高校地学 銀河の赤方偏移—スペクトル線のずれを無次元量で表して比べる｜武蔵野個別指導塾

静止波長で割ったずれから赤方偏移を比較し、観測波長を再現して速度近似の適用条件を点検します。

よくあるのは、高校生が2本のスペクトル線を見て、波長のずれが大きい線ほど赤方偏移も大きいと考える場面です。線ごとに出発点の波長が異なるなら、ずれの長さだけでは比べられません。静止している場合の波長を基準に、観測波長が何倍になったかを調べます。その比から何が言えて、何がまだ決まらないのかまで追いかけます。

要点（結論から）

• zは波長差を静止波長で割った単位のない量です。
• 観測波長は静止波長の1 + z倍です。
• 正は長波長側、負は短波長側へのずれを表します。

問いの形を見分ける

計算では、静止波長と観測波長を同じ単位にそろえ、差を静止波長で割ります。観測波長から静止波長を引く順番も重要です。求めた値が正か負か、単位が消えたかを確認します。速度を求める問いでは、さらに赤方偏移が十分小さいという条件を見落とさないようにします。

資料読解では、複数の線の位置を対応づけます。ずれが異なっていても、元の波長との比が同じなら、同じ割合で伸びたという読み方ができます。逆に割合が大きく食い違えば、線の取り違えや測定誤差を疑う手がかりになります。

説明問題では、光の波長が伸びることと、銀河の運動を推定することを区別します。宇宙の膨張に伴う成分に加え、銀河の固有運動も観測に影響します。1本の線から求めた値を、そのまま膨張だけの効果だと言い切らない姿勢が必要です。

まず基準となる線を置く

スペクトルは光を波長ごとに分けたものです。銀河の光には、明るい背景の中で弱くなる吸収線や、周囲より強くなる輝線が現れます。元素などに対応する線の静止波長を手がかりに、観測した線の位置を比べます。ここで静止波長とは、その線を出す物質と観測者との相対的なずれを考えない基準の波長です。

静止波長をλ静止、観測波長をλ観測とすると、赤方偏移zは次のように定義します。

z = (λ観測 − λ静止)/λ静止

波長差も静止波長も長さなので、zに単位はありません。波長を両方ともnmで表しても、両方とも別の同じ長さの単位で表しても、比は変わりません。図1のように、基準の線から観測した線までの差を読み、その差を基準の波長で割ります。線の位置は説明のための模式図で、実際のスペクトルの線幅や強さを表していません。

図1では観測波長が静止波長より長いので、差もzも正です。可視光の長波長側を赤い側と呼ぶことから赤方偏移といいますが、可視光以外の波長でも同じ定義を使えます。観測波長が短いときはzが負となり、青方偏移と呼びます。色の名前はずれの向きを示し、必ず肉眼で赤や青に見えるという意味ではありません。

式を整理すると、λ観測/λ静止 = 1 + zです。この形は、測定値からzを求めるだけでなく、求めたzを観測波長に戻す検算にも使えます。例えばzが0.1なら観測波長は基準の1.1倍です。差が0.1倍なのであり、観測波長そのものが0.1倍になるわけではありません。

銀河のスペクトルの赤方偏移は、宇宙の膨張を考える重要な手がかりです。膨張する宇宙を伝わる光の波長は、放出から観測までの空間の尺度の変化に対応して伸びます。一方、銀河は周囲に対する固有運動も持ち、観測者側の運動も測定に影響します。したがって観測したずれを解釈するときは、膨張以外の寄与や測定条件を考えます。

zが十分小さいとき、後退速度の近似としてv ≒ czを使えます。cは真空中の光速です。この関係は低赤方偏移の近似であり、大きなzにそのまま代入して正確な後退速度を得る式ではありません。zから速度への換算と、zを波長比として定義することは別です。大きなzでも波長からzを計算する定義は使えます。

2本の線で比を作る

例題1　ずれの長さと割合

自作の資料で、線Aの静止波長は400 nm、観測波長は420 nm、線Bの静止波長は600 nm、観測波長は624 nmです。各線のzを小数で求め、比較してください。図2はそれぞれの位置関係を表す模式図で、横方向の長さは波長の実寸比ではありません。

図2のAでは差が20 nm、Bでは24 nmです。差だけならBのほうが大きいものの、基準も異なります。順に計算します。

Aの波長差 = 420 - 400 = 20 nm
Aのz = 20/400 = 0.05
Bの波長差 = 624 - 600 = 24 nm
Bのz = 24/600 = 0.04

答えはAが0.05、Bが0.04で、赤方偏移が大きいのはAです。Aの差は基準の5%、Bの差は4%です。答えを元の場面に戻すと、400・1.05 = 420 nm、600・1.04 = 624 nmとなり、与えられた観測波長を再現します。別の方法では、420/400 = 1.05、624/600 = 1.04と倍率を先に出し、各倍率から1を引いても同じ結果です。

この2本を同一銀河の同一条件の測定と考えた場合、両者のzは一致しません。すぐに別の現象だと決めず、線の同定、波長の読み取り、測定誤差を点検します。資料の条件が不十分なとき、どれが原因かまでは特定できません。

例題2　小さいずれから速度を推定

自作の銀河の資料では、ある線の静止波長が500 nm、観測波長が505 nmです。zは十分小さく、他の運動の影響を無視できるものとします。光速を3.00 × 10⁸ m/sとし、近似した後退速度を有効数字3桁で求めてください。

波長差 = 505 - 500 = 5 nm
z = 5/500 = 0.01
v ≒ (3.00 × 10⁸)・0.01
v ≒ 3.00 × 10⁶ m/s

答えは約3.00 × 10⁶ m/sです。近似式を逆に使うとv/c ≒ 0.01となり、500・(1 + 0.01) = 505 nmを再現します。ただし、これは同じ近似式の中での確認です。近似自体の誤差がゼロだと証明したわけではありません。

有効数字の指定は、計算結果の表示をそろえるための問題条件です。波長がどの程度細かく測定されたかは別に考えます。測定の不確かさが大きい資料なら、計算機に表示された細かい桁まで物理的に確かな値として扱えません。

線の対応が怪しいときの判断

例題3　候補を比較し、誤差を考える

自作の資料で、ある銀河について静止波長300 nmと500 nmの2本の線を調べます。観測された候補は315 nm、525 nm、530 nmです。同じ割合の赤方偏移を受けた線として、300 nmに315 nmを対応させたとき、500 nmに対応する候補を選んでください。さらに各観測波長の読み取りに同程度の小さな絶対誤差がある場合、zの誤差への影響を比較してください。

まず300 nmの線で割合を決めます。

z = (315 - 300)/300 = 0.05
観測波長 = 500・(1 + 0.05)
観測波長 = 525 nm

答えは525 nmです。戻して確かめると、315/300 = 1.05、525/500 = 1.05です。530 nmを選ぶと530/500 = 1.06となり、最初の線の倍率とは一致しません。別解として、各候補の差を基準で割れば、25/500 = 0.05、30/500 = 0.06と比較できます。

測定誤差を考えると、静止波長を正確な基準とした場合、観測波長の誤差を静止波長で割ったものがzの誤差に対応します。同じnmの読み取り誤差なら、300 nmを分母とする線のほうが、500 nmを分母とする線よりzへの影響が大きくなります。ただし、各線の幅や強さが違えば読み取り誤差が同じとは限りません。

観測資料を読む計画では、あらかじめ基準線の候補と単位を記録し、複数の線で同じzが得られるか調べます。波長の目盛りの校正、線がぼやけた場合の中心位置、雑音による読み違いも確認します。測定がうまくいかず線が判別できない場合は、無理に対応を決めず、判別できる別の線や再測定を検討します。実際の観測や実験は学校の指導の下で行います。

候補がどれも誤差の範囲で合わない場合も、最も近い値を無条件に正解としません。別の線を取り違えた可能性、校正の問題、複数の天体の光が重なった可能性などを順に調べます。逆に複数候補が誤差の範囲で合えば、この資料だけでは候補を絞れないと答えるのが適切です。

誤答を直すための分岐

図3のように、差だけで比べる答えは基準の大きさを落としています。たとえば「24 nmずれたBのほうが20 nmずれたAより赤方偏移が大きい」という例題1への答えは誤りです。差をそれぞれの静止波長で割り直すと、Aの0.05がBの0.04を上回ります。図3は判断の順序を表し、線の長さを波長の縮尺として描いたものではありません。

図3で示したように、最初に単位をそろえ、次に静止波長との差を出し、最後に静止波長で割ります。分母を観測波長にしてしまうと定義と違う量です。観測波長が基準より長いのに負の値になった場合は、引く順番を点検します。

もう1つの誤答は、zが大きい資料にもv ≒ czを機械的に適用することです。波長比からzを求める操作は可能ですが、速度近似の条件は別に必要です。十分小さいと示されていない場合は、近似による速度を断定せず、波長比として結果を述べます。近似を使ってよい問題でも、固有運動の影響を無視する条件があるか確認します。

測定値が負のzを与えた場合も、計算失敗と決めつけないでください。観測波長が静止波長より短ければ、定義上は青方偏移です。ただし、線の同定や目盛りの校正が正しいかは別に点検します。符号は観測結果の向きを示し、原因を1つに決める証拠とは限りません。

練習問題

次の数値はすべて自作の条件です。波長の測定値は問題文に示す値を使い、zは小数で答えてください。近似速度を求める問では、光速を3.00 × 10⁸ m/sとし、有効数字3桁で答えてください。

1. ある線の静止波長は800 nm、観測波長は840 nmです。zを求め、観測波長が静止波長の何倍かも小数で答えてください。
2. 静止波長がそれぞれ250 nm、750 nmの線P、Qが、270 nm、795 nmで観測されました。どちらのzが大きいか、両方のzを求めて答えてください。
3. 静止波長400 nmの線について、z = -0.025でした。観測波長をnm単位の整数で求め、赤方偏移と青方偏移のどちらか答えてください。
4. 静止波長600 nmの線が612 nmで観測されました。zは十分小さく、固有運動などの影響を無視できるとします。近似した後退速度を求めてください。
5. 同じ銀河の線R、Sの静止波長はそれぞれ200 nm、700 nmです。Rは230 nmで観測されました。Sの候補は770 nmと805 nmです。同じ割合のずれを仮定して候補を選び、もし両候補とも測定誤差の範囲に入る場合に、この資料だけで何が言えるか述べてください。

練習の答えと道筋

1. 差は840 − 800 = 40 nmです。z = 40/800 = 0.05、倍率は1 + 0.05 = 1.05です。800・1.05 = 840 nmと戻せます。差の40 nmをそのままzとしないことがポイントです。
2. Pは(270 − 250)/250 = 0.08、Qは(795 − 750)/750 = 0.06です。Pのほうが大きくなります。250・1.08 = 270 nm、750・1.06 = 795 nmと戻せます。Qの波長差は45 nmでPの20 nmより大きいものの、基準に対する割合は逆です。
3. 観測波長は400・(1 − 0.025) = 390 nmです。基準より短いため青方偏移です。(390 − 400)/400 = -0.025と元の値を再現します。負号を消してしまうと、ずれの向きを失います。
4. z = (612 − 600)/600 = 0.02です。v ≒ (3.00 × 10⁸)・0.02 = 6.00 × 10⁶ m/sです。逆にv/c ≒ 0.02、600・1.02 = 612 nmとなります。速度は近似値で、与えられた条件を外して精密な速度とみなすことはできません。
5. Rのz = (230 − 200)/200 = 0.15なので、Sの予測波長は700・1.15 = 805 nmです。805/700 = 1.15、230/200 = 1.15と戻せます。770 nmは中心値では770/700 = 1.10です。ただし、両候補が誤差の範囲に入るなら、中心値が近いという理由だけで他方を排除できません。追加の線や精度の高い測定が必要です。このzに低赤方偏移の速度近似を適用する必要はありません。

要点を手元に残す

• zは波長差を静止波長で割った単位のない量です。
• 観測波長は静止波長の1 + z倍です。
• 正は長波長側、負は短波長側へのずれを表します。
• v ≒ czは低赤方偏移の近似で、固有運動の影響にも注意します。

答案のどこで止まったかを見る

波長差までは正しいのに比較を誤った答案なら、それぞれの静止波長を分母として書けるかを確かめます。符号が逆なら、観測値と基準値を波長軸に置き、引き算の順序と長波長側の向きを対応させます。速度の式だけを書いた答案では、zをどう測ったかと、近似を使える条件を口頭でも説明してもらいます。

個別指導では、まず生徒自身に線の対応と単位を書き込んでもらい、得られたzから観測波長へ戻します。複数の線が一致しない資料では、計算の誤りと測定・同定の不確かさを分けて考えられるかを確かめます。数値が合うだけでなく、その比が何を基準にしたものかを言葉で示せる答案が、赤方偏移の読み取りを支えます。