高校地学 気圧と空気柱—上にある空気の重さから高度による変化を説明する｜武蔵野個別指導塾

同じ高さの上昇でも気圧差が変わる理由を、空気柱の重さと密度からたどる気圧の話です。

よくあるのは、高校生が同じ高さだけ登れば気圧も同じ量だけ下がると思う場面です。地上付近で測った差を、そのまま高い場所へ持っていくと、空気の密度の変化を見落とします。測定点の上に残る空気と、2点の間から取り除かれた空気を区別すると、高度と気圧の関係を説明できます。

気圧の問題で何を見るか

出方の1つは、面積と力から圧力を求める計算です。単位面積に作用する力が圧力なので、同じ力でも面積が違えば値は変わります。逆に、圧力差がわかれば、面に働く力の差を求められます。全体の気圧と2点間の気圧差を区別することが出発点です。

もう1つは、高度ごとの気圧を表やグラフから読み、同じ高さの区間で減少量を比べる問題です。上に行くほど下がることと、一定の割合で下がること、一定の量で下がることは別の性質です。目盛りを読み取り、差と比をそれぞれ計算してから判断します。

さらに、密度を一定とする計算の適用範囲を説明する問題もあります。薄い層の平均密度を使えば差を近似できますが、広い範囲へ地上付近の密度をそのまま使うと、上空の空気を重く見積もりがちです。風による加速などを無視できる、鉛直方向につり合った状態を考えます。

面に働く力と空気の積み重なり

圧力は、面に垂直に働く力を面積で割った量です。力をF、面積をA、圧力をpとすると、p=F/Aです。力の単位Nを面積の単位m²で割ったN/m²がPaです。1 hPaは100 Paです。圧力は面積そのものではなく面積あたりの力なので、面積を2倍にしても同じ気圧なら力は2倍になります。

図1のように、水平な小さな面の上に空気を積み上げた柱を考えます。静かにつり合う近似では、その面の気圧は上にある空気の重さを面積で割ったものです。空気には横からの圧力も働きますが、ここで注目する鉛直方向のつり合いでは、柱の上下面の圧力と柱自身の重さを比べます。

図1の下側の面には、上側の面よりも多くの空気が載っています。2面の気圧の差は、2面の間の空気柱の重さに対応します。上側にも空気が残るので、下側の気圧そのものを2面の間の重さだけで求めてはいけません。

高さの差をh、層の密度を一様にρ、重力加速度をg、面積をAとします。体積はA・h、質量はρ・A・h、重さはρ・A・h・gです。下側と上側の気圧をそれぞれp₁、p₂とすると、上向きの力p₁・Aから下向きの力p₂・Aを引いた差が重さにつり合います。

p₁・A - p₂・A = ρ・A・h・g
p₁ - p₂ = ρ・g・h

面積Aが消えるため、同じ層を異なる太さの柱で切り取っても圧力差は同じです。密度が変化するときも、ρをその層の平均密度と考えれば同じ形で重さを表せます。ただし、ある1点の密度が層全体の平均に等しいとは限りません。

空気は圧縮されるので、一般に上に行くほど気圧が小さく、密度も小さくなる傾向があります。温度も密度に関係するため、気圧だけを見て厳密な密度を決めることはできません。密度の違いが気圧差を変えることと、気圧と密度が同時に小さくなることを分けて考えます。

基本例題: 薄い層の重さを圧力差にする

練習用モデルとして、面積2.0 m²、高さ100 mの水平な上下の面を持つ空気柱を考えます。層内の密度は1.2 kg/m³で一定、重力加速度は9.8 m/s²とします。上面の気圧が900 hPaのとき、下面の気圧をhPaで有効数字2桁にして求めます。最後に丸めます。

図2のように、下面が支えるものには、この層の空気と、上面より上の空気があります。求めるのはまず上下の差です。

体積は2.0・100=200 m³です。質量は1.2・200=240 kg、重さは240・9.8=2352 Nです。面積あたりの重さを求め、PaからhPaへ直します。

気圧差 = 2352 N / 2.0 m²
       = 1176 Pa
       = 11.76 hPa
下面の気圧 = 900 hPa + 11.76 hPa
           = 911.76 hPa

有効数字2桁では下面の気圧は9.1・10² hPaです。図2の900 hPaは計算条件であり、実測値ではありません。丸める前の911.76 hPaから上面の900 hPaを引くと11.76 hPaに戻り、層の重さから得た差と一致します。丸めた値では差を精密に復元できないので、途中の値を保存します。

別解では面積を使わず、ρ・g・h=1.2・9.8・100=1176 Paとします。どちらも同じ空気柱のつり合いです。厚さ100 mの全体で密度を一定と置いた結果であり、もっと厚い層にも同じ密度を使えるという意味ではありません。

標準例題: 表の差と比を分ける

次の表は観測値ではなく、計算しやすい練習用モデルです。高度の間隔はどれも1 kmです。各区間の気圧減少量をhPaの整数で求め、同じ高さでの減少量が一定か答えてください。また、各区間の上端の気圧を下端で割った比を小数第2位まで求めます。

下端から上端を引くと、順に1000 − 800=200 hPa、800 − 640=160 hPa、640 − 512=128 hPaです。同じ1 kmでも減少量は小さくなり、一定ではありません。一方、比は800/1000=0.80、640/800=0.80、512/640=0.80です。この表では各区間で下端の0.80倍です。

グラフにするなら横軸を気圧、縦軸を高度とし、各点を結びます。高い区間ほど横方向の差が小さいので、線の傾きの見え方も変わります。軸を逆にした図では傾きの表現が変わるため、先に軸と単位を確認します。表から読み取った比は、このモデルの性質であり、どの大気にも厳密に成り立つ定数ではありません。

答えを戻して確かめると、1000・0.80=800、800・0.80=640、640・0.80=512です。減少量も各上下端の差に一致します。上の区間の空気柱の平均密度が下の区間より小さいと、同じ厚さでも柱の重さが小さくなり、この差の縮小を説明できます。

発展例題: 近似を重ねて比べる

別の練習用モデルで、各層の厚さを500 m、重力加速度を9.8 m/s²とします。下の層の平均密度を1.0 kg/m³、上の層を0.80 kg/m³とし、下端の気圧を1000 hPaとします。各層の気圧差と上端の気圧をhPaで小数第1位まで求め、両層に下の層の密度を使う計算との差を述べてください。

下の層では、1.0・9.8・500=4900 Pa=49.0 hPaです。上の層では、0.80・9.8・500=3920 Pa=39.2 hPaです。下端から順に引いて、境界は1000 − 49.0=951.0 hPa、上端は951.0 − 39.2=911.8 hPaです。

両層に1.0 kg/m³を使えば差の合計は49.0 + 49.0=98.0 hPa、上端は902.0 hPaです。上の層の重さを大きく見積もった分、上端の気圧を9.8 hPa低く見積もります。逆に911.8 + 39.2 + 49.0=1000.0 hPaと戻せるので、各層の差と端の値が整合します。

別の見方は、全体の平均密度を厚さで重み付けする方法です。同じ厚さなので平均は(1.0 + 0.80)/2=0.90 kg/m³、全体の差は0.90・9.8・1000=8820 Pa=88.2 hPaです。1000 − 88.2=911.8 hPaとなります。厚さが違う層なら単純平均ではなく、各密度にそれぞれの厚さを掛けて合計し、全厚で割ります。

測定の設計と読み取りの限界

高度による差を調べるなら、位置や時刻による気圧の変化が混ざらないように測定条件をそろえます。複数の高度で同時に測る方法では、器具同士のずれを同じ場所で比較してから使います。1台を移動させる方法では、測定中に気圧が変化する可能性を考え、基準地点の記録と照らし合わせます。実施は学校の指導の下で行い、安全な場所を選びます。

器具の目盛りの読み取り幅や高度の測定誤差は、差を求めるときにも残ります。差が器具の読み取り幅と同程度なら、差の大小を断定しにくくなります。間隔を広げれば差を読みやすくできても、密度一定の近似は悪くなり得ます。精度と近似の両方を吟味し、必要なら区間を分けて各層の平均密度を使います。

間違えた式を直す

誤答の例は「高度が1 km増えるたびに、最初の区間と同じ200 hPaずつ減る」です。図3のように、同じ厚さでも上層では空気が薄いという条件を落としているのが原因です。最初の差を繰り返し引く前に、各区間の上下の値から差を取り直します。

図3では下層の柱の方が重く、同じ面積に対する気圧差も大きくなります。密度が両層で本当に等しいという別の条件なら、同じ厚さで同じ差になります。したがって「常に等差」とも「どんな条件でも差が縮む」とも決めず、密度や表の値を確かめます。

もう1つの誤りは、上面の気圧を無視し、層の重さだけを下面の気圧とすることです。上面にも上から力が働いています。下面の気圧は上面の気圧に層による差を足した値です。PaとhPaを混ぜた計算も同様に、単位を書いてから100倍または100分の1に直すと検出できます。

練習: 柱とグラフを読み直す

以下はすべて自作の練習用条件です。計算では重力加速度を9.8 m/s²とし、指定された桁で最後に丸めます。

1. 面積4.0 m²の面に垂直に1200 Nの力が一様に働きます。圧力をPaで有効数字2桁で求めてください。
2. 密度0.90 kg/m³で一定の層の厚さが200 mです。上下の気圧差をhPaで小数第1位まで求めてください。
3. あるモデルの等しい厚さの3層で、下から順に気圧が960、720、540、405 hPaです。各層の減少量を整数で示し、各層の上端と下端の比を小数第2位まで求めてください。
4. 厚さ300 mの層が2つ重なります。平均密度は下が1.1 kg/m³、上が0.70 kg/m³です。下端の気圧が950 hPaなら上端はいくらですか。hPaで小数第1位まで求めてください。
5. 気圧計2台を別の高度に置く前に、同じ地点で比べる理由を、器具のずれと高度による差の2語を用いて説明してください。測定中の時間変化への対処も1つ述べてください。

練習の答えと解き方

1. 1200/4.0=300 Paなので、3.0・10² Paです。面積を掛け直すと300・4.0=1200 Nに戻ります。力そのものと面積あたりの力は単位が異なります。

2. 気圧差は0.90・9.8・200=1764 Paです。100 Paが1 hPaなので17.64 hPa、答えは17.6 hPaです。丸める前に1764 Paへ戻し、1 m²あたりの柱の重さ0.90・200・9.8=1764 Nと照合します。

3. 減少量は順に960 − 720=240 hPa、720 − 540=180 hPa、540 − 405=135 hPaです。比は720/960=0.75、540/720=0.75、405/540=0.75です。それぞれ下端に0.75を掛けると上端へ戻ります。差は一定でなく、この表の比は一定です。

4. 下層の差は1.1・9.8・300=3234 Pa=32.34 hPa、上層の差は0.70・9.8・300=2058 Pa=20.58 hPaです。上端は950 − 32.34 − 20.58=897.08 hPa、答えは897.1 hPaです。丸める前の897.08に2つの差を加えると950 hPaに戻ります。

5. 同じ地点なら高度による差を含まない比較ができ、器具のずれを見積もれます。時間変化は、複数高度で同時に測る方法や、基準地点の記録との比較で調べます。ずれの補正後も読み取り誤差が残るため、小さい差を過信しません。

覚えておくこと

気圧差は2面の間の空気柱の重さを面積で割った値です。
一定密度の層では、気圧差は密度・重力加速度・厚さの積です。
同じ厚さでも平均密度が小さければ、気圧の減少量は小さくなります。
PaとhPa、差と比、上面の気圧と層の重さを区別します。

答案のどこで立ち止まるか

式にρ・g・hと書けても、そのρがどの層の平均密度か説明できなければ、広い範囲への適用を点検します。個別指導では、上下2面を図に描き、圧力による力の矢印と柱の重さを別々に書けるかを確かめます。上面に矢印がなければ、上空に残る空気を忘れた可能性があります。

表の問題では、隣同士の差と比をそれぞれ欄外に書き、グラフの軸へ戻します。計算結果を下端や上端へ戻して条件と一致するかも確認します。空気柱のどの部分を比べたのかを示せば、気圧の変化を筋道立てて説明できます。