高校物理 正弦波交流の実効値—瞬間値と二乗平均を分けて発熱量を比べる｜武蔵野個別指導塾

平均電流が零でも抵抗が温まる理由を、回転コイルと直流との発熱比較からたどると、目印は正弦波の実効値です。

よくあるのは、正弦波交流の一周期の平均電流が零なので、抵抗の発熱も零だとする場面です。電流が逆向きになれば、電荷の運ばれる向きは逆になります。しかし抵抗の温度を上げる働きまで逆になるのでしょうか。各瞬間の電流と電力を区別し、同じ抵抗に流す直流と交流を比べると、この疑問を式と図の両方から調べられます。

問いの形を見分ける

出題の一つは、回転するコイルを貫く磁束から、誘導起電力の最大値や周期を読むものです。磁束が最大の瞬間と起電力が最大の瞬間は一致しません。磁束の値ではなく、その時間変化が起電力を決めるためです。回転の速さを変えたときには、周期と最大起電力の両方に影響します。

もう一つは、抵抗に正弦波の電圧を加え、最大電流、実効電流、平均電力、一定時間の熱量を求めるものです。電圧や電流に「最大」「瞬間」「実効」のどれが付くかを先に確認します。同じ数値でも表す量が違えば、平方根の係数を余分に付けたり落としたりします。

さらに、波形や測定方法を比較する問題があります。実効値は熱を基準にした値なので、同じ実効値なら同じ抵抗での平均発熱は等しくなります。ただし最大値との比は波形に依存します。正弦波の √2 という比を、形の違う交流に条件を見ず適用することはできません。

学習範囲は高等学校の物理の電気と電流、電流と磁界に対応します。ここでは抵抗のみの回路を扱い、コイルやコンデンサーを含む交流回路の位相差には立ち入りません。

回転と二乗平均を結ぶ

図1のように、面積 S の平面コイルの面に垂直な向き、すなわち法線と一様な磁束密度 B のなす角を θ とします。コイルが角速度 ω で一定に回り、時刻 0 に法線が磁場と同じ向きなら、θ=ωt です。1巻きを貫く符号付き磁束は Φ=BS cos(ωt) となります。法線を反対に選ぶと磁束と起電力の符号は共に逆になりますが、発熱は変わりません。

図1のように磁束が山から減り始める間、誘導起電力は磁束の変化を妨げる向きに生じます。巻数 N のコイルでは、誘導起電力 e は符号の約束に合わせて e=-NΔΦ/Δt の微小時間での値です。cos の時間変化を用いれば、e=NBSω sin(ωt) となります。最大値 E₀=NBSω、周期 T=2π/ω、振動数 f=1/T です。角度をラジアンで測ることで ω=2πf が成り立ちます。

この式は、一様な磁場の中でコイルが一定の角速度で回り、巻線を貫く磁束を同じとみなせる模型の結果です。磁束が最大の位置ではその前後で値がほとんど変わらず、起電力は零です。磁束が零を通る位置では変化が最も急になり、起電力の大きさが最大になります。磁束の符号とその変化の符号は別に読んでください。

抵抗 R に電圧 v=V₀ sin(ωt) を加えると、各瞬間にオームの法則が成り立ち、電流 i=(V₀/R) sin(ωt)=I₀ sin(ωt) です。ここでは電源と導線を理想化し、抵抗値は温度によらず一定とします。抵抗では電圧と電流の符号が同時に反転し、瞬時電力 p=vi=Ri²=RI₀² sin²(ωt) は負になりません。逆向きに流れても熱として受け取る電力は正です。

一周期にわたる sin の平均は、正の半周期と負の半周期が打ち消し合って零です。一方、sin² は常に零以上です。sin²θ=(1-cos 2θ)/2 であり、cos 2θ の一周期平均は零なので、sin² の平均は 1/2 です。したがって平均電力は P=RI₀²/2 です。この導出は一周期、または整数周期の平均を取ることを使っています。

実効電流 I は、同じ抵抗で同じ時間当たりの熱を生む直流の電流として定義します。RI²=RI₀²/2 より I=I₀/√2 です。同様に実効電圧 V=V₀/√2 で、抵抗のみなら V=RI、P=VI=RI²=V²/R と書けます。これは電流の平均ではなく二乗平均の平方根です。電圧の式も、同じ抵抗での発熱を比較して得られます。

基本例題：同じ最大電流で比べる

一定の抵抗 8 Ω に、最大値 3 A の正弦波電流を 4 s 流します。この時間は整数周期とします。別に同じ抵抗へ 3 A の直流を同じ時間流します。交流の実効電流、平均電力、熱量と、直流の熱量を根号または整数で、単位を付けて求めてください。数値は計算用の自作条件で、抵抗値は一定とします。

図2のように、交流の電流は正負に変わりますが、その二乗は両側で正です。最大値をそろえた直流は、常に交流の最大電流と同じ大きさです。

交流の実効電流は I=3/√2 A です。平均電力と熱量は順に次のようになります。

P=8・3²/2
 =36 W
Q=36・4
 =144 J

直流では電流が常に 3 A です。電力は 8・3²=72 W、4 s の熱量は 72・4=288 J です。交流の熱量は直流の半分になります。図2のように最大値が等しい条件では、交流の電流の大きさが最大に達するのは限られた瞬間だからです。

答えを元の条件に戻すと、交流の実効電流 3/√2 A の直流を同じ抵抗に流した電力は 8・(3/√2)²=36 W です。実効値の定義に一致します。最大値の 3 A を実効値として使うと 72 W となり、交流を常に最大電流で流したことになってしまいます。

標準例題：発電と抵抗をつなぐ

一様な磁場 B=0.50 T 中で、面積 S=0.020 m² のコイル 100 巻きを毎秒 5 回、一定の速さで回します。時刻 0 にはコイルの法線が磁場と同じ向きです。コイルの抵抗と導線の抵抗を無視し、外部の一定抵抗を 10 Ω とします。磁束は各巻きで同じとし、他の損失は無視します。起電力の最大値、電流の実効値、抵抗の平均電力を π と根号を用いて求めてください。

振動数は 5 Hz なので、ω=2π・5=10π rad/s です。1巻きの磁束は 0.50・0.020 cos(10πt)=0.010 cos(10πt) Wb です。100 巻き分の磁束の時間変化から、起電力の最大値は次の値です。

E₀=NBSω
 =100・0.50・0.020・10π
 =10π V

最大電流は 10π/10=π A、実効電流は π/√2 A です。平均電力は 10・(π/√2)²=5π² W です。時刻 0 の磁束は最大で、起電力と電流は零です。4分の1周期後には磁束が零を通り、起電力と電流が最大になります。

別解では実効電圧を先に 10π/√2 V とし、P=V²/R を使います。(10π/√2)²/10=5π² W となり一致します。実効電流を抵抗に戻すと、実効電圧は 10・π/√2=10π/√2 V です。回転を維持する外力が供給する平均の機械的な仕事率も、損失を無視したこの模型では抵抗の平均電力と等しくなります。エネルギーは電流の向きが反転しても抵抗へ運ばれます。

発展例題：波形が変われば比も変わる

一定抵抗 6 Ω に、周期の前半では一定電流 2 A、後半では一定電流 -2 A を繰り返し流します。切替時間は無視し、整数周期の間の平均を考えます。平均電流、実効電流、平均電力を整数と単位で求め、最大値 2 A の正弦波の場合と比較してください。切替を理想化した計算上の波形です。

正負の時間が等しいので平均電流は 0 A です。しかし電流の二乗は両方の半周期で 4 A² です。実効電流は √4=2 A、平均電力は 6・2²=24 W です。最大値 2 A の正弦波なら実効電流は 2/√2 A、平均電力は 6・2²/2=12 W です。

別の見方では、各半周期の瞬時電力がどちらも 24 W なので、時間平均も 24 W です。求めた 2 A の直流を同じ抵抗に流すと 24 W となり、定義に戻しても一致します。平均電流と最大値が同じでも、波形の途中の大きさが異なるため平均電力は異なります。√2 の関係は正弦波についての結果です。

測定値とグラフをどう読むか

学校の指導の下で、低電圧の交流源、適切な抵抗、電流の時間変化を測る計器を用いた測定を考えます。波形を記録して周期と最大値を読み取り、実効値を測る計器の値と比較します。抵抗の定格や計器の許容範囲は指導者が確認し、電源を切ってから接続を変更します。家庭電源を用いた実験を前提にはしません。

時間軸上の隣り合う山の間隔が周期です。横軸の目盛りを読み間違えると振動数が逆数だけずれます。縦軸は瞬間電流か電圧か、また零の位置と目盛りを確かめます。山と谷の差は最大値の2倍であり、その差を最大値として使えば電力は4倍になってしまいます。

正弦波からずれた波形では、最大値を √2 で割った値と、実際の二乗平均平方根が一致しないことがあります。計器によっては正弦波を前提として目盛りを表示するため、波形に適した測定方式かを確認します。有限の標本間隔で鋭い山を取り逃がす誤差、零点のずれ、抵抗が温まって抵抗値が変わる影響も考えられます。測定時間を整数周期に近づけ、複数周期の波形を比較すると、周期の読み取りや平均の偏りを見つけやすくなります。

瞬時電力のグラフは電流の山と谷の両方で山になります。電流が1周期変化する間に電力は2回山をつくり、その高さは RI₀² です。電流グラフの正負の面積が打ち消し合うことと、電力グラフの面積が正になることを混同しないでください。電力と時間のグラフの下の面積が、その時間に抵抗が受け取るエネルギーです。

零になる平均を取り違えたら

図3のように、平均電流が零という判断自体は正弦波の整数周期について正しいものです。誤りは、その平均を先に二乗して発熱を出す点にあります。平均した電流の二乗は零ですが、各瞬間の電流を二乗してから平均すると正になります。

図3のように計算順を変えると、逆向きの電流による発熱が消えてしまいます。直し方は、まず瞬時電力を Ri² と書き、その後に時間平均を取ることです。整数周期でない短い時間の熱量を求める場合には、常に 1/2 を掛けられるとは限りません。区間の始まりと終わりによって sin² の平均が変わるからです。

別の誤答は、実効値を最大値の半分とすることです。正弦波では二乗平均が最大値の二乗の半分であり、電流そのものは平方根を取って最大値の 1/√2 倍になります。逆に実効値を与えられたときは、最大値を求めるため √2 を掛けます。最大値と実効値のどちらを問題文が与えたか、記号の脇に書き込むと方向を取り違えにくくなります。

抵抗以外の素子が入った回路では、電圧と電流の山が一致しないことがあります。そこで実効電圧と実効電流を掛けただけで平均電力が求まるとは限りません。ここで使った P=VI は、電圧と電流が同じ位相にある抵抗のみの条件と一緒に覚えます。

練習：条件を変えて確かめる

以下の数値は計算用の自作条件です。抵抗は一定、導線と電源は理想的とし、交流については指定時間を整数周期とします。根号と π はそのまま残し、求める量に単位を付けてください。

1. 最大電圧 12 V の正弦波を 3 Ω の抵抗に加えます。実効電圧、実効電流、平均電力を求めてください。
2. 実効電流 2 A の正弦波を 5 Ω の抵抗に 7 s 流します。最大電流と熱量を求めてください。
3. 最大電流 4 A の正弦波と、電流 4 A の直流を、それぞれ 2 Ω の抵抗に 6 s 流します。各熱量と交流の直流に対する比を求めてください。
4. 正弦波電流の周期が 0.20 s、最大値が 5 A です。振動数、角周波数、実効電流と、電流が零から正向きに増え始めてから最初の最大値までの時間を求めてください。
5. 一様磁場 0.40 T の中で、面積 0.030 m² のコイル 50 巻きを毎秒 2 回、一定速度で回します。各巻きの磁束は同じで、時刻 0 の法線は磁場と同方向です。起電力の最大値と周期を求めてください。

解答と場面への照合

1. 実効電圧は 12/√2=6√2 V、実効電流は 6√2/3=2√2 A です。平均電力は (6√2)²/3=24 W です。最大電流は 12/3=4 A なので、3・4²/2=24 W と最大値からも戻せます。

2. 最大電流は 2√2 A です。平均電力は 5・2²=20 W、熱量は 20・7=140 J です。最大値を用いても 5・(2√2)²/2=20 W となり、同じ時間に 140 J が生じます。

3. 交流の平均電力は 2・4²/2=16 W、熱量は 16・6=96 J です。直流では電力 2・4²=32 W、熱量 32・6=192 J です。比は 96/192=1/2 です。どちらも同じ抵抗と時間に戻して比較しており、最大電流の条件も一致します。

4. 振動数は 1/0.20=5 Hz、角周波数は 2π・5=10π rad/s です。実効電流は 5/√2 A です。零から正の山までは4分の1周期なので 0.20/4=0.050 s です。この時間に進む角度は 10π・0.050=π/2 rad で、正弦が最大になる条件に戻ります。

5. 角周波数は 2π・2=4π rad/s、最大起電力は 50・0.40・0.030・4π=2.4π V です。周期は 1/2=0.50 s です。0.50 s に進む角度は 4π・0.50=2π rad で、コイルは1回転します。時刻 0 の磁束は最大なので、その瞬間の起電力は零です。

覚えておくこと

• 回転コイルの起電力は磁束の時間変化で決まります。
• 正弦波の一周期平均電流は零でも、二乗平均は正です。
• 正弦波の実効値は最大値の 1/√2 倍です。
• 抵抗の平均電力は実効値を使って P=RI²=V²/R と書けます。
• 最大値と実効値の比は波形によって変わります。

つまずきを見分ける

平均電流が零だから熱量も零と答えたときは、まず半周期ごとの電流の向きと瞬時電力の符号を図に書きます。両方の半周期で Ri² が正と説明できれば、平均を取る前に二乗する意味が見えてきます。式は合っていても最大値と実効値のラベルが逆なら、直流との比較に戻して単位を含めて確認します。

個別指導では、磁束が最大の位置で起電力が零になる理由を、グラフの傾きと言葉の両方で説明できるかを確かめます。次に抵抗の電流グラフから電力の山を描き、整数周期の熱量を面積として比べます。答えに数値を代入して元の電圧や抵抗へ戻すと、係数の取り違えも検討できます。実効値は、向きが変わる電流の発熱を直流と比べるための尺度です。