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高校物理磁場内の粒子軌道—入射方向と電荷の符号から半径と周期を導く｜武蔵野個別指導塾

公開 2026.11.13更新 2026.11.13武蔵野個別指導塾の特徴物理を掘り下げる電磁気

斜め入射の速度を磁場に平行と垂直に分け、一周後の位置や境界への戻り方から読み解く磁場内の粒子軌道。

よくあるのは、高校生がらせんの半径に磁場に平行な速度まで入れてしまう場面です。粒子は確かにその方向にも進みますが、その進み方は円の大きさを決める運動とは分けて考えられます。速度の矢印を分解し、力がどちらの成分を変えるかを見てから式を選びましょう。

要点（結論から）

磁力は速度に垂直で、速さを変えません。
半径には磁場に垂直な速度成分を使います。
らせんの1周後の進みは平行成分と周期の積です。

問いの形と最初の判断

磁場内の運動では、まず磁場と速度の向き、粒子の電荷の符号を読み取ります。紙面に垂直な磁場に粒子が入る問題なら、曲がる向きと円の中心を決め、半径と境界に戻る位置を求める形が典型です。磁場のある領域が有限なら、円を最後まで描く前に、途中で境界と交わらないか調べます。

もう一つは、磁場に対して斜めに入る粒子の問題です。垂直成分が円運動をつくり、平行成分が円の中心を進めます。1周の時間がわかれば、その時間に平行方向へ進む距離も求まります。同じ速さでも入射角が変わると、半径と1周あたりの進みは異なります。

ここでは電場、重力、衝突を無視し、磁場は時間によらず一様とします。粒子は十分遅く、質量を一定として扱います。高等学校学習指導要領解説の物理にある電流と磁界に対応する範囲です。力の向きと運動の向きの区別が出発点です。

力の向きから円とらせんを作る

磁束密度をB、電荷をq、質量をm、速度をvとします。速度と磁場のなす角をθとすると、磁力の大きさは |q|vB sinθ です。力は速度と磁場の両方に垂直です。正電荷の向きを右手で求め、負電荷なら逆にします。紙面に垂直な磁場は、手前向きを丸の中の点、奥向きを丸の中の交差で表します。

図1のように、速度を磁場に垂直な成分v⊥と平行な成分v∥に分けます。v⊥は円の接線方向で、磁力はその円の中心を向きます。v∥には磁力が働かず、平行方向の速度は一定です。図1の円と進行方向を合わせたものがらせんです。

磁力はその瞬間の速度に垂直なので、移動方向への力の成分は零です。磁力は仕事をせず、運動エネルギーと速さを変えません。力が零という意味ではなく、力は速度の向きを変え続けます。円の向心力は別の力を追加する名前ではなく、ここでは磁力そのものです。

垂直成分の速さをuと書くと、向心加速度はu²/rです。uが零でないとき、運動方程式は次のようになります。

mu²/r = |q|uB
r = mu/(|q|B)
T = 2πr/u = 2πm/(|q|B)

Tは円を1周する周期です。半径は垂直成分に比例しますが、周期にはuが残りません。速い粒子は大きな円を描く一方、円周を速く進むためです。平行成分をwとすると、1周の間に磁場方向へ進む距離はwTです。これをらせんのピッチと呼びます。wが負なら反対向きへ進み、距離の大きさは |w|T です。

速度が磁場に完全に平行ならuは零で磁力も零です。半径零の円を実際に回ると考えず、等速直線運動と判断します。一方、平行成分が零ならピッチは零で、軌道は磁場に垂直な平面内の円です。公式の分母に何を入れたかを確かめると、この両端も整理できます。

基本例題：半円で境界へ戻る

紙面内の右半分に、紙面の奥向きの一様な磁場があります。境界上の点Oから、質量 2.0 × 10⁻⁶ kg、電荷 +1.0 × 10⁻³ C の粒子が右向きに速さ 3.0 m/s で入ります。磁束密度は 2.0 × 10⁻² T です。磁場以外の力を無視し、πは記号のままとします。円の半径を有効数字2桁、境界に戻る位置をOからの向きと距離、戻るまでの時間をπを用いて答えてください。

図2のように、正電荷の磁力は入射時に上向きです。円の中心はOの真上にあり、右半分の磁場内を半周して境界に戻ります。図2の矢印は入射と戻る直前の速度を表します。

r = (2.0 × 10⁻⁶ × 3.0)/(1.0 × 10⁻³ × 2.0 × 10⁻²)
  = 0.30 m
T = 2π × (2.0 × 10⁻⁶)/(1.0 × 10⁻³ × 2.0 × 10⁻²)
  = 0.20π s

戻る点はOから上へ直径の 0.60 m、時間は半周期の 0.10π s です。戻る点の速度は左向きで、境界を横切って磁場のない側へ出ます。半径を戻して磁力と向心力を比べると、どちらも 6.0 × 10⁻⁵ N です。半周の道のり 0.30π m を 3.0 m/s で割っても同じ時間になります。

磁場が右半面全体ではなく幅に限りを持つ場合は、この答えをそのまま使えません。円の右端は境界から0.30 mの位置です。幅がこれより小さければ、戻る前に別の境界へ到達します。境界に接する場合は、そこで磁場の外へ出るかどうかも問題の領域の定義に従って判定します。

標準例題：斜め入射後の位置

一様な磁場が右向きで、磁束密度は 0.50 T です。質量 2.0 × 10⁻³ kg、電荷 +4.0 × 10⁻³ C の粒子が、磁場方向に 3.0 m/s、磁場に垂直な方向に 4.0 m/s の速度成分を持って入ります。他の力は無視します。半径を有効数字2桁、周期と1周後の入射点からの変位をπを用いて答えてください。

円を作る速さは4.0 m/sです。平行成分は半径に足さず、時間が決まった後に位置の変化へ使います。

r = (2.0 × 10⁻³ × 4.0)/(4.0 × 10⁻³ × 0.50) = 4.0 m
T = 2π × (2.0 × 10⁻³)/(4.0 × 10⁻³ × 0.50) = 2π s
平行方向の変位 = 3.0 × 2π = 6.0π m

1周後、垂直な平面での位置と速度は初めと同じです。したがって変位は磁場の向きに 6.0π m です。速さ全体は三平方の定理から 5.0 m/s で、1周後も同じです。半径4.0 mの円周を周期2π sで進む速さは4.0 m/sとなり、垂直成分に戻ります。

別の見方では、同じ磁場と粒子について円の角度が進む割合を考えます。円周の速さを半径で割った値は |q|B/m で、垂直成分に依存しません。平行成分が異なる粒子も、垂直成分が零でなければ同じ時間で1周します。ただしその間の進みは平行成分に比例します。電荷が負になると回転の向きは逆ですが、質量と電荷の絶対値が同じなら半径と周期は変わりません。

発展例題：同じ速さで角度を比べる

同じ一様磁場中に、同じ種類の正電荷粒子A、Bをそれぞれ速さ 10 m/s で入れます。磁場方向との角度はAが30°、Bが60°です。いずれも磁場以外の力を受けません。Aの円の半径をR、周期をTとしたとき、Bの半径と周期、両者の1周あたりの磁場方向の変位の比を根号で答えてください。

Aの垂直成分は 5 m/s、平行成分は 5√3 m/s です。Bの垂直成分は 5√3 m/s、平行成分は 5 m/s です。半径は垂直成分に比例するので、Bは √3 R です。周期は同じ粒子と磁場で共通のTです。平行方向の変位は速度成分に同じ時間Tを掛けるので、A対Bは √3対1 です。

答えを元へ戻すと、両粒子の成分の二乗和はどちらも 100 (m/s)² です。また、Bの半径と垂直速度はAのそれぞれ√3倍なので、円周を進む時間は同じになります。角度の基準が磁場方向でなく垂直面から与えられる問題では、正弦と余弦の対応を逆に読む必要があります。図に角を記入してから成分を決めます。

観察の設計とグラフの読み方

学校の指導の下で、装置によって荷電粒子の軌跡を観察すると考えます。磁場を一定に保って垂直入射の速さを変え、軌道の半径を複数回読み取れば、半径と速さの関係を調べられます。横軸に速さ、縦軸に半径を取ると、理想模型では原点を通る直線です。傾きはm/(|q|B)であり、傾きだけから質量と電荷を別々に決めることはできません。

例えば軌跡に幅があると、内側と外側のどちらを円周とみなすかで半径が変わります。複数の位置から中心を推定し、読み取り幅を記録して比較します。磁場のむら、入射角のずれ、残留する気体との衝突も理想円からのずれの原因です。原点を通らない直線が得られたときは、比例式をすぐ捨てる前に、位置の基準や測定方法を点検します。こうしたずれがあれば、算出した比電荷にも影響します。

誤答を力の図から直す

図3のように、磁場方向の速度まで円周上の速さに入れる誤りがあります。平行成分は磁力を生まず、円の半径を広げません。図3では垂直成分と平行成分の役割を分け、半径に使う量を確かめます。

また、負電荷の軌道で正電荷と同じ向きに曲げる誤りがあります。原因は力の向きを決める段階で符号を落とすことです。まず正電荷の力を描き、負電荷なら反転させ、その矢印の先に円の中心を置きます。半径の計算には電荷の絶対値を使うので、半径が負になることはありません。

「磁力は仕事をしないから直進する」という答えも、速さと速度の混同です。仕事が零でも、速度に垂直な力は向きを変えます。逆に「円運動だから速さが変わる」というときは、速さが一定でも速度の矢印は回ると確認します。磁場が時間変化する別の状況では誘導電場が仕事をする場合がありますが、それは磁力が仕事をしたこととは区別します。

境界を含む問題で円を1周してから戻ると決めるのも危険です。まず円と領域の境界の交点を求め、入射後に最初に達する交点を選びます。計算上の円の続きが磁場の外にあるなら、その部分は実際の軌道ではありません。到達時の速度が境界へ向かっているかも確認します。

練習：5つの条件を描き分ける

各問で磁場は一様かつ時間一定で、磁場以外の力と衝突を無視します。粒子の質量は一定とし、πは記号のまま残してください。数値は計算用の設定です。

紙面の手前向きに 0.40 T の磁場があります。質量 3.0 × 10⁻³ kg、電荷 +2.0 × 10⁻³ C の粒子が右向きに 2.0 m/s で入ります。初めの力の向き、半径を有効数字2桁、周期をπで答えてください。
磁場方向に 8.0 m/s、垂直方向に 6.0 m/s の成分を持つ負電荷粒子が、周期 0.50π s でらせんを描きます。半径をπを含まない数で、1周の磁場方向への移動距離をπで答えてください。有効数字は2桁です。
紙面の奥向きの磁場が直線境界の右側全体にあります。負電荷粒子が境界から右向きに入り、半径 0.70 m の円を描きます。境界に初めて戻る位置を入射点からの向きと距離で答えてください。
同じ磁場中で同じ速さの同種粒子を、磁場方向からそれぞれ 90°、30°の角度で入れます。後者と前者の半径の比、周期の比を整数の比で答えてください。
電荷の大きさ 5.0 × 10⁻³ C、質量 4.0 × 10⁻³ kg の粒子が、0.20 T の磁場に平行に 7.0 m/s で入ります。磁力の大きさと、2.0 s 後までの移動距離を有効数字2桁で答えてください。

練習の答えと戻し方

正電荷に働く力は下向きです。r = (3.0 × 10⁻³ × 2.0)/(2.0 × 10⁻³ × 0.40) = 7.5 m、T = 2π × 3.0 × 10⁻³/(2.0 × 10⁻³ × 0.40) = 7.5π s です。円周 15π m を 2.0 m/s で進むと 7.5π s となります。
円周の長さは 6.0 × 0.50π = 3.0π m なので、半径は 1.5 m です。平行方向の移動距離は 8.0 × 0.50π = 4.0π m です。半径から円周を戻すと 3.0π m となり、指定の周期と垂直速度に合います。負の符号は回転方向に影響しますが、距離には付きません。
正電荷なら初めの力は上向きですが、負電荷なので下向きです。中心は入射点の下にあり、半円後の交点は下へ直径の 1.4 m です。戻る速度は左向きで、右側の磁場領域を出ます。円の左右端が境界と反対側の最大位置に対応することも図で点検します。
垂直成分の比は sin30°対sin90°、すなわち1対2です。半径の比も1対2、周期の比は1対1です。後者は半径が半分で円周の速さも半分なので、1周に要する時間は変わりません。
速度と磁場が平行なので sin0° = 0、磁力は 0 N です。等速直線運動の距離は 7.0 × 2.0 = 14 m です。14 mを2.0 sで割ると与えられた速さに戻ります。円の周期の式に数値を入れて回転を想定する必要はありません。