数検5級 括弧と分母のある方程式—両辺をそろえて解き元の式へ代入する練習｜武蔵野個別指導塾

分母を払うときに定数項へ数を掛け忘れないよう、両辺の各項を確かめます。小数を含む方程式も解き、元の等式への代入で見直せます。

よくあるのは、受験者が方程式の分母を払うとき、分数の項には数を掛けたのに、分母のない定数項には掛け忘れる場面です。分母が消えた式は見た目が簡単なので、そのまま計算を進めると、最後まで誤りに気づかないことがあります。

等号の両側にはそれぞれ一つの数が表されています。片側にある足し算や引き算の項にも目を配り、同じ数を両辺全体に掛けることが出発点です。分数や小数の係数を含む一元一次方程式を扱い、求めた値を元の式に戻すところまで練習します。

どこに数を掛ける問題か

出方の型を3つに分けて考えます。まず、分数の係数と整数が並ぶ式です。例えば x/3 + 2 = 5 なら、左辺の x/3 と 2 の両方に 3 を掛けます。分母の見える項を消す操作に見えても、実際には両辺全体を 3 倍しています。

次に、分子に括弧がある式です。(x + 2)/3 では x + 2 がまとめて 3 で割られています。分母を払った後も括弧を残せば、どこまでが分子だったかを見失いにくくなります。括弧の前に負の数があるときは、その符号も中の各項に掛けます。

もう一つは、小数と分数が混じる式です。小数を分数に直してから分母をそろえる方法と、小数を消す数を先に掛ける方法があります。どちらを選んでも等号の両側に同じ操作をし、項ごとに掛けた結果を記録します。ここに挙げた型は練習のための整理であり、出題を予告するものではありません。

両辺と項を見分ける

方程式は、文字に入る値によって成り立つかどうかが決まる等式です。等式を成り立たせる文字の値を解といいます。等号の左側を左辺、右側を右辺と呼び、両方を合わせて両辺と呼びます。等号は答えを書く合図ではなく、左辺と右辺の値が等しいという印です。

足し算や引き算で区切られた部分を項といいます。図1のように、x/3 + 2 = 5 の左辺は x/3 と 2 の和です。左辺全体を 3 倍するには、x/3 にも 2 にも 3 を掛けます。右辺の 5 も 3 倍するので、3(x/3 + 2) = 3 × 5、つまり x + 6 = 15 です。

図1では、左側の2つの項と右側の項に、それぞれ同じ 3 が届くように示しています。分母のない 2 も左辺の一部なので、6 に変わります。もし 2 をそのまま残すと、左辺全体を 3 倍したことにはなりません。

分母が複数あるときは、その分母の公倍数を掛けると整数の式に直せます。最小公倍数を選ぶと数が小さくなりやすいですが、0 でない別の公倍数でも構いません。分母を払うとは、分母を勝手に消すことではなく、両辺全体に同じ 0 でない数を掛けて、分数を整数に直すことです。

括弧はまとまりを示します。例えば 2(x − 1) なら、2 を x と -1 の両方に掛けて 2x − 2 とします。分数の分子にある括弧も同じです。計算の途中で括弧を外すときは、直前の符号を含めた数がそれぞれの項に掛かるかを確認します。

基本例題：定数項にも掛ける

次の方程式を解き、答えは整数で表してください。

(x + 1)/3 + 2 = 5

左辺は、(x + 1)/3 と 2 の和です。分母 3 を払うために、両辺全体に 3 を掛けます。図2のように、左辺では分数の項と定数項の両方に 3 を掛け、右辺の 5 にも 3 を掛けます。

3 × (x + 1)/3 + 3 × 2 = 3 × 5

x + 1 + 6 = 15

x + 7 = 15

x = 8

1行目では分子の x + 1 というまとまりが残ります。次に 1 と 6 を足してから、両辺から 7 を引きました。移項という言葉を使う場合も、等号の片側から数が消えるのは両辺に同じ操作をした結果だと考えます。

ここで求めた 8 を、変形後ではなく問題の元の式に代入します。左辺は (8 + 1)/3 + 2 = 3 + 2 = 5、右辺も 5 です。元の等式が成り立つので、答えは x = 8 です。図2の最後に示した左右の値が一致することまで確かめます。

途中の式だけに戻すと、その式への変形ですでに掛け忘れがあった場合に気づけません。元の式に戻す作業は、計算と変形の両方を点検するための手順です。左右の値が違えば、その値は元の方程式の解ではありません。最初に分母を払った行へ戻り、各項への掛け算から調べます。

少し難しい例題：小数と負の括弧

次の方程式を解き、答えは既約分数で表してください。

0.5(x − 2) − (x + 1)/3 = 1

小数の 0.5 は 1/2 です。分母は 2 と 3 なので、両辺に 6 を掛けると整数の係数になります。ここでは右辺の 1 にも掛けます。また、分数の前の引く符号を残したまま、分子の括弧を扱います。

(x − 2)/2 − (x + 1)/3 = 1

3(x − 2) − 2(x + 1) = 6

3x − 6 − 2x − 2 = 6

x − 8 = 6

x = 14

整数は分母を 1 とする既約分数としても表せますから、答えは x = 14 です。括弧を外す行では、-2 が x と 1 の両方に掛かるので、後ろは -2x − 2 です。-2x + 2 とすると、1 に掛ける符号が変わってしまいます。

元の式に戻すと、左辺は 0.5 × (14 − 2) − (14 + 1)/3 = 6 − 5 = 1 です。右辺の 1 と一致します。小数を分数に直すところ、6 を各項に掛けるところ、負の括弧を外すところを別々に見ると、左右が合わなかった場合の戻り先を絞れます。

掛け忘れた答えを直す

基本例題と同じ (x + 1)/3 + 2 = 5 を考えます。誤って x + 1 + 2 = 15 とすると、x = 12 になります。右辺の 5 は 3 倍しているのに、左辺の定数 2 はそのままです。図3のように、この行は左右に同じ操作をした式になっていません。

誤答の 12 を元の式に代入すると、左辺は 13/3 + 2 = 19/3 で、右辺の 5 と一致しません。図3の確認は、答えが違うと気づく入口です。原因を探すには、分母を払った行まで戻り、2 にも 3 を掛けたかを見ます。

正しくは x + 1 + 6 = 15 です。ここから x + 7 = 15、x = 8 と進み、元の式の左右がともに 5 と確かめます。答えだけを直すのでなく、最初に等式が保たれなくなった行を直すと、別の問題でも同じ見落としを防げます。

別の失敗として、括弧の中の最初の項にしか数を掛けないこともあります。例えば -3(x − 2) を -3x − 2 とすると、後ろの -2 に -3 を掛けていません。正しくは -3x + 6 です。分母を払う作業と括弧を外す作業を同じ行で急がず、一度括弧を残してから分配すると点検しやすくなります。

別の問題で試す

次の4問を解いてください。答えは整数または既約分数で表します。各問とも、答えを元の式に代入して左右が等しいか確かめます。

1. x/4 + 3 = 5
2. (x − 2)/5 = 3
3. (x + 2)/2 − 1 = (x − 1)/3
4. 0.2x + 1 = (x + 2)/2

答えと解き方

1. 両辺に 4 を掛けると x + 12 = 20 です。したがって x = 8 です。元の式の左辺は 8/4 + 3 = 5 で、右辺に等しくなります。3 を 4 倍した 12 が入っているかを見直します。

2. 両辺に 5 を掛けると x − 2 = 15、よって x = 17 です。元の左辺に戻すと (17 − 2)/5 = 3 で、右辺に等しくなります。分子の x − 2 を一まとまりとして残すと、引き算の位置を追えます。

3. 分母 2 と 3 の最小公倍数 6 を両辺に掛けます。3(x + 2) − 6 = 2(x − 1) となり、括弧を外すと 3x + 6 − 6 = 2x − 2 です。整理して x = -2 です。元の左辺は (-2 + 2)/2 − 1 = -1、右辺は (-2 − 1)/3 = -1 なので一致します。左辺の -1 にも 6 を掛けることが分かれ目です。

4. 0.2 を 1/5 に直し、両辺に 10 を掛けると 2x + 10 = 5(x + 2) です。括弧を外して 2x + 10 = 5x + 10、両辺から 2x と 10 を引くと 0 = 3x、答えは x = 0 です。元の左辺は 0.2 × 0 + 1 = 1、右辺は (0 + 2)/2 = 1 です。0 も代入して等式が成り立つなら解になります。

左右が合わなかったときは、まず代入した数の符号と括弧を確認します。それでも合わなければ、分母を払った行の各項と、括弧を外した行を順に照合します。途中の計算が合っていても、元の式からの最初の変形が違えば正しい解にはなりません。

途中で迷ったときの見直し

分母を払う数を決める前に、まず等号を境にして左右を見ます。左辺や右辺が何項から成るかを鉛筆で区切り、引き算の符号は後ろの項と一緒に見ます。例えば a/2 − 3 = b/4 + 1 なら、左辺には a/2 と -3、右辺には b/4 と 1 があります。両辺に 4 を掛けると 2a − 12 = b + 4 です。文字が2種類あるこの式は項を見分ける説明用であり、解を求める問題ではありません。

分母を払う数を選ぶとき、分母どうしを必ず掛け合わせなければならないわけではありません。分母が 4 と 6 なら、どちらでも割り切れる 12 を選べます。24 でも同じ等式に変形できますが、途中の整数が大きくなります。小さな公倍数を探すと計算を軽くできます。どちらを使っても、定数項まで掛ける規則は変わりません。

小数があるときは、桁数にも注意します。0.4 は 4/10、約分して 2/5 です。0.04 は 4/100 なので 1/25 です。小数点以下の桁が一つ増えると、同じ数字でも大きさが変わります。小数を分数に直したら、元の小数と同じ値かを確かめてから、分母を払う数を選びます。

途中で計算が長くなったら、いきなり答えまで暗算しないことも有効です。掛け算を示す行、括弧を外す行、文字の項と定数項を整理する行を分けます。どの操作をした行かをたどれるので、代入が合わないときに、最初に左右の等しさが崩れた箇所を探せます。

代入で左右が一致した場合も、途中の説明が読み取れるように残しておきます。解を得るまでに両辺に同じ 0 でない数を掛け、同じ数を加減し、0 でない係数で割る操作を使えば、それぞれの段階で等式の成り立ち方を保てます。最後の確認は、符号や書き写しの間違いがなかったかを見る機会にもなります。

逆に、左右が一致しないときは、その値を解として採用できません。代入の計算を先に確かめ、それが正しければ、書き写した元の式と問題文を照合します。式の写し間違いがなければ、分母を払った行から順に各項を指して点検します。原因が見つかる前に答えの符号だけを変えると、なぜ合わなかったかが残ります。

分数の横にある括弧は、計算の範囲を示す大切な印です。(x − 2)/5 と x − 2/5 では割られる範囲が違います。前者は x − 2 の全体を 5 で割り、後者は 2 だけを 5 で割って x から引きます。式を書き写すときに分数線の長さや括弧を確かめると、その後の操作を選びやすくなります。

分母を払わず、分数のまま解く方法もあります。ただし、足し引きのたびに通分が必要な場合は、途中で分母や符号を取り違えることがあります。どちらの方法でも、等式の両辺に同じ操作をすることと、元の式に戻すことは共通です。まずは各項に掛けた数を明記し、慣れてから省ける部分を判断します。

解答を見直すときは、等号が続く各行を別々の等式として読みます。前の行から次の行に移る理由を言えないところは、計算を一段戻して書き足します。途中式は採点のためだけでなく、自分がどの操作をしたかを後から確かめるための記録です。

計算の途中で分数が残った場合も、慌てて整数に直す必要はありません。約分できるところを確認し、最後は問題で指定された形に整えます。負の答えも、元の式に括弧を付けて代入すれば符号を追いやすくなります。

覚えておくこと

分母を払うときは、両辺全体に同じ 0 でない数を掛けます。
分母のない定数項にも、その数を掛けます。
括弧を外すときは、符号を含む数を中の各項に掛けます。
答えは元の式に代入し、左右の値を比べます。

つまずきを見分ける

お子さまが答えを間違えたときは、計算の速さだけで判断せず、どの行で等式が変わったかを一緒にたどります。分数の項だけを指しているなら、左辺の和を囲み、定数もその中に入ることを説明してもらいます。正しい式を書けても代入で左右を比べられない場合は、左辺と右辺を別々に計算するところから確認します。

個別指導では、掛ける数の選び方、負の括弧を外す順序、元の式に戻る理由を本人の言葉で聞きます。答えが合わない場合にどの行へ戻るかまで説明できると、別の分母や小数に出会っても自分で点検できます。等号の両側をそろえる意識が、分母を払った後の一行を支えます。