高校情報I 16進数との対応—4桁のまとまりから値を保ったまま表記を変える｜武蔵野個別指導塾

識別値を右端から4桁ずつ区切り、16進数と2進数を往復して、値と表示桁数の一致を確かめます。

よくあるのは、展示物に付けた短い識別値を2進数から16進数に直すとき、左端から機械的に4桁ずつ区切る場面です。桁数が4の倍数なら正しく見えますが、端に残りが出ると位置の意味が変わります。識別値は計算のための自作の値で、特定の文字や製品の規格を表すものではありません。数字の見た目を整える前に、右端の位をそろえ、変換後に元へ戻せるかを見ます。

問われ方と答える道筋

出題の一つは、2進数を16進数へ直し、区切り方の理由を説明する型です。右端から4桁ずつ分け、左端に足りない分だけ0を補って各組を読めば、元の値を保てます。問題で桁数を指定された場合は先頭の0を残すかどうかも条件に従います。答えに進法を添えれば、同じ数字列を別の進法と取り違えずに済みます。

別の型は、16進数を2進数に戻してから10進数でも確かめるものです。各桁を必ず4桁の2進数に直すと、桁と桁の境界が保たれます。先頭の0を途中で省くと、次の組とつながったときに境界を見失いやすくなります。最後に、指定がなければ値を変えない先頭の0を省けます。

さらに、誤った区切りや変換後の値から元の列を推定する問題もあります。答えの見た目が似ているかではなく、各位の重みを使って同じ値になるか、逆変換で元の列に戻るかが判断の根拠です。次の例題と練習は、特に指定がない限り非負整数を扱います。

なぜ4桁で対応するのか

2進数の各位は右から1、2、4、8と重みが倍になります。4桁の範囲では、0000から1111までの16通りを表せます。最大の1111は8と4と2と1の和で10進数の15です。16進数は1桁に0から9とAからFを使い、A、B、C、D、E、Fは順に10進数の10、11、12、13、14、15を表します。文字は数字の代わりの記号であり、Aという文字そのものの別の符号を調べる必要はありません。

図1のように4桁の重みを合計し、その値に対応する16進数の1桁を選びます。例えば1010は8と2の和なのでAです。1110なら8と4と2の和なのでEです。図1の対応は4桁の位取りを示しており、すべての組を暗記していなくても各位の和から求められます。

4桁の左にもう1桁進むと重みは16です。16進数でも右端の左の位の重みは16なので、2進数を右端から4桁ずつ束ねた境界と、16進数の各位が一致します。さらに左の組の重みは256、その次は4096です。右端を起点にすると、どの組も本来の位の重みを保ったまま1桁に置き換えられます。

右端に0を足すと値が変わることに注意します。例えば2進数の101は10進数で5ですが、末尾に0を付けた1010は10です。一方、先頭に0を付けた0101は5のままです。先頭の0は新しい高い位に0個を置くため、各位の和に何も加えません。ただし固定桁の識別値では、その0が表示形式の一部になることがあります。値と桁数の両方が条件に含まれていないかを読みます。

区切る前に、右端の数字がどの位かを指で押さえる方法もあります。右端から5桁目の1は、2進数では16の位です。ここを16進数の1の位として読むと、同じ1でも値が変わります。各組の中の計算が正しいことと、組全体の位置が正しいことは別の確認です。

16進数でも右端の桁の次は16の位、その次は256の位です。左側に0の桁を加えても値は変わりませんが、右側に0の桁を加えると各桁の重みが16倍になります。先頭と末尾を区別する習慣は、表記を変えた結果の点検に役立ちます。

変換の途中で区切り線を書くと、後から桁を照合できます。線は数字の一部ではなく、位のまとまりを示す目印です。

基本例題：右端から組を作る

展示物の識別値は2進数の101101011です。この値を16進数で表し、不要な先頭の0は省いてください。その後、元の2進数に戻し、10進数でも値が等しいことを確かめます。

まず右端から4桁ずつ区切ると、1｜0110｜1011です。左端の1には先頭に0を3個補い、0001｜0110｜1011とします。図2のように、それぞれの4桁を1、6、Bに対応させるため、答えは16進数の16Bです。6は4と2の和、Bは8と2と1の和で10進数の11です。

戻すと、1は0001、6は0110、Bは1011です。つなげた000101101011から先頭の0を3個省くと101101011となり、問題の列と一致します。10進数では、16進数の16Bは256と96と11の和で363です。元の2進数も256、64、32、8、2、1の和で363です。図2の区切りは値と列の両方で確認できます。

途中で左から1011｜0101｜1と区切り、それぞれをB、5、1と読むとB51になります。B51を4桁ずつ戻せば1011｜0101｜0001で、元の列とは一致しません。最後の1を0001と読む際、右側に3桁分の位置を増やしたことが原因です。元の末尾の1は1の位ですが、B51の左側の組には本来より高い位が割り当てられています。

標準例題：表示の桁数も守る

ある箱の識別値は16進数の03Aです。各16進数の桁に対応する4桁を残した12桁の2進数と、10進数の値を求めてください。その後、12桁の列から元の3桁の16進数へ戻します。

0、3、Aをそれぞれ0000、0011、1010に直すと、12桁の2進数は000000111010です。先頭の0000を消しても数値は変わりませんが、この問題は12桁を指定しているため残します。10進数では0、3個の16、10の和で58です。

検算では0000｜0011｜1010と右端から区切り、0、3、Aに戻します。先頭の0を消して3Aと書けば数値は同じでも、元の3桁表示には戻りません。値の一致と表示形式の一致を別々に確認することが、この設問の要点です。固定された桁数に何を詰めるかは問題の条件であり、先頭の0の有無から実在の規格を推測しません。

発展例題：一部が消えた値を戻す

別の展示番号は3桁の16進数で、2進数にすると12桁の0101 1100 0010です。読みやすさのための空白は桁に含めません。中央の16進数の桁が読めなくなったとき、3桁の番号と10進数の値を求め、2進数に戻して確かめてください。

右端から4桁の組を確認すると、0101は5、1100は8と4の和で12なのでC、0010は2です。番号は16進数の5C2です。各桁の重みを使うと、5個の256と12個の16と2の和で1474です。逆に5、C、2を4桁ずつ戻せば0101 1100 0010になり、元の12桁と一致します。

仮に中央をCではなく3と読むと、中央の組は0011になります。12桁に戻した列は0101 0011 0010で、問題の中央の1100とは違います。似た記号を選んだかどうかより、その候補を元の条件へ戻す方が確実です。逆変換で違いが出たら、最初に異なる4桁の組だけを調べ直せます。

誤答の場所を見つけて直す

基本例題の誤答B51は、変換表を知らなかったことが原因とは限りません。それぞれの組を単独で読めていても、左端から区切ったために、最後の1を別の位として扱ってしまいました。図3のように誤答を2進数へ戻し、元の右端からのまとまりと比べます。元は0001｜0110｜1011、誤答は1011｜0101｜0001です。対応する位置が異なるため、区切り位置からやり直します。

もう一つの誤りは、16進数の各桁を2進数に戻すとき、途中の組の先頭0を落とすことです。例えば16進数の21は0010｜0001です。これを10｜1と短くしてつなげると101になり、元の値には戻りません。途中の0は位を保つために必要です。まず各桁を4桁にそろえてから結合し、最後に列全体の先頭の0だけを、桁数の指定を確認したうえで省きます。

10進数の位取りを混ぜる誤答にも注意します。16進数の12は十進数の12ではなく、1個の16と2の和で18です。16進数で1桁左に進むたび重みが16倍になることを式で示せば、見た目の数字に引きずられません。どの誤りでも、元の条件への復元と10進数の値の照合を別々に使うと原因を特定しやすくなります。

練習問題

以下の番号は計算用の自作の値です。問題1と2は不要な先頭の0を省き、進法を明記して答えてください。問題3は指定の桁数を守ります。問題4と5は理由も書いてください。

1. 2進数の1101011を16進数へ変換し、元の2進数に戻してください。
2. 16進数のD7を10進数と2進数に変換してください。2進数は不要な先頭の0を省きます。
3. 16進数の04Eを12桁の2進数に変換し、3桁の16進数へ戻してください。
4. 2進数の100110を左から1001｜10と分け、各組を9と2に直して16進数の92とした答案があります。誤りを説明し、正しい16進数と10進数を答えてください。
5. 16進数の2桁の識別値を4桁ずつの2進数に戻すと、0011 1□01です。□には0か1が入り、10進数の値は61です。□と2桁の16進数を求め、元の条件へ戻して確かめてください。

練習の答えと解き方

1. 右端から110｜1011と区切り、先頭を0110にします。0110は6、1011はBなので16進数の6Bです。6Bを0110｜1011に戻し、全体の先頭の0を省けば1101011です。10進数では96と11の和で107で、元の64、32、8、2、1の和とも一致します。

2. Dは10進数の13なので、13個の16と7の和は215です。Dと7を1101｜0111と戻し、2進数では11010111です。元に戻すと1101がD、0111が7となり、D7と一致します。先頭の組は1から始まるため省く0はありません。

3. 0、4、Eを0000、0100、1110に直し、12桁の2進数は000001001110です。0000｜0100｜1110と区切れば、3桁の16進数04Eに戻ります。10進数でも64と14の和の78です。先頭の0を消した4Eも同じ値ですが、3桁という表示の条件を満たしません。

4. 右端の10をそのまま1組とすると、その組を2進数の0010として扱うことになり、左側の組の位がずれます。右から区切ると10｜0110で、左を0010にして16進数の26です。10進数では32と6の和で38です。26を0010｜0110に戻して先頭の0を省くと100110で、元の条件を満たします。誤答92は10進数で146となり、値も一致しません。

5. 左の0011は3で、10進数では48に当たります。61から48を引いた13に対応する右の組は1101です。したがって□は1、2桁の16進数は3Dです。3Dを戻すと0011 1101で、空欄以外の桁も問題の列と一致します。48と13を合わせると61なので、数値の条件も満たします。□を0にした1001では右の組が9となり、合計は57で条件に届きません。

覚えておくこと

2進数は右端から4桁ずつ区切り、左端に足りない0を補います。
16進数のAからFは10進数の10から15に対応します。
16進数から戻すときは各桁を4桁にしてからつなげます。
先頭の0を省けるかは、値と指定された表示桁数を分けて判断します。
元の列への復元と10進数の値の照合で変換を点検します。

手が止まった場所を見分ける

答えが違うときは、最初に本人が書いた区切り線を見ます。右端の組が4桁でなければ、位の対応を図に書き直します。区切りが正しければ、各組の8、4、2、1の和とAからFの対応を順に確認します。個別指導では、逆変換した列を問題文の列の下にそろえ、初めて違う位置を本人に指してもらいます。値は同じでも桁数が違う答案では、表示条件まで戻って読み直します。右端を基準にすれば、短い識別値の表記は往復で確かめられます。