高校化学 結晶密度と測定誤差—格子定数の逆算で単位と誤差の影響を点検する｜武蔵野個別指導塾

単位格子の質量と体積から密度を求め、nmの換算や測定値のばらつきが及ぼす影響をたどる結晶密度。

よくあるのは、単位格子の一辺をnmで受け取り、cmへの換算をしないまま立方して密度の桁を失う場面です。式の形が合っていても、体積の単位がnm³のままなら、g/cm³の答えにはなりません。結晶の粒子を数える段階、長さを変換する段階、体積にする段階を分けて書けば、どこで桁が動いたかを追えます。測定値が少し変わったときに結果がどう動くかも、同じ式から考えます。

要点（結論から）

• 1格子の質量は、式単位数と式単位のモル質量から求めます。
• 密度は1格子の質量を同じ格子の体積で割った値です。
• nmをcmに直してから3乗し、逆算では立方根を取ります。

何を手がかりに求めるか

結晶の計算には、密度を求める型、密度から格子定数を逆算する型、複数の測定値から結果への影響を比べる型があります。いずれも単位格子という同じ大きさの箱を考え、その箱の質量を体積で割ります。粒子の配置が与えられる場合は、角や面上の粒子が隣の箱と共有されることに注意して、1箱分の粒子数を決めます。

密度から一辺を逆算するときは、密度の式を変形した後に立方根を取ります。体積と長さの区別がつけば、最後の操作の意味も明確です。測定表の比較では、数値をそのまま信じて桁をそろえるのではなく、同じ条件で何を測ったか、変化がどの変数から生じたかを確認します。ここでは立方体の単位格子を扱い、回折の理論には立ち入りません。

箱の質量と一辺を結ぶ

1辺をa cm、単位格子中の式単位数をZ、式量に対応するモル質量をM g/mol、アボガドロ定数をN mol⁻¹とします。式単位とは、組成式に示された粒子の組を数える単位です。単原子からなる結晶なら、Mは原子のモル質量、Zは1格子に含まれる原子数として扱えます。

1 molの式単位がN個で質量M gですから、式単位1個の質量はM/N gです。Z個分の質量はZM/N g、立方体の体積はa³ cm³です。密度をρ g/cm³とすると、次の関係が得られます。

ρ = (ZM/N)/a³
ρ = ZM/(Na³)
a³ = ZM/(Nρ)

図1のように、個数から質量へ進む経路と、長さから体積へ進む経路を最後に合わせます。式単位数は箱の中に正味で含まれる数です。境界上の粒子を見たまま丸ごと数えた値ではありません。例えば角の粒子は8個の格子で共有されるため、1格子への寄与は1/8個です。配置が違えばZも変わるので、図や問題の条件に戻って数えます。

図1の質量と体積は同じ1格子についての量です。結晶全体の質量を1格子の体積で割ることはできません。また、陽イオンと陰イオンの合計個数を、その組成式の式単位数と混同しないことも必要です。仮に1格子に陽イオン4個と陰イオン4個があり、組成式がABなら、ABの組は4式単位です。合計8個をZとすると質量が2倍になります。

長さの変換は1 nm = 10⁻⁷ cmです。たとえば0.400 nmは4.00 × 10⁻⁸ cmで、立方すると6.40 × 10⁻²³ cm³です。長さの換算係数も3回掛かるため、1 nm³ = 10⁻²¹ cm³となります。最初からcmに直してから立方すれば、係数の3乗を忘れる事故を防げます。逆にcm³からnm³に戻すときは10²¹を掛けます。

SIの定義では、1 molは指定した要素粒子を厳密に6.02214076 × 10²³個含みます。計算問題では扱いやすい近似値を与えることがあり、その場合は問題の値を使います。以下の数値は計算のための与件で、実在物質の実測値を示したものではありません。

基本と標準の計算

基本例題：長さから密度へ

ある単原子結晶の単位格子は立方体で、1格子に原子4個を含みます。格子定数は0.400 nm、原子のモル質量は48.0 g/molとします。N = 6.00 × 10²³ mol⁻¹を用い、密度をg/cm³で有効数字3桁にしてください。

まず図2のように一辺をcmに直します。次に原子4個の質量と箱の体積を別々に求めます。

a = 0.400 × 10⁻⁷ cm = 4.00 × 10⁻⁸ cm
単位格子の体積 = (4.00 × 10⁻⁸)³ cm³ = 6.40 × 10⁻²³ cm³
単位格子の質量 = (4 × 48.0)/(6.00 × 10²³) g = 3.20 × 10⁻²² g
ρ = (3.20 × 10⁻²²)/(6.40 × 10⁻²³) g/cm³ = 5.00 g/cm³

答えは5.00 g/cm³です。図2の4個は正味の原子数であり、粒子の配置を描いたものではありません。答えを戻すと、5.00 g/cm³に6.40 × 10⁻²³ cm³を掛けた質量は3.20 × 10⁻²² gです。これは原子4個分の質量と一致します。

標準例題：密度から一辺へ

組成式ABの結晶について、立方体の単位格子にABが2式単位含まれます。ABのモル質量は81.0 g/mol、密度は3.00 g/cm³です。N = 6.00 × 10²³ mol⁻¹として、格子定数をnmで有効数字3桁にしてください。

a³ = (2 × 81.0)/((6.00 × 10²³) × 3.00) cm³
a³ = 9.00 × 10⁻²³ cm³
a = 4.4814… × 10⁻⁸ cm
a = 0.448 nm

立方根を取った後でnmに変換します。中間値を用いて戻すと、体積9.00 × 10⁻²³ cm³に密度3.00 g/cm³を掛けた質量は2.70 × 10⁻²² gです。ABを2組含む質量162/(6.00 × 10²³) gと一致します。丸めた0.448 nmをそのまま立方すると、元の密度には丸めによる小さな差が生じます。

この問題で2を4にすると、陽イオンと陰イオンの個数を合わせた値をABの組数として使うことになります。モル質量81.0 g/molがAB 1組に対応していることを確認すれば、掛ける数の意味を判断できます。密度が2倍なら、同じ格子の質量を半分の体積に詰めることになるため、一辺は元の1/2ではなく、元の長さに(1/2)の立方根を掛けた値です。

発展：測定値が変わると何が変わるか

同じ試料の立方格子について、Z = 2、M = 54.0 g/mol、N = 6.00 × 10²³ mol⁻¹を用います。一辺の測定値が0.300 nmと0.303 nmだったとき、それぞれから計算する密度をg/cm³で有効数字3桁にし、大小の理由を述べてください。2つの値は比較のための自作データです。

1格子の質量 = (2 × 54.0)/(6.00 × 10²³) g = 1.80 × 10⁻²² g
0.300 nmの体積 = (3.00 × 10⁻⁸)³ cm³ = 2.70 × 10⁻²³ cm³
密度 = (1.80 × 10⁻²²)/(2.70 × 10⁻²³) g/cm³ = 6.67 g/cm³
0.303 nmの体積 = (3.03 × 10⁻⁸)³ cm³ = 2.781827 × 10⁻²³ cm³
密度 = (1.80 × 10⁻²²)/(2.781827 × 10⁻²³) g/cm³ = 6.47 g/cm³

一辺が大きい方は、同じ質量をより大きい体積で割るので密度が小さくなります。各体積に丸める前の密度を掛けると、いずれも1.80 × 10⁻²² gへ戻ります。0.303 nmは0.300 nmの1.01倍ですから、別解では密度比を1/(1.01)³と求められます。約0.9706倍なので、密度の減少は約2.94%です。長さの増加率1%をそのまま密度の減少率と置くと、体積の3乗を見落とします。

小さい変化では、長さが1%増えれば密度はおよそ3%減ると見積もれます。ただし、この3倍は近似です。変化が大きい場合は、正確な比1/(長さの比)³を使います。密度から長さを逆算するときは逆に、同じZ、M、Nなら長さの比は密度の比の逆数の立方根です。密度が少し大きく見積もられると、逆算した一辺は少し小さくなります。

複数回の測定が一致しても、それだけでは真の値に近いとは限りません。測定器の基準のずれが毎回同じ方向に入れば、値はそろっていても偏ることがあります。逆に値の散らばりは繰り返しのばらつきを示しますが、少数の記録だけで測定全体の不確かさを断定できません。測定値の丸め幅、装置の校正、試料の状態を確認してから解釈します。

間違えた式を直し、記録を読む

図3のように、0.400 nmを0.400 × 10⁻⁷ cmへ直す前に数値だけを立方し、その結果をcm³と書くのは誤りです。0.400³ = 0.0640はnm³の数値です。cm³に直すには10⁻²¹を掛けるので、6.40 × 10⁻²³ cm³となります。長さに付いた単位も立方する、という操作を行ごとに書けば修正できます。

また、密度の式をaについて解く際に、a = ZM/(Nρ)とする答案は、体積を長さと取り違えています。右辺の単位はcm³なので、立方根が必要です。単位は計算後の飾りではなく、変形の間違いを見つける手がかりです。図3では長さの換算を先に行っていますが、nm³のまま計算して最後に体積を変換しても同じ答えになります。

学校の指導の下で測定記録を扱う場合は、同じ試料について温度や測定条件をそろえ、同じ量を繰り返し記録する設計を考えます。質量と外形から密度を出す場合、試料の空隙や不純物、体積の読み取りが結果に影響し得ます。格子から得る密度は、与えられた構造が試料全体に成り立つというモデルの値です。両者に差があっても、直ちにどちらかの計算ミスと決めず、条件と試料の状態を調べます。

例えば横軸をa³、縦軸をρとしたグラフでは、一定の格子質量に対してρはa³に反比例します。右へ進むほど値が下がり、直線ではありません。一方、横軸を1/a³にすれば、同じ条件で原点を通る直線になり、傾きは1格子の質量です。軸の単位が変われば傾きの数値も変わります。点が直線から外れた場合は、測定の散らばりに加えて、Zや組成が同じという前提も点検します。

練習：箱に戻して確かめる

次の5問は互いに独立です。数値は計算用の与件で、測定表も練習用に作ったものです。計算ではN = 6.00 × 10²³ mol⁻¹を使い、指定がなければ密度はg/cm³、長さはnmで有効数字3桁にしてください。

1. 単原子結晶の立方格子は原子2個を含み、一辺は0.200 nm、モル質量は24.0 g/molです。密度を求めてください。
2. ABの立方格子は3式単位を含み、ABのモル質量は60.0 g/mol、密度は10.0 g/cm³です。一辺を求めてください。
3. 同じ構造と組成について、格子定数の推定値が0.500 nmから0.550 nmへ変わりました。密度の新旧の比を小数第3位まで求め、密度の増減を答えてください。
4. ある立方格子で、一辺の記録は0.250 nm、0.251 nm、0.249 nmでした。これらの平均をnmで小数第3位まで求め、値がそろっていることから言えることと言えないことを1つずつ述べてください。
5. あるAB結晶の1格子にはAが6個、Bが6個含まれます。ABのモル質量を90.0 g/mol、一辺を0.300 nmとします。式単位数と密度を求め、全イオン数を式単位数に使った場合の密度と比べてください。

練習の解答と途中式

1

a = 2.00 × 10⁻⁸ cm
a³ = 8.00 × 10⁻²⁴ cm³
1格子の質量 = (2 × 24.0)/(6.00 × 10²³) g = 8.00 × 10⁻²³ g
ρ = (8.00 × 10⁻²³)/(8.00 × 10⁻²⁴) g/cm³ = 10.0 g/cm³

密度10.0 g/cm³に体積を掛けると8.00 × 10⁻²³ gに戻ります。原子2個の質量と一致するため、体積だけでなく粒子数の対応も点検できます。

2

a³ = (3 × 60.0)/((6.00 × 10²³) × 10.0) cm³
   = 3.00 × 10⁻²³ cm³
a = 3.1072… × 10⁻⁸ cm = 0.311 nm

丸める前の体積に10.0 g/cm³を掛けると3.00 × 10⁻²² gです。これはAB 3式単位の質量180/(6.00 × 10²³) gに等しく、与えられた密度と組数に戻ります。

3

一辺の新旧の比 = 0.550/0.500 = 1.10
密度の新旧の比 = 1/(1.10)³ = 0.751…

答えは0.751で、密度は減少します。新しい体積は古い体積の1.331倍であり、新しい密度を1.331倍すると元の密度に戻ります。どちらの密度も正で、同じ格子質量を前提とする比較です。

4

平均 = (0.250 + 0.251 + 0.249)/3 nm = 0.250 nm

この3回の値は平均の前後0.001 nm以内にあります。ただし、これだけで真の値に近いとは言えません。測定器の基準のずれが共通に入る可能性があるためです。平均0.250 nmを3倍すると0.750 nmで、3回の記録の合計に戻ります。

5

AとBが1個ずつでAB 1式単位ですから、6式単位です。全イオン数は12個ですが、ABのモル質量を掛ける対象は6組です。

1格子の質量 = (6 × 90.0)/(6.00 × 10²³) g = 9.00 × 10⁻²² g
体積 = (3.00 × 10⁻⁸)³ cm³ = 2.70 × 10⁻²³ cm³
ρ = (9.00 × 10⁻²²)/(2.70 × 10⁻²³) g/cm³ = 33.3 g/cm³

丸める前の密度に体積を掛けると9.00 × 10⁻²² gに戻ります。12を式単位数と誤れば質量も密度も2倍となり、密度は66.7 g/cm³です。この値はAとBをそれぞれ12個含む計算に相当し、与件の6個ずつと合いません。

要点を短く

• 1格子の質量は、式単位数と式単位のモル質量から求めます。
• 密度は1格子の質量を同じ格子の体積で割った値です。
• nmをcmに直してから3乗し、逆算では立方根を取ります。
• 同じ質量なら密度は一辺の3乗に反比例します。
• 測定の散らばりと、共通の偏りの可能性を分けます。

式のどこで止まっているか

個別指導では、まず本人に「Mが何1 molの質量か」と「Zが何の個数か」を言葉にしてもらいます。そこで合っていれば、一辺の単位をcmに変えた行、体積の指数、立方根の行を順に見ます。答えの数値が近い場合も、密度に体積を掛けて1格子の質量へ戻せるかを確かめると、偶然の相殺を見つけられます。

測定表の説明で「値が近いから正確」と書いた場合は、同じ方向にずれる測定の例を考えてもらいます。式と実験の条件を行き来することで、結晶密度の数字にどの程度の意味を持たせられるかが見えてきます。