高校物理基礎 自由落下と鉛直投射—座標の向きをそろえて最高点と落下を計算する｜武蔵野個別指導塾

投げ上げの最高点と帰着時刻を式で求め、速度が0になる瞬間にも下向きの加速度が続く理由を確かめます。

よくあるのは、鉛直上向きに投げた小球が最高点に達した瞬間、速度が0だから加速度も0と考える場面です。確かにその瞬間は上にも下にも動いていません。しかし、その前は上向きに進み、その後は下向きに進みます。速度の変化をつくる下向きの加速度は、最高点でも続いています。紙の上で物体を点として扱い、空気抵抗を無視して、向きと符号を順に整理しましょう。

問われる形を見分ける

自由落下では、静かに手を離した時刻から、一定時間後の速度や落下距離を求める形があります。手を離した瞬間の速度は0です。落下距離は時間に比例すると決めず、初速度が0の等加速度運動として式を選びます。

投げ下ろしでは、離した瞬間から下向きの速度を持っています。自由落下と同じ重力加速度を使いますが、初速度の項を省くことはできません。速度や移動距離には、最初から動いていた分が加わります。

投げ上げでは、上昇中と下降中で速度の向きが変わります。最高点までの時間や高さを求めるときは、最高点の速度が0という条件を使います。投げた位置に戻る時刻を求めるときは、その位置の座標を再び代入し、出発時刻と戻る時刻を区別します。斜めに投げる運動は扱いません。

向きを決めて3つの量を置く

物体を手から離してから、地面などに当たる直前までを考えます。空気抵抗を無視すると、物体の加速度は運動の向きに関係なく鉛直下向きで、その大きさを重力加速度 g と表します。g は正の大きさです。計算には問題ごとに与えられた値を使います。

図1のように上向きを正に選ぶと、加速度は a = -g です。投げ上げ直後の速度は正、最高点では0、下降中の速度は負です。速度が0の瞬間と加速度が0であることは別です。加速度は速度が時間とともにどの向きに変化するかを示します。

図1では、球の横の矢印がその時点の速度、右側の矢印が加速度を表します。最高点では速度の矢印を描かず、加速度の矢印は下向きのままです。下降を始めるために、最高点で加速度が消える必要はありません。

上向きを正、出発位置を座標0、初速度を v₀、経過時間を t、位置を y、速度を v とすると、次の式を使えます。

v = v₀ − gt

y = v₀t − gt²/2

v² − v₀² = -2gy

最初の式は速度、2番目は位置、3番目は時間を含まない関係です。y は出発位置からの符号つきの変位です。たとえば出発位置より下なら y は負になります。速さを尋ねられたら速度の大きさを答え、向きも尋ねられたら上向きか下向きかを添えます。下向きを正に選ぶ方法もありますが、その場合は加速度が +g となり、上向きの初速度は負になります。選んだ向きを途中で変えないことが大切です。

基本例題：上昇して元の高さへ

小球を床から十分高い位置で鉛直上向きに速さ 20 m/s で投げます。空気抵抗を無視し、重力加速度の大きさを 10 m/s² とします。投げた位置を原点、上向きを正とし、手を離した時刻を0とします。最高点に達する時刻と原点からの高さ、原点へ戻る時刻とそのときの速度を、整数と単位で求めてください。床に当たる前に原点へ戻るものとします。

図2のように、原点と正方向を先に決めます。初速度は v₀ = +20 m/s、加速度は a = -10 m/s² です。投げた瞬間から同じ式を使い、最高点で式を切り替える必要はありません。

図2の最高点では v = 0 です。速度の式へ代入すると、

0 = 20 − 10t

10t = 20

t = 2 s

高さは位置の式で求めます。単位をそろえて t = 2 s を代入すると、

y = 20 × 2 − 10 × 2²/2

y = 40 − 20 = 20 m

したがって最高点は原点より 20 m 上です。これは道のりとしても上昇した 20 m です。

戻るときは位置が y = 0 です。速度が0という条件ではありません。位置の式に代入して、

0 = 20t − 5t²

0 = 5t(4 − t)

t = 0 または 4 s

0 s は投げた瞬間なので、戻る時刻は 4 s です。その速度は、

v = 20 − 10 × 4 = -20 m/s

上向きを正とした速度は -20 m/s、すなわち下向きに速さ 20 m/s です。答えを戻して確認すると、2 s では速度が0、4 s では変位が 80 − 80 = 0 m です。上昇と下降にそれぞれ 2 s かかり、原点に戻る条件と一致します。

分かれ目：投げ下ろしと自由落下

同じ高さの台から小球を鉛直下向きに速さ 3 m/s で投げます。空気抵抗を無視し、重力加速度の大きさを 10 m/s² とします。下向きを正、投げた位置を原点、手を離した時刻を0とします。2 s 後の速度と原点から下へ進んだ距離を、整数と単位で求めてください。その間、球は地面に当たりません。

下向きを正にしたので初速度は +3 m/s、加速度は +10 m/s² です。時間を t とすると速度 v と変位 x は、

v = 3 + 10t

x = 3t + 10t²/2

2 s を代入して、v = 3 + 10 × 2 = +23 m/s です。下向きの速度なので、速さは 23 m/s です。変位は x = 3 × 2 + 10 × 2²/2 = 6 + 20 = 26 m となります。この間ずっと下向きに進むため、距離も 26 m です。

検算では、2 s の間の速度が 3 m/s から 23 m/s まで一定の割合で増えることを使います。平均の速度は (3 + 23)/2 = 13 m/s、移動距離は 13 × 2 = 26 m となり、位置の式の結果と合います。投げた速さを0にした場合は自由落下になり、初速度による 3t の項がなくなります。投げ下ろしを自由落下として扱うと、この問題では最初の速さによる 6 m を落としてしまいます。

正方向を上に選び直しても物理的な結果は変わりません。その場合は初速度 -3 m/s、加速度 -10 m/s² なので、2 s 後の速度は -23 m/s、変位は -26 m です。負号は下向きの位置や速度を示し、距離そのものが負になるわけではありません。式の数値だけを変更せず、初速度と加速度の両方の符号を合わせてください。

最高点の誤答を直す

図3のように、投げ上げた球の最高点で「速度が0だから加速度も0」と答えたとします。原因は、ある瞬間の速度と、速度が変化する割合を同じ量として読んだことです。最高点の前には上向きの速度が小さくなり、後には下向きの速度の大きさが増えます。どちらも速度が下向きに変化しています。

図3では最高点の速度を0と書き、加速度は下向きの矢印で残しています。空気抵抗を無視する条件なら、最高点でも加速度は下向きに g です。上向きを正にした答えなら -g と書きます。速度の向きが反転する境目でも、加速度の向きまで反転させないようにします。

もう1つの誤りは、投げた位置へ戻る条件を v = 0 とすることです。v = 0 は最高点を示し、戻る位置は y = 0 で指定します。何を求める条件なのかを日本語で書いてから式に移せば、2つの条件を区別できます。位置の式に時間が2つ出たときも、どちらが出発でどちらが後の到達かを場面へ戻して判断します。

答えを場面に戻すための点検

計算の途中で符号が合っているか迷ったら、時間を少しずつ進めて速度を追います。上向きを正にした投げ上げでは、出発直後は速度が正で、一定時間ごとに速度が同じ量ずつ減ります。最高点で0を通り過ぎた後は負です。速度の符号が変わることと、加速度の符号が変わることを分けて読むと、下降中の式も同じように立てられます。

位置についても、正負が表すのは原点からどちら側にあるかです。最高点の後でも、まだ出発位置より上にあれば位置は正のままです。そのとき速度は下向きなので負です。位置と速度の符号が違っていても矛盾ではありません。位置が正か負かは原点との比較、速度が正か負かはその瞬間の進む向きで判断します。

式から得た時刻が負なら、選んだ時刻0より前を表す数です。投げた後を尋ねる問題では、そのまま答えに採用せず、条件に合う時刻を選びます。また、地面に当たった後は、空気中を落下している間の式をそのまま延長できません。接触前までという条件を確かめ、求めた時刻がその範囲にあるかも見ます。

時間を含まない式を使う場合も、速度の2乗から速さを得ただけでは向きは決まりません。上昇中か下降中かを問題の条件で判定してから、速度に正負をつけます。距離を求める場合は、途中で向きが変われば、上がった距離と下がった距離をそれぞれ正の長さとして足します。出発位置へ戻ったとき、変位は0でも移動した距離は0ではありません。

単位の点検では、速度の式の加速度と時間の積が m/s になること、位置の式の各項が m になることを見ます。時間に秒を使うなら速さも m/s にそろえます。単位が一致しない式は、数値が偶然合って見えても立て直す必要があります。最後に、求めた時刻を位置または速度の式に戻して、問題が指定した位置や速度を満たすか確かめます。

練習：条件を先に書く

いずれも物体を点とみなし、空気抵抗を無視します。指定した時刻まで地面などに当たらないものとします。答えは整数と単位で示し、速度には正負をつけてください。

1. 棚から小球を静かに離します。重力加速度の大きさを 8 m/s² とし、離した位置を原点、下向きを正、離した時刻を0とします。3 s 後の速度と落下距離を求めてください。
2. 装置から小球を鉛直下向きに速さ 4 m/s で投げます。重力加速度の大きさを 6 m/s² とし、投げた位置を原点、下向きを正、投げた時刻を0とします。2 s 後の速度と移動距離を求めてください。
3. 小球を鉛直上向きに速さ 12 m/s で投げます。重力加速度の大きさを 6 m/s² とし、投げた位置を原点、上向きを正、投げた時刻を0とします。最高点に達する時刻と原点からの高さを求めてください。
4. 鉛直上向きに速さ 15 m/s で投げた小球を考えます。重力加速度の大きさを 10 m/s² とし、投げた位置を原点、上向きを正、投げた時刻を0とします。投げた後に原点へ戻る時刻と、そのときの速度を求めてください。

練習の答えと道筋

1. 初速度は0、加速度は +8 m/s² です。速度は v = 0 + 8 × 3 = +24 m/s、距離は x = 8 × 3²/2 = 36 m です。平均速度は (0 + 24)/2 = 12 m/s なので、12 × 3 = 36 m と元の移動距離に戻ります。静かに離した条件から初速度を0にする点が出発です。

2. 初速度は +4 m/s、加速度は +6 m/s² です。v = 4 + 6 × 2 = +16 m/s、x = 4 × 2 + 6 × 2²/2 = 8 + 12 = 20 m です。平均速度は (4 + 16)/2 = 10 m/s であり、2 s の距離は 10 × 2 = 20 m です。最初の速さを忘れると 8 m 分が抜けます。

3. 初速度は +12 m/s、加速度は -6 m/s² です。最高点で 0 = 12 − 6t より t = 2 s です。高さは y = 12 × 2 − 6 × 2²/2 = 24 − 12 = 12 m です。平均速度 (12 + 0)/2 = 6 m/s に上昇時間 2 s を掛けると 12 m となり、求めた高さに戻ります。最高点の加速度は -6 m/s² です。

4. 位置の式は y = 15t − 5t² です。y = 0 とすると 0 = 5t(3 − t) なので t = 0 または 3 s です。出発後に戻るのは 3 s 後で、速度は v = 15 − 10 × 3 = -15 m/s です。3 s 後の位置は 15 × 3 − 5 × 3² = 0 m となり、原点へ戻る条件を満たします。負号は下向きを表します。

持ち帰る4行

• 正方向と原点を決め、初速度と加速度に符号をつけます。
• 空気抵抗を無視すると、加速度は常に鉛直下向きです。
• 最高点は速度0、出発位置への帰着は変位0で表します。
• 速さや距離は大きさで答え、速度や変位の符号と区別します。

説明できるか確かめる

式を覚えていても、初速度の符号を選ぶところで手が止まる場合があります。まず紙に原点と正の矢印を描き、投げた向きと重力加速度の向きを別々に指さしてみてください。上向きを正にした場合と下向きを正にした場合で符号が変わっても、実際の向きが同じになるかを確かめます。

個別指導で確かめるなら、最高点の前後の速度を言葉で説明できるか、戻る条件を位置の式に入れられるかを見ると、つまずいた箇所が見えます。計算結果が負になった場合も、直ちに消さず、その負号が選んだ座標のどちら側を表すかを説明します。速度が一瞬0になる場所でも、下向きの加速度は続きます。