高校化学 浸透圧と分子量測定—半透膜を隔てた液面差と濃度の関係を立てる｜武蔵野個別指導塾

液面差から圧力を求め、溶液の体積変化を反映した濃度で高分子の分子量に迫る浸透圧。

よくあるのは、高校生が半透膜を通った水で溶液の液面が上がった後も、最初に調製した濃度をそのまま式に入れる場面です。溶質の量は変わらなくても、溶液の体積は変わり得ます。どの時点の濃度が必要なのかを、膜を通る粒子と液面にかかる圧力から追います。

要点（結論から）

• 浸透圧は正味の浸透を止めるための圧力差です。
• 希薄な非電解質溶液では、測定時の体積を使いπV = nRTとします。
• 液面差から圧力を求めるときは、密度と外圧の条件を確認します。

問題の入口を見分ける

浸透圧の問題には、まず濃度と温度から圧力を求める型があります。次に、測定した圧力と試料の質量から分子量を逆算する型があります。さらに、液面差を圧力に直し、溶液に流入した溶媒による体積の変化まで反映する型があります。

どの型でも、膜が何を通し、どちら側の圧力が高いかを先に書きます。液面差を読んだ時点の体積が与えられているか、体積の変化を無視してよいと指定されているかも重要です。与件が足りないのに初期体積を自動的に使うと、計算が整っていても測定時の濃度を表せません。

膜を通るものと圧力の意味

半透膜は、この問題では溶媒を通し、溶質を通さない膜とします。純溶媒と溶液を膜で隔て、両側の圧力が等しい状態から始めると、正味では溶媒が純溶媒側から溶液側へ移動します。分子が一方向にしか動かないという意味ではありません。両方向の移動があり、その差として溶液側への移動が現れます。

図1のように、溶液側の液面が上がると、膜の位置における溶液側の圧力が大きくなります。液面が静止した状態では、この圧力差が浸透を止めるのに必要な差とつり合います。浸透圧とは、溶液側に加えて正味の浸透を止めるために必要な圧力差です。圧力の絶対値ではなく、純溶媒側との差を扱います。

図1は液面の高さと膜を模式的に示しています。両液面に同じ外圧がかかり、両側の液体の密度を同じρと近似できるとき、高さの差hによる膜位置の圧力差はρghです。gは重力加速度です。密度が異なるときは、それぞれの液面から膜までの深さを使って圧力を別々に求め、差を取ります。単にρghとするには密度の近似が必要です。

希薄な非電解質の溶液について、絶対温度T、溶液体積V、溶質の物質量n、気体定数Rを用いると、浸透圧πは次の関係で近似できます。

π = (n/V)RT
πV = nRT

この式は希薄な溶液の実験的な関係を表します。溶質が気体になって膜に衝突していると考える必要はありません。濃度を倍にすると、温度と希薄近似が保たれる範囲では浸透圧も倍になります。温度は摂氏温度ではなく絶対温度で入れます。Vは溶媒の体積ではなく、その時点の溶液全体の体積です。

分子量をM、溶質の質量をwとすると、物質量はw/Mです。Mをg/mol、wをgで表せば、次の式が得られます。

πV = (w/M)RT
M = wRT/(πV)

この逆算は、膜を溶質が通らず、測定中に溶質が失われないことを前提とします。高分子でも、溶けている粒子の物質量と質量をこの式で結び付けます。多様な分子量の分子が混ざる試料では、得られる値を各分子が同じ質量を持つことの証明とはみなしません。

圧力をPa、体積をm³、温度をKとする場合は、Rを8.31 Pa・m³/(mol・K)として使えます。Lを使う場合は、1 L = 0.001 m³の変換を忘れないでください。以下では計算用の値を各問題に与え、最後に指定された桁へ丸めます。

基本：体積を圧力の単位に合わせる

例題1。非電解質0.010 molを含む希薄水溶液の体積は、測定時に2.0 Lです。温度は300 K、Rは8.31 Pa・m³/(mol・K)とします。浸透圧をPa単位、有効数字2桁で求めてください。溶質は膜を通らないものとします。

図2のように2.0 Lは溶液の体積であり、0.0020 m³に直してから式へ入れます。

V = 2.0 L = 0.0020 m³
π = nRT/V
π = 0.010・8.31・300/0.0020
π = 12465 Pa

答えは1.2 × 10⁴ Paです。丸める前の圧力を式に戻すと、12465・0.0020/(8.31・300) = 0.010 molとなり、与えた粒子の物質量に戻ります。図2の値はこの例題の測定時の量です。

単位を直さずに2.0をm³として代入すると、体積を実際の1000倍に扱い、圧力は1000分の1になります。数値の桁が小さすぎる場合は、まず体積の換算をたどります。式の形を覚える前に、濃度n/Vがmol/m³になっているかを見ると、この誤りを見つけやすくなります。

標準：圧力から分子量へ戻る

例題2。非電解質の試料0.60 gを溶かした希薄溶液の測定時の体積は0.500 Lです。300 Kで浸透圧は249.3 Paでした。R = 8.31 Pa・m³/(mol・K)とし、分子量を有効数字2桁で求めてください。試料は膜を通らず、測定中の損失はありません。

まず0.500 Lを0.000500 m³とします。圧力から物質量を求めれば、質量をその物質量で割れます。

n = πV/(RT)
n = 249.3・0.000500/(8.31・300)
n = 0.0000500 mol
M = 0.60/0.0000500
M = 12000 g/mol

分子量は1.2 × 10⁴です。単位を持つモル質量は1.2 × 10⁴ g/molで、その数値が分子量に相当します。逆に0.60 gを12000 g/molで割ると0.0000500 molであり、この物質量を0.000500 m³に含む溶液では、与えられた249.3 Paに戻ります。

高分子では同じ質量でも粒子の数が少なくなり得るため、圧力が小さくなる点が測定上の特徴です。小さな圧力差を読むときは、液面の目盛りの読み取りや温度の変化が結果に響きます。大きな分子量が得られたからといって、それだけで測定が正しいとは限りません。

発展：移動した溶媒を数える

例題3。断面積が一定の容器に非電解質0.020 molを含む希薄水溶液1.00 Lがあり、半透膜の反対側には純水があります。測定中、膜を通って純水100 mLが溶液側に移動しました。溶質の移動と損失はなく、体積は加算できるとします。測定時の温度は300 K、R = 8.31 Pa・m³/(mol・K)です。浸透圧をPa単位、有効数字2桁で求め、初期体積を使った値との違いを示してください。

溶質は0.020 molのままですが、溶液の体積は1.10 Lです。100 mLを溶質の量に足すのではなく、溶液の体積に足します。

V = 1.00 + 0.100 = 1.10 L
V = 0.00110 m³
π = 0.020・8.31・300/0.00110
π = 45327.27… Pa

答えは4.5 × 10⁴ Paです。初期体積の0.00100 m³を使えば49860 Paとなり、有効数字2桁では5.0 × 10⁴ Paです。初期濃度は測定時より高いため、圧力も高く見積もります。求めた圧力を丸める前に戻すと、溶質は0.020 mol、溶液体積は1.10 Lとなり、移動前の1.00 Lとの差は与えられた0.100 Lです。

別解では、同温度と同じ溶質量の下で圧力が体積に反比例することを使います。初期体積を仮に保った圧力49860 Paに1.00/1.10を掛ければ、同じ45327.27… Paです。この比の方法でも、初期値と測定時の値を区別してから比較します。

液面の高さから体積増加を求める問題では、溶液側の断面積に上昇高さを掛けます。反対側の液面も下がるなら、両液面の差は溶液側の上昇高さと同じとは限りません。容器の断面積と両側の液面の変化が不明な場合、液面差だけから移動体積を決めることはできません。体積変化を無視するという条件もなければ、初期体積を使った数値は近似にすぎません。

誤答を直し、観察の条件を点検する

誤答の例は「液面が上がっても溶質の量が一定だから、濃度も一定」です。前半の物質量が一定という判断は、膜が溶質を通さず損失がないという条件では正しい判断です。しかし、濃度は物質量を溶液体積で割った値です。図3のように分母が増えれば、分子が一定でも濃度は下がります。

図3では、同じ溶質粒子がより大きな体積に広がる様子を示します。修正するときは、測定時の溶質量と溶液体積を別々に書き、その後に割り算します。溶媒量と溶液量の混同も、同じ段階で点検できます。

学校の指導の下で観察する装置を考えると、両液面が静止したこと、温度、液面にかかる外圧、液面の高さを記録する必要があります。膜から溶質が漏れると、溶質量一定という前提が崩れます。気泡や液面の読み違いも圧力差の推定を変えるため、観察の条件を記録して結果と一緒に検討します。

濃度と浸透圧のグラフを描くなら、横軸を測定時の濃度、縦軸を圧力差とし、同じ温度で得た点を比べます。希薄近似の範囲では原点を通る直線の傾きがRTです。初期濃度を横軸に使い、体積変化が試料ごとに異なる場合は、直線からのずれを直ちに式の不成立と断定できません。まず濃度の定義と測定時点をそろえます。

練習問題

いずれも希薄な非電解質水溶液とし、溶質は膜を通らず失われないものとします。R = 8.31 Pa・m³/(mol・K)を用い、計算結果は指定された有効数字に最後に丸めてください。

1. 0.0060 molの溶質を含む溶液の測定時の体積は3.0 L、温度は300 Kです。浸透圧をPa単位、有効数字2桁で求めてください。
2. 0.40 gの試料を含む溶液の測定時の体積は1.00 Lです。300 Kにおける浸透圧が99.72 Paのとき、分子量を有効数字2桁で求めてください。
3. 0.012 molの溶質を含む溶液が、純水を0.200 L受け取り、体積が1.50 Lから増えました。体積は加算でき、温度は300 Kです。測定時の浸透圧をPa単位、有効数字2桁で求めてください。
4. 両液面に同じ外圧がかかり、両液体の密度を1000 kg/m³と近似します。静止時の溶液側の液面は純水側より0.050 m高く、g = 9.8 m/s²です。浸透圧をPa単位、有効数字2桁で求めてください。
5. 同じ温度で、溶質の物質量が等しい2つの溶液A、Bの測定時の体積がそれぞれ0.80 L、1.20 Lです。浸透圧の大小と、Aの圧力をBの圧力で割った値を、有効数字2桁で求めてください。また、両液面の差だけで移動体積が決まるか、理由を述べてください。

練習の答えと途中式

1. 3.0 L = 0.0030 m³なので、π = 0.0060・8.31・300/0.0030 = 4986 Paです。答えは5.0 × 10³ Paです。丸める前の値を戻すと、4986・0.0030/(8.31・300) = 0.0060 molです。

2. n = 99.72・0.00100/(8.31・300) = 0.0000400 molです。0.40/0.0000400 = 10000 g/molより、分子量は1.0 × 10⁴です。0.40 gを10000 g/molで割れば0.0000400 molとなり、与えられた圧力に戻ります。

3. 測定時の体積は1.50 + 0.200 = 1.70 L = 0.00170 m³です。π = 0.012・8.31・300/0.00170 = 17597.64… Paより、答えは1.8 × 10⁴ Paです。丸める前の値を戻すと溶質量は0.012 molで、体積の増分も0.200 Lです。

4. π = ρgh = 1000・9.8・0.050 = 490 Paです。有効数字2桁では4.9 × 10² Paです。逆に490/(1000・9.8) = 0.050 mとなり、液面差に戻ります。両側の密度を等しいと近似したことが、この簡潔な式の条件です。

5. 同じnとTではπはVに反比例します。πA/πB = 1.20/0.80 = 1.5なので、Aの方が大きく、比は1.5です。逆に体積の比0.80/1.20に圧力比1.5を掛けると1になり、両側のπVが等しいことを確認できます。液面差だけでは移動体積は決まりません。各容器の断面積と液面の変化の配分が必要です。

要点をたどる

• 浸透圧は正味の浸透を止めるための圧力差です。
• 希薄な非電解質溶液では、測定時の体積を使いπV = nRTとします。
• 液面差から圧力を求めるときは、密度と外圧の条件を確認します。
• 分子量の逆算では溶質の損失と体積変化に注意します。

式が立てられないときは、膜の両側に何があるかを図に描き、溶質量と溶液体積を別の行に書いてみてください。個別指導では、初期と測定時の体積に区別を付けられるか、Lからm³へ換算できるか、液面差を圧力差に直す条件を説明できるかを、本人の途中式で確かめます。数字が合った場合も、求めた物質量を元の質量と圧力に戻すことで、立式の取り違えを見つけられます。