高校地学 HR図の等半径線—離れた位置の恒星の大きさを比で判断する｜武蔵野個別指導塾

全放射光度と温度の比から半径を計算し、HR図の等半径線が右下がりになる理由を確かめます。

よくあるのは、高校生がHR図の右上の星を見て、低温だから小さいと判断する場面です。温度が低ければ表面の単位面積から出るエネルギーは少なくなります。しかし、星全体の光度は面積にも左右されます。右上の星が低温なのに明るい理由を、面積の大きさから考えてみましょう。以下では全放射光度と表面温度を用い、半径の比較に焦点を当てます。

位置から何を問われるか

まず、温度と光度の比が与えられ、半径の比を求める型があります。温度の4乗と半径の2乗を分けて扱い、最後に正の平方根を取ります。温度が半分なら4乗は1/16です。半径まで半分にしてはいけません。

次に、HR図上の等半径線を読む型があります。同じ線上では半径が等しく、右下がりの線を横切って上側に移れば半径が大きくなります。ただし、この向きは横軸を左ほど高温、縦軸を上ほど大きい光度とした場合です。軸が変われば線の見え方も変わります。

最後に、離れた点を比べて理由を説明する型があります。赤色巨星と白色矮星は温度と光度の両方が異なるため、どちらか一方だけでは比較できません。低温でも光度が大きい星は、面積がその不利を補うほど広いと説明します。図の点は異なる星の比較であり、星が線に沿って進化するという意味ではありません。

面積と温度を座標に移す

恒星を球とみなし、表面が温度Tの黒体として放射する近似を使います。半径をR、全放射光度をL、ステファン・ボルツマン定数をσとすると、単位面積あたりの放射はσT⁴、球の表面積は4πR²です。したがってL=4πR²σT⁴です。光度は星が単位時間に全方向へ放つエネルギーで、観測地点の単位面積が受け取る放射束とは異なります。

基準の星を添え字0で示し、同じ近似を2つの星に適用すると、共通する4πとσが消えます。温度は絶対温度Kで比べ、半径と光度はそれぞれ同じ単位で比べます。

L/L₀=(R/R₀)²・(T/T₀)⁴

R/R₀=√(L/L₀)/(T/T₀)²

2行目では半径が正であることを使いました。実際の恒星の放射は理想的な黒体と完全に一致するとは限りません。ここでは有効温度と全放射光度を用いるモデルとして扱います。可視光の等級だけを全放射光度と同じものとみなすこともできません。波長帯によって放射の受け取られ方が違うため、必要な補正や条件がない問題では半径を確定しないでください。

図1のように、同じ半径なら高温側から低温側へ移るにつれて光度が減ります。図は両軸とも対数目盛りの模式図です。横軸は右へ行くほど温度が下がり、縦軸は上へ行くほど光度が上がります。等半径線は右下がりになります。線の上側は同じ温度で比較すると光度が大きいので、大きな半径に対応します。線の傾きや間隔を読むための模式図であり、星の実寸を表すものではありません。

図1の2本の線は平行です。横軸をlog T、縦軸をlog Lとすれば、一定半径の式はlog L=4 log T+定数です。ただし通常のHR図は温度を右へ向かって減らすので、紙面上の傾きは負になります。横軸の向きを普通の数直線のように高温が右になるよう反転すると、同じ関係は右上がりです。縦軸が絶対等級なら、数値が小さいほど明るいため、等級の数値を上向きに増やす場合は傾きがさらに反転します。縦軸のラベルと目盛りの順序を先に確認しましょう。

赤色巨星は低温側でも光度が大きく、広い表面を持つ星です。白色矮星は高温側でも光度が小さいものがあり、表面積が小さいと推定できます。色だけで半径を決めることはできません。また、主系列上の星の分布を1個の星の移動経路として読み替えないことも必要です。

基本例題：同じ温度で比べる

自作の星AとBは黒体近似が使え、表面温度は等しいとします。全放射光度はBがAの9倍です。Bの半径はAの何倍ですか。答えは正の整数で表してください。比の値は問題の仮定であり、実在星の観測値ではありません。

図2のように、同じ温度の点を縦に比較します。図は対数目盛りの模式図で、光度の比を点の高さに反映しています。円の大きさは恒星の実寸を示しません。

温度の比は1です。式に代入し、正の半径を選びます。

9=(RＢ/RＡ)²・1⁴

(RＢ/RＡ)²=9

RＢ/RＡ=3

答えは3倍です。元の条件に戻すと、表面積の比は3²=9、単位面積の放射は同じです。したがって光度比は9になり、与えられた値と一致します。図2でも同じ温度でBが上にあることは確認できますが、図の高さを物差しで測るだけでは平方根を取る根拠は示せません。

別解では、温度が等しいので単位面積の放射も等しいと考えます。光度の比9は面積の比9です。球の面積は半径の2乗に比例するので、半径の比は3です。この言葉による解法は、式に代入する前の見通しとしても使えます。

標準例題：低温で明るい星

自作の星Cは星Dに比べて表面温度が1/2、全放射光度が4倍です。両星を黒体として扱い、Cの半径がDの何倍かを正の整数で求めてください。半径と温度の比を用い、光度比を再現して確かめます。

4=(RＣ/RＤ)²・(1/2)⁴

4=(RＣ/RＤ)²/16

(RＣ/RＤ)²=64

RＣ/RＤ=8

Cの半径はDの8倍です。Cの表面積はDの64倍で、単位面積の放射は1/16です。両者の積は64/16=4となり、光度が4倍という条件に戻ります。低温による単位面積の放射の減少を、さらに大きな面積が補っているのです。

この結論は、Cが赤色巨星、Dが白色矮星と必ず分類されるという意味ではありません。分類には温度や光度の位置などを含めた情報が必要です。ここでわかるのは、与えた条件の下での半径比です。図の右上と左下の比較でも、温度が低い側の光度が高いなら、その星の半径が大きいと判断できます。

発展例題：同じ線か、線のどちら側か

自作の星EとFを黒体とみなします。Fの温度はEの2倍、光度はEの16倍です。さらに星GはEと同じ温度で、光度はEの1/4です。FとGの半径をそれぞれEの半径の何倍か、正の整数または分数で求めてください。3点の等半径線との関係も述べます。

16=(RＦ/RＥ)²・2⁴

16=(RＦ/RＥ)²・16

(RＦ/RＥ)²=1

RＦ/RＥ=1

1/4=(RＧ/RＥ)²・1⁴

(RＧ/RＥ)²=1/4

RＧ/RＥ=1/2

FとEは等半径線上にあり、GはEと同じ温度で光度が低いので、より小さい半径の線上にあります。Fの結果を戻すと1²・2⁴=16、Gでは(1/2)²・1⁴=1/4です。両方とも問題の光度比に一致します。

別の見方では、半径を固定したとき温度が2倍なら光度は16倍になると先に予測します。Fはその予測と一致するためEと同半径です。Gは温度が同じなので、光度1/4は面積1/4を意味し、半径は1/2です。実際の図では点が測定誤差を持つため、線に近いという理由だけで厳密に同半径とは断定しません。

資料を使う場合は、複数の波長帯の測定から全放射光度を推定し、距離と減光の扱いもそろえた資料を用意します。温度と光度の推定値をそれぞれの不確かさとともにプロットし、取りうる範囲が等半径線をまたぐかを調べます。学校の指導の下で配布画像や自作資料を使って検討してください。光度比が高めに推定されると半径比も高めに、温度比が高めに推定されると半径比は低めに出ます。温度は2乗で効くため、その不確かさを見落とせません。光度と温度の誤差が独立とは限らないことにも注意します。

誤答を直す：温度だけで決めない

図3のような右上と左下の2点を見て、「右上は低温だから半径も小さい」と答える誤りを考えます。右上は低温ですが、同時に高光度です。単位面積からの放射が小さいのに全体の放射が大きいのですから、表面積は大きくなければなりません。図は位置関係を示す模式図で、円の大きさは星の縮尺ではありません。

直すときは、まず図3の横軸と縦軸を指でたどり、右上が低温・高光度であると読みます。次にLがR²とT⁴の積に比例することを書きます。最後に、低温による放射の減少を補ってなお高光度となるには、面積が大きい必要があると述べます。半径と面積を混同せず、面積が大きければ半径も大きいとつなぎます。

別の誤りは、等半径線が右上がりだと暗記することです。通常の温度軸と光度軸では右下がりです。温度が右へ減ることを見落とすと、計算が正しくても線の傾きを逆に描きます。軸を反転した図なら傾きも反転するので、向きだけの暗記ではなく、同半径で高温ほど高光度になることから線を描き直します。

また、光度比が25倍という条件から半径比を25倍とする誤りもあります。同温度なら面積比が25倍、半径比は5倍です。温度が異なるなら、さらに温度の4乗を分けなければなりません。比の式に戻し、求めた半径から光度比を再現する習慣が、指数の取り違えを見つけます。

練習：5つの比較

いずれも自作の条件で、星を球形の黒体とし、光度は全放射光度です。比は正確な値とし、答えは正の整数または分数で表してください。各問で結果を元の条件へ戻して確かめます。

1. 星HとJは同温度で、Hの光度はJの16倍です。Hの半径はJの何倍ですか。
2. 星KとMは同半径で、Kの温度はMの3倍です。Kの光度はMの何倍ですか。
3. 星Nの温度はPの2倍、光度はPの4倍です。Nの半径はPの何倍ですか。
4. 星Qの温度はSの1/3、半径はSの9倍です。Qの光度はSの何倍ですか。
5. 横軸を右ほど低温、縦軸を上ほど高光度とする対数目盛りのHR図で、同半径の2点を結ぶ線の向きを答えてください。さらに線の同じ温度で上側にある点について、半径を「光度」「表面積」の語を使って比較してください。

練習の答えと戻し方

1. 温度比は1なので、16=(RＨ/RＪ)²です。正の平方根を取るとRＨ/RＪ=4です。戻すと4²・1⁴=16となり、光度比を再現します。同温度では光度比が面積比になることを使っても同じ答えです。

2. 半径比は1ですから、LＫ/LＭ=1²・3⁴=81です。逆に、光度比81と温度比3を式に入れると半径比の2乗は81/81=1となり、同半径の条件に戻ります。温度比を2乗にする誤りに注意します。

3. 4=(RＮ/RＰ)²・2⁴です。よって(RＮ/RＰ)²=4/16=1/4、半径比は1/2です。戻すと(1/2)²・2⁴=4です。高温のNが小さい半径でも、単位面積の放射が大きいので光度は高くなります。

4. LＱ/LＳ=9²・(1/3)⁴=81/81=1です。光度は同じです。逆に1=(RＱ/RＳ)²/81から半径比の2乗は81、正の半径比は9となり、与えた条件に戻ります。低温でも大面積なら同じ光度になりえます。

5. 線は右下がりです。同半径のまま右へ進むと温度が下がり、光度も下がるからです。同じ温度で線の上側の点は光度が大きく、単位面積の放射は等しいので表面積が大きく、半径も大きいです。逆に同じ半径なら同じ温度で光度が等しく、線の上側には置けないことも確かめになります。

覚えておくこと

• 全放射光度の比は半径比の2乗と絶対温度比の4乗の積です。
• 半径比は正の平方根で求め、光度比へ戻して確かめます。
• 左が高温、上が高光度のHR図では等半径線は右下がりです。
• 低温でも高光度なら大きな表面積が必要です。
• 測光帯、温度、光度の推定条件と誤差を確かめます。

答案のどこで止まったか

図を読むところで止まったら、まず横軸の両端に高温と低温を書き、縦軸に光度の大小を記します。式は書けても点の比較が逆になる場合は、等半径のまま温度を変えたときに光度がどう変わるかを言葉で確認します。計算だけが合わない場合は、温度比の4乗、面積比、半径の正の平方根を別々に書いてもらいます。

個別指導では、解いた人が自分の図に矢印を描き、半径比を求めた後に光度比へ戻せるかを確かめます。温度や光度の誤差が線をまたぐ場面も取り上げ、確実に言える比較と保留する判断を区別します。等半径線は、温度と光度を同時に読むための道しるべです。