高校受験の理科 凸レンズと像—物体の位置を変えたときの像を光線で確かめる｜武蔵野個別指導塾

焦点の内側や焦点上でスクリーンに像が映らない理由を、代表光線の交点と延長線から判断できます。

よくあるのは、中学生がスクリーンを動かしても像が映らず、どこで調節をやめればよいか困る場面です。位置が合っていないのか、そもそもスクリーンに映る像ができない位置に物体があるのかは、動かした結果だけでは決められません。レンズと物体の距離を焦点距離と比べ、光の進み方を紙の上で追うと、次に確かめる場所が見えてきます。

何を手がかりに像を探すか

問題の出方には、平行な光が集まる点から焦点距離を読む型があります。レンズの中心から測る距離なのか、焦点どうしの距離なのかを区別します。もう1つは、物体の先端から出る光を描き、スクリーンにできる像の位置と向きを求める型です。物体を動かした後に像がどう変わるかを、同じ図で比べることもあります。

さらに、レンズを通して物体を見る場面では、スクリーンに映る像と、目で見える虚像を区別します。目に見えることと、スクリーンに映ることは同じ条件ではありません。まずレンズ、焦点、物体、スクリーンまたは目の位置を図に記し、問いが何を求めているかを確認します。次に代表的な光線を引き、線の実際の交点と、延長線の交点を区別します。

ここでの図は、薄い凸レンズを横から見た模式図です。物体は光軸に垂直に立ち、光は左から右へ進むものとします。レンズの公式を使わず、定規で引いた線と相似の関係から判断します。屈折そのものの角度の計算には踏み込みません。

焦点と光線の約束

凸レンズは中央が周辺より厚いレンズです。レンズの中心を通り、レンズの面に垂直な直線を光軸と呼びます。光軸に平行に入った光は、レンズを通った後、反対側の光軸上の焦点を通ります。焦点は左右にあり、中心からそれぞれの焦点までの距離を焦点距離といいます。図1のように、焦点距離は中心から片側の焦点まで測ります。

図1の左右の焦点は、同じレンズでは中心から等しい距離にあります。左から来た平行な光が右の焦点へ向かうことを、光の矢印で確かめてください。光を右から入れる場合には、進む向きも左右の役割も逆になります。

物体の先端からの光線を描くときは、描きやすい2本を選びます。1本目は光軸に平行にレンズへ入り、反対側の焦点を通る光です。2本目はレンズの中心を通り、向きを変えず直進する光です。薄いレンズの模式図では、このように中心を通る光を直線で表します。別の選び方として、物体側の焦点を通ってレンズに入る光は、出た後に光軸と平行になります。

レンズを出た光が実際に集まる点にできるのが実像です。物体の各点から出た光がそれぞれ別の点に集まり、スクリーンをその位置に置くと像を受けられます。先端の交点から光軸へ垂線を下ろせば、軸上に根元がある物体の像の大きさと向きを描けます。実像は上下が逆向きです。

一方、レンズを出た光が広がる場合、出てきた光を物体側へ逆向きに延長すると交わることがあります。この延長線の交点から光が来たように目に見える像が虚像です。そこに光が実際に集まるわけではないので、スクリーンには受けられません。虚像は物体と同じ向きに見えます。実線は実際の光の道、破線は逆向きにたどる補助線として使うと混同を防げます。

基本例題：光が集まる位置を描く

焦点距離が 4 cm の薄い凸レンズがあります。光軸上のレンズの中心から左へ 12 cm の位置に、高さ 2 cm の矢印を光軸に垂直に立てます。矢印の根元は光軸上です。矢印の先端から出た光の作図により、像の位置、向き、高さを求めてください。距離と高さは cm 単位の小数で表し、丸めません。光は左から右へ進みます。

図2のように、まず中心を基準に左右 4 cm の位置に焦点を置き、左 12 cm に物体の先端を記します。作図では、距離と高さを同じ縮尺で描きます。焦点と先端の位置がずれると交点もずれるため、先に目盛りを確かめます。

図2では、先端から光軸に平行に進む光をレンズまで引き、その後は右の焦点を通る直線にします。もう1本は先端とレンズの中心を直線で結び、右側へ延ばします。2本が右側で交わるので、そこが実像の先端です。交点から光軸に垂線を引くと、像は軸の下側にできます。

位置を相似でも確かめます。像までの距離を x cm、像の高さを y cm とします。中心を通る光をはさんだ三角形から、物体と像の高さの比は距離の比と同じです。

y ÷ 2 = x ÷ 12

平行に入った光はレンズの位置で軸から 2 cm の高さにあり、右の焦点で軸を横切ります。焦点から交点までの距離は x − 4 cm です。焦点の両側にできる三角形から、次の関係も成り立ちます。

y ÷ 2 = (x − 4) ÷ 4

右辺どうしを等しくし、両辺に 12 をかけます。

x ÷ 12 = (x − 4) ÷ 4

x = 3(x − 4)

x = 3x − 12

2x = 12

x = 6

最初の比に戻すと、y ÷ 2 = 6 ÷ 12 なので y = 1 です。答えはレンズの右 6.0 cm、物体と上下が逆向き、高さ 1.0 cm の実像です。位置を戻して調べると、中心を通る線の高さの比は 2 : 1、中心からの距離の比は 12 : 6 で一致します。焦点を通る線でも、焦点の左右の距離は 4 : 2、高さは 2 : 1 です。スクリーンは右 6.0 cm に置けば像を受けられます。

焦点の内側に移したら

同じように薄い凸レンズを用い、今度は焦点距離を 6 cm とします。高さ 2 cm の矢印の根元を光軸上に置き、中心から左へ 3 cm 離します。光は左から右へ進み、レンズの右から目で見ます。像の位置、向き、高さを作図と相似で求めてください。距離と高さは cm 単位の小数で表し、丸めません。

先端から平行に進む光は右の焦点へ向かいます。中心を通る光はそのまま右下へ進みます。レンズの右では2本が広がるため、実際の光線は交わりません。2本を物体側に破線で延長すると、左側で交わります。実線どうしの交点ではないので、スクリーンをその場所へ置いても像を受けられません。

像までの距離を左向きに x cm、高さを y cm とします。中心を通る線の相似から y ÷ 2 = x ÷ 3 です。平行に入る線を逆に延長してできる三角形から、y ÷ 2 = (x + 6) ÷ 6 です。右辺を等しくして両辺に 6 をかけます。

x ÷ 3 = (x + 6) ÷ 6

2x = x + 6

x = 6

したがって y ÷ 2 = 6 ÷ 3 から y = 4 です。答えは中心から左 6.0 cm、物体と同じ向き、高さ 4.0 cm の虚像です。中心からの距離の比 3 : 6 と高さの比 2 : 4 が一致します。焦点を通る直線についても、右焦点から中心までの 6 cm と右焦点から虚像までの 12 cm に対し、高さは 2 cm と 4 cm で対応します。

分かれ目は物体が焦点より外側か内側かです。外側なら、反対側で光が集まって実像ができます。内側なら、出た光は広がり、延長線が物体側で交わる虚像になります。ちょうど焦点に先端を持つ物体ではなく、根元を焦点の位置に置く場合を考えると、先端から出た代表光線はレンズ通過後に平行になり、有限の位置で交わりません。この場合もスクリーンを動かして鮮明な像を得る位置はありません。

映らないときに線から直す

誤答として、焦点の内側の物体について、レンズの右側に実線を適当に延ばし、交わらない2本を無理につないで「実像」とする例があります。原因は、焦点を通る光の向きと、線を逆に延長してよい範囲を区別していないことです。図3のように、レンズから右へ進む実線は広がり、左へたどる破線が交わります。

図3の破線は光が左向きに進むことを表していません。右側の目に入る光を逆にたどるための線です。交点を見つけたら、実線が集まるか、破線どうしが交わるかを声に出して区別します。像が虚像なら、スクリーンを左右に動かし続ける代わりに、物体を焦点の外側へ移す条件を検討します。

像がぼやける場合も、すぐに虚像だと決めることはできません。焦点の外側に物体があっても、スクリーンが実像の位置からずれていれば鮮明には映りません。位置関係を先に確認し、実像ができる作図なら交点に合わせます。また、光源や物体、レンズ、スクリーンの高さがそろっていない場合も、求めた位置だけでは受けられません。装置の中心をそろえてから位置を見直します。

左右の焦点を取り違える誤りにも注意します。左から入る平行光は、右側の焦点を通ります。物体側の焦点に線を向けてしまったら、矢印を光の進む向きに付け直し、レンズに入る前と出た後を分けて描きます。定規の線が交わったという事実だけでなく、その線がどの条件を表すかまで確認します。

練習：位置を変えて考える

以下はそれぞれ独立した自作の問題です。いずれも薄い凸レンズを使い、光は左から右へ進みます。物体は光軸に垂直で、根元は光軸上にあります。長さを求めるときは cm 単位の小数で表し、丸めません。

1. 焦点距離 5 cm のレンズの左 15 cm に、高さ 3 cm の矢印を置きます。像の位置、向き、高さと、スクリーンに受けられるかを答えてください。
2. 焦点距離 8 cm のレンズの左 16 cm に、高さ 3 cm の矢印を置きます。像の位置、向き、高さを答えてください。
3. 焦点距離 9 cm のレンズの左 6 cm に、高さ 2 cm の矢印を置き、右側から見ます。像の位置、向き、高さと、スクリーンに受けられるかを答えてください。
4. 焦点距離 7 cm のレンズの左 7 cm に矢印を置きます。先端からの平行光と中心を通る光を描いたとき、レンズの右側でどう進むか、スクリーンに鮮明な像を受けられるかを答えてください。

答えと道筋

1. 右 7.5 cm、上下が逆向き、高さ 1.5 cm の実像で、スクリーンに受けられます。距離を x、高さを y とすると、中心を通る光から y ÷ 3 = x ÷ 15、焦点を通る光から y ÷ 3 = (x − 5) ÷ 5 です。よって x = 3(x − 5)、x = 7.5、y = 1.5 です。距離の比 15 : 7.5 と高さの比 3 : 1.5 は一致し、焦点の両側も 5 : 2.5 と 3 : 1.5 が一致します。

2. 右 16.0 cm、上下が逆向き、高さ 3.0 cm の実像です。中心を通る光から y ÷ 3 = x ÷ 16、焦点を通る光から y ÷ 3 = (x − 8) ÷ 8 です。x = 2(x − 8) なので x = 16、y = 3 です。中心からの距離も高さも左右で等しく、右焦点の両側の距離も 8 cm ずつです。元の図に戻して線を引くと同じ交点になります。

3. 左 18.0 cm、物体と同じ向き、高さ 6.0 cm の虚像で、スクリーンには受けられません。左向きの距離を x、高さを y とすると、y ÷ 2 = x ÷ 6、また y ÷ 2 = (x + 9) ÷ 9 です。3x = 2(x + 9) から x = 18、y = 6 です。中心からの距離 6 : 18 と高さ 2 : 6 が一致します。右焦点からの距離も中心まで 9、虚像まで 27 で、高さの比 2 : 6 と合います。

4. レンズを出た2本は平行に進み、有限の位置では交わりません。したがって鮮明な像をスクリーンに受けられません。中心から物体までと右焦点までがともに 7 cm なので、中心を通る光と、平行に入って右焦点へ向かう光は同じ傾きになります。2本の高さの差は変わらず、交点を置かないことで元の条件を満たします。

手元に残す要点

焦点距離はレンズの中心から焦点までです。
平行光は反対側の焦点へ、中心を通る光は直進します。
実際の光の交点が実像、逆向きの延長線の交点が虚像です。
焦点の内側では虚像、焦点上では有限の位置に像ができません。

どこで迷っているかを見る

お子さまが答えを覚えていても、図を指して「この線は実際の光か、逆に延ばした線か」と尋ねると、判断の根拠が見えます。焦点の外側と内側でそれぞれ1本ずつ光を描き、レンズに入る前と出た後の向きを説明できるか確かめます。スクリーンに映らないと答えた場合も、焦点の内側なのか、焦点上なのか、実像の位置からスクリーンがずれているのかを分けて聞きます。

個別指導では、まず中心からの距離を測る位置を確認し、次に2本の線の交点と像の先端を対応させます。計算で止まる場合は、どの三角形の高さと底辺を比べたかを図に書き込み、答えを元の距離と高さへ戻します。光の道筋をたどれば、スクリーンを置くべき場所と、置いても映らない場合を区別できます。