高校物理基礎 加速度—速度の変化を正負つきで計算して運動を説明する｜武蔵野個別指導塾

符号つきの速度を引き算し、左向きに速くなる運動や折り返しを計算して、加速度と減速の関係を整理できます。

よくあるのは、高校生が加速度の値に負の符号を見つけ、それだけで物体は必ず減速していると決める場面です。右向きを正に決めたとき、左向きに進む物体の速度がさらに左向きに変化すれば、加速度は負ですが速さは増します。符号は決めた軸に対する向きを表します。速さが増えたか減ったかは、速度とその変化の向きを合わせて判断します。

ここでは一直線上の運動を扱い、ある時間における平均加速度を計算します。速度と時刻のグラフの面積から変位を求める方法には立ち入りません。まず速度の変化を引き算し、その後で運動の様子を言葉に直しましょう。

問題で求められるものを分ける

定期テストでは、始めと終わりの速度、経過時間から平均加速度を求める型があります。初めの速度と終わりの速度に符号をつけ、終わりから初めを引くことが出発点です。左向きの速度を負にする条件では、速さの数字をそのまま引き算すると向きが抜けます。

次に、速度と加速度の符号から速さの増減を説明する型があります。正の加速度でも、負の向きに動く物体では速さが減る場合があります。どちらの符号も同じ軸に基づいているか、先に確かめてください。

もう一つは、速度の向きが途中で変わる型です。初めと終わりの速度の符号が異なるとき、単に速さの差を取ることはできません。また、区間全体の平均加速度だけでは、途中の各瞬間に速さが増えたか減ったかをすべて決められません。一定の加速度という条件があるかどうかも読み取ります。

速度の変化に向きをつける

物体の運動を調べる直線上に座標軸を置き、どちらか一方を正方向とします。速度は向きを含む量なので、正方向へ動けば正、反対方向へ動けば負です。速さは速度の大きさであり、負の数にはなりません。速度が -4 m/s なら、負方向へ速さ 4 m/s で動いています。

平均加速度は、選んだ時間の間に速度がどれだけ変化したかを、その経過時間で割った量です。始めの速度を v₁、終わりの速度を v₂、経過時間を Δt とすると、平均加速度 a は次の式で求めます。

a = (v₂ − v₁) / Δt

Δt は終わりの時刻から始めの時刻を引いた正の値です。速度の変化は「終わり − 始め」であり、速度の大きさ同士の差とは限りません。単位は (m/s)/s、つまり m/s² です。加速度が正なら速度の値は全体として正方向へ変化し、負なら負方向へ変化します。

図1のように、右向きを正にして速度が +2 m/s から +5 m/s に変わると、速度の変化は +3 m/s です。変化の向きは右向きです。同じ時間内に -2 m/s から -5 m/s に変わる場合の変化は -3 m/s で、向きは左です。どちらも速度の大きさは増えますが、変化の符号は逆になります。

ある瞬間に速度と加速度が同じ向きなら、その前後の十分短い時間では速さが増える向きに速度が変化します。逆向きなら速さが減ります。一定加速度の運動では、速度の符号が変わらない区間でこの判定をそのまま使えます。速度が 0 の瞬間には進行方向が定まらないため、正負の組だけで増減を決めず、その前後を分けて考えます。

平均加速度は区間の始めと終わりから求める値です。途中で加速度が変わっていても計算できますが、その値が各瞬間の加速度と同じとは限りません。例えば途中でいったん速くなってから遅くなった運動も、両端の速度が同じなら平均加速度は 0 です。平均が 0 という事実から、途中ずっと一定の速度だったとは言えません。

基本例題：左向きに速くなる台車

水平な一直線の上を動く台車を考えます。右向きを正とし、台車の速度は始めに -2 m/s、そこから 3 s 後に -8 m/s でした。この間の平均加速度を符号と単位をつけて整数で求め、速さが始めと終わりでどう変わったか答えてください。途中の運動については追加の条件を置きません。

図2のように、2つの矢印はともに左向きで、終わりの矢印が長くなっています。矢印は異なる時刻の同じ台車の速度を表します。座標の正方向と矢印の向きを区別して、数値を式に入れます。

始めの速度 v₁ = -2 m/s

終わりの速度 v₂ = -8 m/s

経過時間 Δt = 3 s

速度の変化 v₂ − v₁ = (-8) − (-2) = -6 m/s

平均加速度 a = (-6 m/s) / (3 s) = -2 m/s²

答えは -2 m/s² です。速度の変化が負なので、平均加速度は負方向、つまり左向きです。始めの速さは 2 m/s、終わりの速さは 8 m/s ですから、両端を比べると速さは 6 m/s 増えています。ただし、途中でずっと速さが増え続けたかどうかは、この条件からは決まりません。

答えを元の条件に戻してみます。平均加速度 -2 m/s² に 3 s を掛けると速度の変化は -6 m/s です。始めの -2 m/s に -6 m/s を加えると -8 m/s となり、終わりの値に戻ります。単位も m/s² に s を掛けて m/s になります。

誤って (-8) − 2 とすると -10 になり、始めの速度についていた負の符号を落としています。式に代入するときは、負の数をかっこに入れてから引き算すると確認しやすくなります。平均加速度が負という答えと、速さが両端で増えたという説明は矛盾しません。

向きが途中で変わるときの分かれ目

一直線上を動く小車について、右向きを正とします。始めの速度は +6 m/s で、4 s 後の速度は -2 m/s です。この4 s の加速度は一定とします。平均加速度を符号つきの整数で求め、速さの増減を説明してください。

初めと終わりの速度の符号が違うので、途中で速度が 0 になる時刻を境に分けます。まず速度の変化は (-2) − (+6) = -8 m/s です。経過時間 4 s で割ると、平均加速度は -8 / 4 = -2 m/s² です。一定という条件があるため、この区間の各時刻の加速度も -2 m/s² です。

この値は速度が1 s あたり負方向に 2 m/s ずつ変化することを表します。始めから 1 s 後は +4 m/s、2 s 後は +2 m/s、3 s 後は 0 m/s、4 s 後は -2 m/s です。したがって最初の 3 s は正向きの速度と負向きの加速度が逆向きで、速さは減ります。その後は速度と加速度がともに負向きとなり、速さは増えます。

検算では、4 s の速度変化が (-2) × 4 = -8 m/s、終わりの速度が +6 − 8 = -2 m/s となることを確かめます。3 s 後に 0 m/s となることも +6 − 2 × 3 = 0 で戻せます。平均加速度の計算自体には一定という条件は不要ですが、3 s 後の停止やその前後の増減を特定するには、ここで与えた一定という条件が必要です。

初めと終わりの速さは 6 m/s と 2 m/s です。その差だけで「4 m/s 遅くなった」と考えて平均加速度を -1 m/s² とすると、終わりの向きが失われます。速度は +6 から 0 を通って -2 へ変わるので、符号つきの変化は -8 m/s です。途中の停止は一瞬であり、速度が 0 のとき加速度まで 0 になるとは限りません。

間違いを速度の矢印で直す

「加速度が負だから減速」という答えは、正方向に動いている場合には当たることがあります。しかし、それを負方向の運動にも広げると失敗します。原因は、加速度の符号を速さの増減の符号と取り違えることです。符号は座標軸に対する向きなので、まず速度の向きと比べます。

図3のように、左向きの速度に左向きの加速度が加わる場面では、速度と加速度が同じ向きです。一定加速度で左向きに動いている区間なら、時間がたつにつれ速度の大きさが増えます。左向きの速度に右向きの加速度が対応する区間では、速度の大きさは減ります。判断の前に軸と2本の矢印を描くと、符号に込めた向きを見失いにくくなります。

もう一つの誤りは、時刻の読み間違いです。例えば始めが時刻 2 s、終わりが時刻 7 s なら、分母は終わりの時刻 7 s ではなく経過時間 5 s です。時刻と経過時間を別々に書いてから割ります。単位を省略して計算すると、速度の変化と加速度を混同しやすいため、最後に m/s² まで確認してください。

正方向を逆に取り直しても、現実の運動は変わりません。同じ運動の速度と加速度の符号はともに反転しますが、2つが同じ向きか逆向きかは変わらず、速さの増減も変わりません。答えの符号が模範的な軸と違うときは、最初にどちらを正にしたかを照合します。

自分で解く4問

各問では一直線上の運動を考え、書かれた方向を正とします。加速度の数値は符号と m/s² をつけた整数で答え、速さは m/s で答えてください。途中の加速度が一定と書かれていない問では、各瞬間の運動を推測しないでください。

1. 右向きを正とする模型車の速度が +3 m/s から +11 m/s に 4 s で変わりました。平均加速度と、両端での速さの増減を求めてください。
2. 東向きを正とする小球の速度は時刻 2 s に -9 m/s、時刻 5 s に -3 m/s でした。平均加速度と、両端での速さの増減を求めてください。
3. 西向きを正とするそりの速度が +4 m/s から -6 m/s に 5 s で変わりました。平均加速度を求め、始めと終わりの移動方向を答えてください。
4. 右向きを正とする物体が、初めに -8 m/s で動いています。その後 6 s の間、加速度は一定で +2 m/s² です。終わりの速度と、速さが減る区間と増える区間を答えてください。

解答と戻して確かめる手順

1の解答

速度の変化は (+11) − (+3) = +8 m/s です。経過時間が 4 s なので、平均加速度は +8 / 4 = +2 m/s² です。始めの速さは 3 m/s、終わりは 11 m/s なので、両端では 8 m/s 増えました。

戻して確かめると、+2 m/s² に 4 s を掛けた変化 +8 m/s を始めの +3 m/s に加え、+11 m/s です。途中の速さが常に増えていたかは、一定加速度という条件がないため判定できません。

2の解答

経過時間は 5 − 2 = 3 s です。速度の変化は (-3) − (-9) = +6 m/s なので、平均加速度は +6 / 3 = +2 m/s² です。始めの速さ 9 m/s と終わりの速さ 3 m/s を比べると、両端では 6 m/s 減りました。

+2 m/s² に 3 s を掛けた +6 m/s を -9 m/s に加えると -3 m/s に戻ります。加速度が正でも、左側の数から 0 に近づく速度の変化なら、速さは両端で小さくなります。ここでも途中の増減を細かく決める条件はありません。

3の解答

速度の変化は (-6) − (+4) = -10 m/s です。これを 5 s で割り、平均加速度は -2 m/s² です。正方向を西と決めたので、始めは西向き、終わりは東向きです。速さはそれぞれ 4 m/s、6 m/s です。

-2 m/s² に 5 s を掛けると -10 m/s です。これを +4 m/s に加えると -6 m/s となり、指定された終わりの速度と一致します。速さの差の +2 m/s を使うと、途中で向きが変わった分を表せません。

4の解答

6 s 間の速度の変化は (+2 m/s²) × 6 s = +12 m/s です。終わりの速度は -8 + 12 = +4 m/s です。一定加速度なので、速度が 0 になるのは -8 + 2 × 4 = 0 より始めから 4 s 後です。

始めから 4 s 後までは負の速度と正の加速度が逆向きなので速さが減ります。4 s 後から 6 s 後までは速度と加速度が正で同じ向きとなり、速さが増えます。停止の瞬間を境にして説明します。

確認として、4 s 間の変化 +8 m/s を -8 m/s に加えると 0 m/s です。残る 2 s の変化は +4 m/s なので、終わりは +4 m/s となります。全体の変化も +12 m/s であり、初めと終わりの差 (+4) − (-8) に一致します。

覚えておきたいこと

• 平均加速度は速度の変化を経過時間で割ります。
• 速度の変化は、符号を含めて終わりから始めを引きます。
• 速度と加速度が同じ向きなら速さは増え、逆向きなら減ります。
• 速度が 0 を通るときは、その前後を分けて考えます。
• 区間の平均値だけでは、途中の各瞬間の変化は決まりません。

説明が止まる場所を見つける

解答を見直すときは、最初に正方向を矢印で示し、始めと終わりの速度をその軸の上で説明できるか確かめます。数値を出せても、負の速度を「左向き」と言い直せなければ、符号を単なる計算記号として扱っている可能性があります。負の数を引く箇所で止まるなら、2つの速度をそれぞれかっこに入れて変化を求め直します。

個別指導で確認するなら、同じ向きの速度と加速度の矢印を描き、その後の速さがどうなるかを本人の言葉で説明してもらいます。続いて加速度の向きだけを逆にし、速度が 0 になる前と後で判断がどう変わるかを尋ねます。平均値の問題では、途中が一定と指定されているかも一緒に読み直します。軸、速度の変化、速さの順に確かめれば、負の加速度も運動の向きに結びつきます。