高校情報I 16進数と2進数—桁のまとまりを対応させて表記を変換する｜武蔵野個別指導塾

AからFの値、右端から4桁に分ける手順、先頭の0の扱いを例題でたどり、誤答から16進変換を見直します。

よくあるのは、16進数の文字を10進数の桁と取り違える場面です。たとえば数字の後にBが現れると、文字を数字の横に添えただけの印のように見えるかもしれません。しかしBも1桁を表し、位置によって値への寄与が変わります。見慣れた10進数と同じ読み方をする前に、何進数の表記かを確認しましょう。ここでは非負整数を扱い、小数や負の数、色の表記は扱いません。授業の範囲表やノートで、求められる桁数の指定も照らし合わせてください。

テストで何を求められるか

出方の一つは、16進数を2進数に直す問題です。各桁を4桁の2進数に置き換え、元の順番につなぎます。指定がなければ先頭の不要な0を省けますが、桁数を指定された場合はその指示に従います。たとえば8桁で答えるよう求められたら、先頭の0も答えの一部として残します。

二つ目は、2進数から16進数への変換です。右端から4桁ずつ区切り、左端の組が足りなければ左に0を補います。左から区切ると、右端の位がずれて別の数になることがあります。区切りの位置と、残った組をどう埋めたかが途中式の確認点です。

三つ目は、変換結果を10進数の値で照合したり、誤った途中式を直したりする問題です。同じ数を違う記号で書いているので、表記を変えても値は変わりません。答えだけでなく、文字が表す値、桁の重み、0の位置まで説明できるようにしておくと、誤りの場所を示せます。

1桁と4桁を結ぶ理由

16進数では1桁に0から9とAからFを使います。A、B、C、D、E、Fは順に10進数の10、11、12、13、14、15を表します。Fの次は新しい記号ではなく、1つ上の位へ繰り上がって16進数の10です。この10は10進数の十ではなく、10進数の16を表します。底を見ずに数字の見た目だけで読むと、この違いを見落とします。

2進数の4桁は、0000から1111までで16通りあります。各位の重みは右から1、2、4、8です。たとえば1011は8と2と1の和なので10進数で11、16進数ではBに対応します。図1のように、16進数の1桁に2進数の4桁を対応させると、数全体をいったん10進数に直さなくても表記を移せます。

図1のBは10進数の11で、2進数の1011に対応します。4桁の組を一つ左へ動かすと、2進数の位の重みは2を4回掛けた16倍になります。16進数で一つ左の位が16倍になることと一致するため、このまとまりを並べて変換できます。

各桁を変換した後も、組の内部の0を省いてはいけません。たとえば16進数の1に対応する0001を途中で1とだけ書き、別の組に続けると、境目が移ってしまいます。途中では必ず4桁を保ち、全体をつないでから先頭の0と指定された桁数を確認します。

対応を自分で作るときは、各組の重みを足します。0000から0111は順に0から7、1000から1001は8と9です。1010、1011、1100、1101、1110、1111はそれぞれA、B、C、D、E、Fに対応します。表の一部を忘れても、たとえば1101なら8と4と1を足して13と求め、Dに戻れます。記号の順番と値を一緒に確認するのが近道です。

先頭の0は位の重みを増やすための埋め草で、数の値を変えません。2進数の0010と10はどちらも10進数の2です。一方、途中や末尾の0は位置を保つので、勝手には消せません。1000の末尾の0を消すと1になり、8と1で値が変わります。先頭の0を省けることと、どの0でも消せることは別です。

基本例題：16進数から2進数へ

問題：16進数の2Dを、8桁の2進数で表してください。また、変換前後が同じ値であることを10進数で確かめてください。

まず2桁をそれぞれ独立に読みます。2は10進数の2、Dは10進数の13です。Dを文字として読み飛ばさず、1桁の数として扱います。図2のように各桁に対応する4桁を置くと、どこからどこまでが一組なのかを確かめながら進められます。

図2の左の組は2、右の組はDに対応します。計算と判断を順に書くと次のとおりです。

1. 16進数の2は、2進数の4桁では0010です。
2. Dは10進数の13で、8と4と1の和です。
3. したがってDは、2進数の4桁では1101です。
4. 元の左から右への順序で0010と1101をつなぎます。
5. 答えは8桁の2進数で00101101です。
6. 16進数の2Dは、10進数で2×16と13の和、つまり45です。
7. 2進数の00101101は、32と8と4と1の和なので45です。

図2のように左側の0010を4桁のまま置くことが、指定された8桁の答えにつながります。もし先頭の0を省いて101101と書けば値は45のままですが、6桁なのでこの問題の答えの形を満たしません。逆に、指定がなく通常の表記にするなら、先頭の0を省いた101101でも同じ数です。問題の条件と数の値の両方を点検しましょう。

検算では、答えを右から4桁ずつ区切り直す方法も使えます。0010と1101はそれぞれ2とDなので、元の2Dに戻ります。10進数での照合と組の戻し方は別々の見方です。片方で違いが出たら、文字の値か、組をつないだ順序か、桁数の指定を調べます。

少し難しい例題：左端に残る桁

問題：2進数の110101101を16進数で表してください。先頭の不要な0は答えに書かず、さらに10進数でも値を求めて照合してください。

右端から4桁ずつ区切ると、左から1、1010、1101となります。左端の1は4桁に足りないため、左に0を3個補って0001にします。左から1桁ずつ区切るのではなく、右端をそろえることが判断の分かれ目です。右端はどの進数でも1の位なので、そこを基準にすれば位の重みを保てます。

0001は16進数の1、1010はA、1101はDです。順につなぐと答えは16進数の1ADです。左端の組に足した0は、1をAやDと同じ4桁の形で比べるためのものです。答えに余分な16進数の0を付ける必要はありません。

10進数で戻すと、1ADは1×256と10×16と13の和で429です。元の2進数では、左から順に256、128、32、8、4、1の位が1なので、こちらも429です。さらに1、A、Dを0001、1010、1101に戻してつなぐと000110101101となり、先頭の0を省けば元の110101101に戻ります。2通りの照合で、値と桁の対応を確かめられます。

もし左端から4桁ずつ区切ると1101、0110、1となり、最後の1を0001にするとD61と読んでしまいます。この誤った区切りで得たD61は10進数で3425となり、元の429とは一致しません。最後の組1を0001にした操作は、元の列の右端に0を付ける操作とは異なります。足りない桁を埋める場所は左端です。右端に0を追加すると値が変わるため、見た目をそろえるだけで判断してはいけません。

誤答の原因を見つけて直す

次の誤答を考えます。2進数の10110を16進数にするとき、左から1011と0に区切り、最後を0000としてB0と答えました。図3のように、誤りは各組の変換より前、区切り方にあります。

図3の正しい区切りは、右から4桁の0110と、左に残った1です。この1を0001にして、0001と0110を16進数の1と6に直します。答えは16進数の16です。10進数では元の10110が16と4と2の和で22、16進数の16が16と6の和で22となります。

誤答のB0は10進数で11×16、つまり176です。元の22とは一致せず、誤った区切りが右側に0を3個付ける操作になっていたとわかります。正しい答え16を2進数の0001と0110に戻し、先頭の0を省くと元の10110です。値の照合と逆変換の両方を使って修正を確認できます。

もう一つの誤りは、16進数のAを2進数でも文字Aのまま残すことです。2進数の各桁に使うのは0と1なので、Aはそのままでは2進数の桁になりません。Aの値は10進数の10、2進数の4桁では1010です。文字が出たら飛ばさず、まず0から15のどの値かを確認してから対応する組を書きます。

また、2進数の先頭に足した0を途中の0までまとめて消すと、位の位置が変わります。区切り線を残したまま各組を変換し、最後に問題の指定を見て先頭を整理すれば、削ってよい位置を見分けやすくなります。答えに使える記号、桁数、値の3点を別々に確認してください。

自分で解く4問

次の問題では、特に指定のない16進数の答えは先頭の不要な0を省きます。途中の区切りと、10進数による照合も書いてください。問題を解き終えてから、下の答えと比べましょう。

1. 16進数の3Eを、8桁の2進数で表してください。
2. 2進数の11100101を、16進数で表してください。
3. 2進数の1000111を、16進数で表してください。左端の不足分をどこに補ったかも示してください。
4. 16進数のC4を、先頭の不要な0を省いた2進数で表してください。さらに、ある人がCを1100、4を0100に直して110001と答えたとき、何を落としたか説明してください。

答えと確かめ方

1. 答えは00111110です。3を0011、Eを1110に直してつなぎます。16進数の3Eは10進数で3×16と14の和、すなわち62です。00111110も32、16、8、4、2の和で62になります。8桁の指定があるため先頭の0を残し、0011と1110に戻して3Eを再現できます。

2. 答えはE5です。右から1110、0101に区切ると、14に当たるEと5です。E5は10進数で14×16と5の和の229、元の2進数も128、64、32、4、1の和で229です。Eを1110、5を0101に戻せば、与えられた8桁をそのまま再現できます。

3. 答えは47です。右端から4桁の0111を取り、残った100の左に0を1個補えて0100、0111とします。0100は4、0111は7です。47は10進数で4×16と7の和の71で、元の1000111も64、4、2、1の和で71です。47から01000111に戻し、先頭の0を省けば元の7桁になります。右端に0を補うと別の数になるため、補う場所も答えの根拠です。

4. 答えは11000100です。Cは12なので1100、4は0100です。組をつなぐと11000100となり、先頭に省く0はありません。誤答は右側の組の末尾の0を2個落としています。C4は10進数で12×16と4の和の196で、11000100も128、64、4の和で196です。誤答の110001は32、16、1の和で49になり、元の値ではありません。正答を1100と0100に区切り直すとC4に戻ります。

答え合わせで値は合っているのに桁数が違った場合は、計算とは別に指示を読み直します。反対に、桁数だけが合っていても値が合うとは限りません。元の組へ戻して文字と順序を照らすと、途中で0を落とした場所を探せます。

手元に残す要点

• AからFは10進数の10から15です。
• 16進数の1桁は2進数の4桁に対応します。
• 2進数は右端から4桁ずつ区切り、左端に必要な0を補います。
• 先頭の0と桁数指定を区別し、10進数や逆変換で値を照合します。

途中の記録からつまずきを探す

答えが違うときは、まず各組の境目に線を引けているかを見ます。右端がそろっていなければ、左から分ける癖を直すところから始めます。境目が正しいのに文字が違えば、その組の8、4、2、1を足し、AからFのどれに当たるかを本人の言葉で説明してみてください。

個別指導で確かめるなら、書いた4桁を元の16進数に戻してもらい、先頭の0を消した理由と指定桁数を満たす理由を聞きます。値が一致していても指定の形に届かない場合と、途中の0を落として値自体が変わった場合では、次に練習する箇所が違います。区切りと位の重みをたどれば、変換のどこで数が変わったかを自分で見つけられます。