高校情報I アナログとデジタル—連続量を区切る段階と記録する段階を分ける｜武蔵野個別指導塾

温度の測定間隔と丸める刻みを別々に変え、記録に残らない変化を標本化と量子化に分けて考えましょう。

よくあるのは、温度を小数で書いた記録を見て、小数だからアナログだと考える場面です。温度計の表示が「21.5 ℃」でも、一定の時刻に測り、決まった幅に丸めた値を数字で保存しているなら、その記録は離散的です。小数点の有無から判断せず、いつ測り、どの値を選び、どう記録したかを順に追いましょう。

問題では何を比べるか

出題の1つの型は、温度の変化から指定された時刻の値を拾い、指定の刻みへ丸めて記録するものです。測る時刻を間違えると、その後の丸めが正しくても記録全体は変わります。最初に時間の条件を線の上に置き、次に値の条件を適用します。

もう1つは、記録間隔か値の刻みのどちらかを変更し、見える違いを説明する型です。間隔を広げれば測定時刻の間にある山や谷を見逃すことがあります。刻みを粗くすれば、測った時刻の値の細かな差が同じ値にまとまることがあります。両方を一度に変えると原因を切り分けにくいため、一方を固定して比べます。

さらに、残された記録から元の変化を推定できるかを問う型があります。同じ記録を生む元の変化は複数あり得ます。記録の点を線で結ぶことは推定の方法の1つですが、点の間の実際の温度を証明するものではありません。記録から言えることと、追加の測定が必要なことを分けるのが到達点です。

時刻、値、符号を分ける

アナログは量が連続的に変わるものとして表す考え方です。ここでは時間の経過とともに連続的に変化する温度を考えます。デジタルの記録では、扱う値を離散的なものにし、それぞれを区別できる符号で表します。離散的とは、選べる時刻や値が区切られているという意味です。表示が整数か小数かという見た目とは別の性質です。

図1のように、最初の標本化では測る時刻を選びます。選んだ時刻の元の値を標本値と呼びます。次の量子化では、標本値を決められた段階の値に対応させます。最後の符号化では、その段階に対応する符号を割り当てて記録します。この順序を区別すれば、どの段階で違いが生じたかを説明できます。

図1の矢印は処理の順序を示します。たとえば同じ標本値でも、0.5 ℃刻みと1 ℃刻みでは選ばれる値が異なる場合があります。一方で、刻みが細かくても、測定しない時刻の短い温度上昇は記録されません。標本化は時間方向、量子化は値の方向の区切りとして考えると混同しにくくなります。

丸め方は問題の条件です。以下の例では、指定の刻みのうち最も近い値を選び、ちょうど中間なら大きい方を選びます。実際の機器に同じ規則が使われていると決めつけるものではありません。また、符号化の対応表も問題ごとに決める自作の表です。符号が違うだけで、表が対応していれば同じ段階を表せます。

記録が届かなかった場合は、温度が0 ℃だったことにも、前回と同じだったことにもなりません。欠測と温度の値を区別し、時刻と失敗の理由を記録して再測定の可否を考えます。元の時刻に戻って測ることはできないので、後から測った値をそのまま欠測箇所の実測値として扱わないことも必要です。

基本例題：3回の温度を記録する

ある観察で、開始から0分、2分、4分の温度がそれぞれ20.2 ℃、20.8 ℃、21.4 ℃だったとします。0分から4分まで両端を含み2分間隔で標本化し、1 ℃刻みで量子化します。20 ℃を00、21 ℃を01、22 ℃を10とする自作の対応表で符号化してください。答えは時刻順の3組の符号で示します。

図2のように、まず指定時刻に対応する値を拾います。標本値は順に20.2、20.8、21.4 ℃です。次に各値を近い整数の温度へ丸めます。20.2 ℃は20 ℃、20.8 ℃は21 ℃、21.4 ℃も21 ℃です。最後に表を引くと、答えは00、01、01です。

図2では同じ01が2回現れます。これは元の20.8 ℃と21.4 ℃が同じだったという意味ではありません。指定された1 ℃刻みで同じ21 ℃に対応したという意味です。符号を表で戻すと20、21、21 ℃となり、量子化後の3値と一致します。ただし、この操作で20.8 ℃や21.4 ℃を正確に取り戻すことはできません。

途中の1分や3分にどんな温度だったかも、与えられた3点からは決まりません。もし2分と4分の間で一時的に温度が上がって戻っていたとしても、その山が測定時刻に現れなければこの記録には残りません。点の間の様子を描くときは、推定した線と測った点を区別します。

標準例題：間隔と刻みを別々に変える

同じ観察において、0分から4分までの各整数分の温度が順に18.1、18.4、19.6、18.6、18.2 ℃だったとします。いずれも両端を含み、近い値へ丸め、ちょうど中間なら大きい方を選びます。案Aは2分間隔で1 ℃刻み、案Bは1分間隔で1 ℃刻み、案Cは2分間隔で0.5 ℃刻みとします。それぞれの量子化後の列を時刻順に ℃で答え、AとB、AとCを比較してください。

Aの測定時刻は0、2、4分で、標本値は18.1、19.6、18.2 ℃です。1 ℃刻みにすると18、20、18 ℃です。Bは0、1、2、3、4分に測り、18、18、20、19、18 ℃です。AとBは刻みを固定し、間隔を変えています。Bには1分と3分の記録が加わり、特に3分の19 ℃を確認できます。

Cの標本値はAと同じ18.1、19.6、18.2 ℃です。0.5 ℃刻みでは18.0、19.5、18.0 ℃となります。AとCは測定時刻を固定しており、2分の値の表し方が変わります。どちらの比較でも、変更していない条件を明記すると原因が明確です。これらの値は問題で与えた温度に対する結果であり、間隔を狭めれば常に欲しい変化が見つかるという保証ではありません。

発展例題：記録から元の変化を考える

0分と2分に測り、1 ℃刻みで丸めた結果がどちらも15 ℃でした。各時刻の値が14.5 ℃以上15.5 ℃未満なら15 ℃になるという条件です。この2時刻の元の値の組を2通り挙げ、1分の温度について確定できるか答えてください。両時刻の間の温度は連続的に変わるとします。

たとえば両端が14.6 ℃と15.4 ℃の組、または両端が15.2 ℃と14.8 ℃の組が考えられます。各値を規則に戻すと、いずれも15 ℃です。両端だけでも複数の候補があるため、記録は元の値を一意に示しません。中間値の15.5 ℃は大きい方の16 ℃になるので、15 ℃に戻る範囲の上端に含めません。

1分の温度も確定できません。たとえば両端が15 ℃で、途中も15 ℃の変化と、1分に17 ℃まで連続的に上がってから15 ℃に戻る変化は、両端の記録が同じです。後者の山は測定間隔の中に隠れます。山の有無を知るには、その時間帯の追加測定などが必要です。ただし別の日の測定を今回の欠けた値の証拠とすることはできません。

間違いを段階に戻して直す

「小数だからアナログ」という答えでは、表記と記録の仕組みが混ざっています。0.5 ℃刻みで18.0 ℃と書く場合、表示に小数があっても選択肢は区切られています。測定時刻と取り得る値を問い直し、どこに区切りがあるかを説明します。

図3のように、「細かい刻みなら途中の山も残る」という答えには、量子化と標本化の混同があります。値の刻みを細かくしても測る時刻を増やしていなければ、測らなかった時刻の値は得られません。誤答を直すときは、まず時刻の一覧を作り、次に各時刻の値を丸める表へ進みます。

反対に、頻繁に測れば元の温度を完全に復元できるとするのも早計です。測定点は増えても、各点の値の丸めや、その間にある変化は残ります。どちらの問題が残るかを、測定時刻と値の段階に分けて答えます。

測定器の読み取りに失敗した場合、空欄を前後の平均で埋めて実測値と表示するのも誤りです。平均を推定に使う場合は推定と明示し、元の欠測記録を残します。期限までに再測定できない場合も同様です。後で見る人が、測れた値と補った値の違いを追えるようにします。

練習：条件を読んで記録をたどる

次の問題では、近い段階へ丸め、ちょうど中間なら大きい方を選びます。温度と対応表は各問題のために作った条件です。答えは指定された形で示してください。

1. 0分から6分まで、両端を含み3分間隔で測ります。0、3、6分の温度が順に12.2、12.7、13.3 ℃のとき、1 ℃刻みの値を時刻順に ℃で答えてください。
2. ある時刻の値が24.2 ℃です。1 ℃刻みと0.5 ℃刻みのそれぞれで量子化した値を ℃で答え、どの条件を変えたか記してください。
3. 0、1、2、3、4分の温度が順に10.1、10.2、13.1、10.3、10.1 ℃です。0分から4分まで両端を含む4分間隔の記録を1 ℃刻みで作り、2分の山について言えることを述べてください。
4. 7 ℃をA、8 ℃をB、9 ℃をCとする自作表を使います。量子化後の値が8、9、7 ℃のとき、符号列を時刻順に答え、表を使って元の段階へ戻してください。
5. 0分と2分に測る計画で、0分は16.2 ℃でしたが、2分は機器が停止し測れませんでした。1 ℃刻みで記録する際の0分と2分の扱いを説明し、必要な追加確認を1つ挙げてください。

練習の答えと解き方

1. 12、13、13 ℃です。測定時刻は0、3、6分の3回で、12.2は12、12.7と13.3は13に近い値です。各結果を元の時刻に対応させると、最初の条件の3点が順序どおり処理されたと確認できます。間隔の数は2つですが、両端を含む測定点は3つです。
2. 順に24 ℃、24.0 ℃です。どちらも24.2 ℃に最も近い段階を選びます。変えたのは値の刻みで、測る時刻の条件ではありません。結果が同じ温度を表す場合でも、刻みの違いは消えません。
3. 記録は10、10 ℃です。4分間隔では0分と4分を測り、どちらも10 ℃に丸まります。2分の13.1 ℃はこの問題の追加条件からわかりますが、作った記録だけからは山を確定できません。両端の10.1 ℃を戻して確かめても、途中の値は記録に含まれません。
4. B、C、Aです。表を逆にたどると8、9、7 ℃に戻り、与えられた段階と一致します。文字そのものが温度を決めるのではなく、対応表が意味を与えています。表を共有しなければ、受け取った側は符号の意味を決められません。
5. 0分は16 ℃、2分は欠測と記録します。停止時刻や原因を確認し、再測定できる時刻も記録します。2分の値を0 ℃や16 ℃と決める根拠はありません。再測定が後の時刻なら、その時刻の値として区別します。

記録手順の成功と失敗を試す

温度の記録を設計するときは、正しい値が得られる場合と、途中で処理が止まる場合を同じ数だけ試します。以下は検査の条件と、期待する扱いの組です。いずれも温度を勝手に補わず、処理のどこまで確認できたかを残します。

1. 正常な値が届いたら、時刻と値を対応させて丸め、符号に戻せるか確認します。例外が起きたら、その回を欠測として原因を記録し、別の回の記録を残します。
2. 制限時間内に測れたら、その測定時刻と値を保存します。時間切れなら測れなかったことを明示し、後で得た値には実際の時刻を付けます。
3. 条件どおりの数値が入力されたら、刻みに沿って量子化します。壊れた入力や数値として読めない入力なら、温度に変換せず、入力を確認できるよう記録します。
4. 外の測定器が応答したら、返された値と時刻を照合します。応答しなければ機器側の失敗として記録し、前回値を今回の値として扱いません。
5. 対応表にある段階なら符号化し、逆に戻して一致を確かめます。表にない段階なら符号化を止め、刻みや表の不足を調べます。空欄の符号を適当な温度として解釈しません。

このように両側の結果を定めておくと、処理が止まった理由と記録の意味を後から区別できます。失敗が続くときには、再試行する前に測定器や条件を確認します。成功時の記録についても、時刻、丸め、対応表をそれぞれ点検します。

覚えておくこと

標本化は測る時刻を選び、量子化は値の段階を選びます。 符号化は選んだ段階を対応表に従って記録します。 間隔と刻みを別々に変えると、失う情報の原因を比べられます。 欠測や点の間の変化は、記録された値と区別します。

自分の考えを点検する

時刻の列は正しいのに値が合わないなら、刻みと中間の丸め方を見直します。値の丸めが正しくても点の数が違うなら、両端を含むか、開始時刻から何分ごとに測るかを確認します。符号が合わないときは対応表を逆にたどり、量子化後の値へ戻るかを調べます。

個別指導では、答案の時刻欄、標本値欄、量子化後の欄を順に見て、最初に条件から外れた箇所を本人と確かめます。さらに、測れなかった時刻に何を書いたかを聞き、推定と実測を言葉で区別できるかを確認します。記録の見た目だけで決めず、作られる過程をたどれば、残った情報と失われた情報を区別できます。