -1 の和も -1 で、修正後の結論と合います。具体例は点検に使い、一般の説明は文字式で支えます。

別の失敗として、偶数を 2a、奇数を 2a + 1 と置き、任意の偶数と奇数の組を説明したつもりになる場合があります。この置き方で扱えるのは、奇数がその偶数より1大きい組です。たとえば偶数2と奇数7は同じ a では表せません。独立に選べる2数には別の整数 a、b を使い、条件が狭まらないように直します。

結論を急いで「2(a + b) + 1 は偶数」と書くのも誤りです。2の整数倍の部分に1が加わっているので、奇数です。式ができた後に、2でくくれる全体を見ているのか、1が外に残っているのかを確認します。

自分で説明する問題

次の4問は、まず問題をまとめて読み、整数に置く文字と結論の形を考えてください。答えには文字の範囲、途中式、結論の理由を書きます。

1. 任意の2つの奇数の和が偶数であることを説明しなさい。2つの奇数は同じ数でも違う数でもよいものとします。
2. 連続する4つの整数の和が偶数であることを説明しなさい。最も小さい数を文字で表してください。
3. 連続する3つの奇数の和は3の倍数であることを説明しなさい。最も小さい奇数を文字式で表してください。
4. 「任意の整数に1を足すと奇数になる」という主張は正しいですか。正しくなければ条件に合う反例を1つ挙げ、その主張が成り立たない理由を説明しなさい。

解答と考え方

1. 2つの奇数を 2r + 1、2s + 1 とします。r、s はそれぞれ整数です。和は

(2r + 1) + (2s + 1) = 2r + 2s + 2 = 2(r + s + 1)

です。r + s + 1 は整数なので、和は偶数です。たとえば -5 と 9 はどちらも奇数で、和は4です。別々の文字を使っているため、このように離れた数の組も表せます。偶数の形に直した後、括弧の中が整数であることまで書くのが答えの要点です。

2. 最も小さい整数を t とすると、残りは t + 1、t + 2、t + 3 です。t は整数なので、和は

t + (t + 1) + (t + 2) + (t + 3) = 4t + 6 = 2(2t + 3)

となります。2t + 3 は整数ですから、和は偶数です。たとえば -7、-6、-5、-4 は差が順に1で、和は -22 です。答えを元の連続という条件と偶数という結論の両方に照らせます。

この式は 4(t + 1) + 2 とも書けます。4の倍数に2を足した形なので、和が4の倍数とは限りません。偶数という結論から、別の倍数の結論まで広げないようにします。

3. 最も小さい奇数を 2u + 1 とします。u は整数です。次の奇数は2ずつ大きくなるので、3つの数は 2u + 1、2u + 3、2u + 5 です。和は

(2u + 1) + (2u + 3) + (2u + 5) = 6u + 9 = 3(2u + 3)

です。2u + 3 は整数なので、和は3の倍数です。たとえば 11、13、15 は連続する奇数で、和は39です。39 は13の3倍であり、元の条件と結論に合います。3つの奇数を1ずつ増やすと、真ん中は偶数になってしまうことにも注意します。

4. 主張は正しくありません。反例として整数3を選ぶと、3 + 1 = 4 で、結果は偶数です。3は「任意の整数」の条件を満たすのに結論が成り立たないので、主張全体を退けられます。元の整数が偶数なら1を足した数は奇数ですが、奇数なら1を足した数は偶数です。成り立つ場合を見つけても、条件を満たすすべての場合に広げられるとは限りません。

要点を手元に残す

• 偶数は整数の2倍、奇数はその形に1を足して表します。
• 連続する整数の差は1、連続する偶数や奇数の差は2です。
• 計算後は、整数倍の形と括弧内が整数である理由を示します。
• 具体例は点検に、条件を満たす反例は主張を退けることに使います。

止まった場所から戻る

式が作れないときは、まず2つの数の差が1か2かを、言葉の条件に戻って確かめます。文字を置けたのに結論が出ないときは、何の倍数を示す問題かを見直し、必要な数を外に出した形に整理します。偶数か奇数か迷う場合は、2の整数倍の外に1が残っているかを見ます。

個別指導でお子さまの答案を確かめるときは、文字が整数であること、別々に選べる数を同じ文字で縛っていないこと、変形後の括弧内が整数であることを順に尋ねます。例が合っていても説明が止まる場合は、選んだ1組と任意の組の違いを言葉にしてから、式の各部分へ戻ります。反例を挙げた答案では、その数が元の条件に入り、結論には合わないことまで確認します。

文字に整数という条件を添え、式を結論の形へ直すと、数例を超えた説明になります。