高校物理基礎 等加速度直線運動—速度と時刻のグラフから三つの式を使い分ける｜武蔵野個別指導塾

速度が0を越えるグラフで変位と道のりを区別し、停止までを計算する鍵は等加速度です。

よくあるのは、速度と時刻のグラフで横軸より下の部分も正の面積として足し、その値を変位とする場面です。折り返して戻った分も進んだ分に加えると、移動した道のりは求められますが、出発点からの位置の変化とは一致しません。図の上下に意味を持たせると、停止や折り返しを含む運動も整理できます。

問題の形を見分ける

等加速度直線運動は、一直線上を一定の加速度で動く運動です。問題では、初速度と加速度から、ある時刻の速度や変位を求める形が出ます。条件を表に並べ、求める量と与えられた量を結ぶ式を選びます。位置を問われたら変位に初めの位置を足すところまで必要です。

別の形は速度と時刻のグラフを読む問題です。直線の傾きから加速度を求め、軸と直線の間の符号つき面積から変位を求めます。横軸より上と下にまたがる場合、変位では下の部分を引きます。道のりではそれぞれの面積の大きさを足します。何を答えるかで計算が分かれるので、問題文の「変位」「道のり」「位置」に印をつけておきましょう。

もう1つは、減速する物体が止まるまでの時間や移動距離を求める形です。停止の瞬間には速度が0です。ただし、その後も同じ加速度が続くとは限りません。止まるまでを問われたなら、その区間を終点として式を立てます。折り返し後まで同じ加速度が続くと明記された問題では、停止の前後を分けて考えます。

直線の傾きと面積が表すもの

直線上に座標軸をとり、正の向きを初めに決めます。時刻0の位置を x₀、初速度を v₀、一定の加速度を a、時刻 t の速度を v、時刻0からの変位を Δx とします。位置 x と変位の関係は x = x₀ + Δx です。変位は終点の座標から始点の座標を引いた値で、負にもなります。

速度を縦軸、時刻を横軸にした v-t 図では、加速度は直線の傾きです。時刻が Δt だけ進む間の速度の変化を Δv とすると、a = Δv / Δt です。速度が増える向きに傾けば正、減る向きに傾けば負です。速度が負でも、傾きの符号は直線の向きで判定します。

図1のように、横軸より上の面積は正方向の変位、下の面積は負方向の変位を表します。図の直線は速度が正から0を通って負に変わります。上と下の面積を符号つきで合計すれば全体の変位です。一方、道のりは実際に移動した長さなので、上と下の面積の大きさを足します。速度が0の瞬間には止まりますが、一定の負の加速度が続けばその後は負方向へ動きます。

一定加速度の3式は次のとおりです。ここで t は区間の長さであり、途中を新たな始点に選んだ場合はそこからの経過時間です。

• v = v₀ + at
• Δx = v₀t + (1/2)at²
• v² − v₀² = 2aΔx

1本目は速度の変化が at であることを表します。2本目は、平均の速度が (v₀ + v) / 2 であることから得られます。v = v₀ + at を平均速度に代入し、時間 t をかけると Δx = v₀t + (1/2)at² です。平均速度の式は、速度が時間に対して直線的に変化するこの運動で使えます。

3本目は時間を含まない式です。a が0でないとき、1本目の t = (v − v₀) / a を平均速度と時間の積に入れると導けます。a = 0 の場合も両辺は0です。ただし、速度の2乗には向きが残りません。平方根をとるときは、運動の区間や正方向をもとに符号を決めます。

例えば時間と初速度、加速度が与えられ、速度を求めるなら1本目が直接使えます。時間と初速度、加速度から変位を求めるなら2本目、時間が不明で速度と変位を結びたいなら3本目が便利です。未知の量が式に2つ残る場合は、別の式や停止の条件を加えます。単位は速度が m/s、加速度が m/s²、時間が s、変位が m です。at は m/s、at² は m になり、式の両側の単位もそろいます。

基本例題：加速する台車の変位

水平な直線上で台車が動きます。右向きを正とし、時刻0の位置を原点とします。台車の初速度は +2 m/s、加速度は一定で +2 m/s² です。時刻0から4 s の間、同じ加速度で動くものとします。4 s 後の速度と位置を、符号をつけた整数で単位とともに求めてください。

図2のように、初速度は縦軸の切片、4 s 後の速度は直線の右端の高さです。まず、速度の式に条件を代入します。

v = v₀ + at

v = 2 + 2 × 4

v = +10 m/s

次に、時刻0から4 s までの変位を求めます。

Δx = v₀t + (1/2)at²

Δx = 2 × 4 + (1/2) × 2 × 4²

Δx = 8 + 16

Δx = +24 m

初めの位置が0 m なので、位置は x = 0 + 24 = +24 m です。答えは速度 +10 m/s、位置 +24 m です。図2では速度がこの区間で正なので、台形の面積がそのまま正の変位を表します。台形を高さ2 m/s の長方形と、その上の三角形に分けても、面積は 2 × 4 + (1/2) × 4 × 8 = 24 m です。

確かめると、速度は4 s で 10 − 2 = 8 m/s 変わります。その変化を4 s で割れば +2 m/s² となり、与えられた加速度に戻ります。平均速度は (2 + 10) / 2 = 6 m/s で、4 s の変位は 6 × 4 = 24 m です。速度の増加と位置の両方が問題の条件に合います。

ここで原点が出発点と異なる問題なら、+24 m は位置ではなく変位です。たとえば初めの位置が負の座標で与えられたときも、その座標に +24 m を加えて終点の位置を出します。原点を移しても速度や変位は変わりませんが、位置の数値は変わるため、最後に何を求めたかを確認します。

停止と折り返しで区間を分ける

別の台車が直線上を右向きに動きます。右向きを正、出発点を原点とし、初速度を +6 m/s、一定の加速度を -2 m/s² とします。停止後も同じ加速度で動くものとして、時刻0から5 s までの停止時刻、変位、道のりを整数で単位とともに求めます。

停止時の速度を0と置き、1本目の式から経過時間を求めます。

0 = 6 + (-2)t

2t = 6

t = 3 s

時刻3 s までの変位は、初速度と停止時の速度の平均を使うと (6 + 0) / 2 × 3 = +9 m です。時刻5 s の速度は 6 + (-2) × 5 = -4 m/s です。3 s から5 s までの2 s は負方向に動き、その変位は (0 + (-4)) / 2 × 2 = -4 m です。

したがって、全体の変位は +9 + (-4) = +5 m、道のりは 9 + 4 = 13 m です。5 s 後の位置は出発点から右に5 m です。停止時の位置は右に9 m なので、そこから左に4 m 戻れば右に5 m となり、答えを場面に戻して確かめられます。

この問題で「停止までの距離」だけを求めるなら、区間は3 s までです。3本目の式に停止時の速度0を代入すれば、0² − 6² = 2 × (-2) × Δx から Δx = +9 m です。停止前は速度が正なので距離も9 m です。時刻5 s までと停止までを混ぜると、同じ台車でも答えは変わります。

また、加速度が負という情報だけで停止すると決めることはできません。初速度も負なら、一定の負の加速度のもとでは負方向への速さが増し、将来の停止時刻を0 = v₀ + at から求めると負になります。負の時刻は設定した始点より前を指すため、始点以後の停止という問いには使えません。速度と加速度の向き、時間の範囲を先に照合しましょう。

面積の符号を取り違えたとき

図3は、正方向に動いてから折り返す物体の速度を表します。0 s から2 s までの面積の大きさが4 m、2 s から3 s までの面積の大きさが1 m です。加速度は全区間で一定です。変位を「4 + 1 = 5 m」と答えた場合、5 m は道のりであって変位ではありません。

原因は、図形の面積の大きさと、速度に対応する符号を別々に扱っていないことです。図3のように、横軸の下では速度が負です。したがって、変位は +4 + (-1) = +3 m、道のりは 4 + 1 = 5 m と直します。右に4 m 進んで左に1 m 戻ると、出発点より右に3 m という場面にも一致します。

逆に、道のりを +3 m とする誤りもあります。負方向に移動した長さは消えるのではなく、道のりに加わります。符号つきの和を出した後で絶対値をとるだけでは、途中の往復分が失われます。まず速度が0になる時刻で区切り、各区間の変位の大きさを足してください。

式を使うときにも、負の符号を落としやすいところがあります。正方向を決めた後は、減速しているからといって加速度を常に負にするのではなく、速度がどちら向きに変化するかを見ます。負の速度が0に近づく減速なら加速度は正です。さらに、v² の式から速さを出しても、その値に自動的に正の速度の符号がつくわけではありません。向きが不明なら、その式だけで速度の符号は決まりません。

練習問題

次の各問では、記された区間で加速度が一定とします。速度と変位は正方向を基準に符号をつけ、答えは整数または必要に応じて分数で、単位とともに示してください。

1. 直線上を右向きに走る模型車の初速度は +3 m/s、加速度は +1 m/s² です。右向きを正とし、時刻0から6 s 後の速度と、その間の変位を求めてください。
2. 直線上を右向きに滑る物体の初速度は +8 m/s、加速度は -4 m/s² です。右向きを正とし、止まるまでの時間と道のりを求めてください。停止まで一定の加速度が続きます。
3. 直線上を動く点の速度は、右向きを正として時刻0に +4 m/s、時刻6 s に -2 m/s です。時刻0から6 s までの加速度、変位、道のりを求めてください。
4. 直線上を左向きに動く模型の初速度は -5 m/s です。右向きを正とし、加速度は +1 m/s² で一定です。左向きに進んでいる間に、出発点から左に12 m 移動した時の速度と、その時までの経過時間を求めてください。

答えと考え方

1. 速度は v = 3 + 1 × 6 = +9 m/s です。変位は Δx = 3 × 6 + (1/2) × 1 × 6² = 18 + 18 = +36 m です。平均速度は (3 + 9) / 2 = 6 m/s なので、6 s で +36 m 移動します。速度の変化 9 − 3 = 6 m/s を6 s で割ると、条件の +1 m/s² に戻ります。

2. 速度0を代入すると 0 = 8 − 4t より t = 2 s です。停止前は速度が正なので、道のりは (8 + 0) / 2 × 2 = 8 m です。逆に、2 s で速度が 8 m/s 減るので加速度は -4 m/s² です。3本目でも 0² − 8² = 2 × (-4) × 8 となり、停止までの距離に合います。

3. 加速度は (-2 − 4) / 6 = -1 m/s² です。停止時刻は 0 = 4 − t より4 s です。停止までの変位は (1/2) × 4 × 4 = +8 m、そこから6 s までの変位は -(1/2) × 2 × 2 = -2 m です。全体の変位は +8 − 2 = +6 m、道のりは 8 + 2 = 10 m です。速度の変化は6 s で -6 m/s なので終点の速度は -2 m/s に戻ります。右に8 m 進んで左に2 m 戻る位置も +6 m です。

4. 移動中の変位は -12 m です。v² − (-5)² = 2 × 1 × (-12) より v² = 1 です。左向きに進んでいる条件から v = -1 m/s と選びます。-1 = -5 + t より t = 4 s です。平均速度は (-5 + (-1)) / 2 = -3 m/s で、4 s の変位は -12 m となり、問題の位置に戻ります。もう一方の +1 m/s は折り返した後の速度なので、指定された区間には合いません。

覚えておくこと

• v-t 図の傾きは加速度、符号つき面積は変位です。
• 道のりは向きが変わる区間ごとの移動距離を足します。
• 停止の瞬間は v = 0 と置き、問われた時間の範囲を守ります。
• 3式を使う前に正方向と始点を決め、最後に単位と向きを確かめます。

答えにたどり着けないときの確認

グラフから式に移れないときは、まず2点の時刻と速度を書き、縦の変化を横の変化で割って傾きを説明できるか試します。次に、軸より下の三角形を指して、その部分で物体がどちらへ動くかを言葉にします。面積の数値だけを先に出すより、符号を選ぶ理由が見えます。

個別指導では、停止前後の図を見ながら、変位と道のりをそれぞれどの区間の和にするか、本人の言葉で確かめると効果的です。式の選択で止まった場合は、初速度、加速度、時間、終速度、変位のうち既知の量に印をつけ、未知数がいくつ残るかを一緒に調べます。計算後は、求めた速度から加速度を逆算し、移動の向きと位置を問題の場面へ戻します。符号と区間を確かめれば、折り返しを含む運動も座標の上で追えます。