高校物理 ブリッジと電圧測定—等電位の条件と計器の影響から測定値を吟味する｜武蔵野個別指導塾

検流計が零になる条件を電位から導き、電流計と電圧計の接続で変わる抵抗の測定誤差をたどるブリッジ測定。

よくあるのは、高校生がブリッジの検流計を見て、針が零なら橋の各抵抗にも電流が流れないと考える場面です。検流計につながる2点は同じ電位でも、電源の両端につながるそれぞれの枝には電位差が残ります。どの2点の電位差が零なのかを印で区別すると、計器の値が何を示しているかも見えてきます。

この題材は、文部科学省の高等学校学習指導要領解説の「物理」にある電気と電流に対応します。回路は直流の定常状態で、抵抗は一定、導線と電源は理想的とします。数値は説明のために作ったものです。

何が零で、何を測っているか

出題には大きく3つの型があります。1つ目は4個の抵抗と検流計から平衡に必要な未知抵抗を求める型です。左右の中点の電位を、同じ基準から別々に表します。2つ目は平衡から外れたとき、検流計の電流の向きや大きさを求める型です。電流が流れれば、各枝を単純な2個の直列回路として扱えません。3つ目は電流計と電圧計の値を割って抵抗を測る型です。接続位置により、その商が未知抵抗そのものになるとは限りません。

どの型でも、まず線で結ばれた同電位の点をまとめ、電流が分岐する点を探します。理想導線に電位差はありませんが、抵抗を通ると電流の向きに電位が下がります。測定の結果を式へ入れる前に、計器がどの部分を含むか確認することが判断の出発点です。

左右の中点を同じ基準で見る

図1のように、電源の高電位側をP、低電位側をQとし、Qを0 V、PをE Vとします。左枝はPからAを経てQへ抵抗R₁、R₂を、右枝はPからBを経てQへ抵抗R₃、R₄を置きます。AとBの間に抵抗Rᵍが正で有限な検流計をつなぎ、AからBを検流計電流の正方向とします。

図1で検流計の電流が零なら、オームの法則からVₐ − Vᵦ = 0です。逆に、2点の電位が等しければ検流計の両端の電圧が零なので、そこを流れる電流も零です。この状態を平衡と呼びます。零であるのはAとBの間の電流です。電源が正の電圧を保ち、各抵抗が有限の正の値なら、左右の枝にはそれぞれ電流が流れます。

平衡時にはAやBで検流計へ電流が分かれません。したがって左枝の2個は同じ電流Iₗ、右枝の2個は同じ電流Iᵣを通します。各枝の両端にはE Vがかかるので、

Iₗ = E/(R₁ + R₂)
Iᵣ = E/(R₃ + R₄)
Vₐ = IₗR₂ = ER₂/(R₁ + R₂)
Vᵦ = IᵣR₄ = ER₄/(R₃ + R₄)

中点の電位はQから上へたどった電位の上昇で表しました。Vₐ = Vᵦに代入し、Eが零でないとして両辺を整理すると、

R₂/(R₁ + R₂) = R₄/(R₃ + R₄)
R₂R₃ = R₁R₄

これが、この配置での平衡条件です。文字の並びを暗記するより、下側抵抗の電圧の割合が左右で等しいと考えると、図を回転して描いても対応を追えます。R₂/R₁ = R₄/R₃として、同じ枝の下側と上側の比を比べても同じ式になります。

電源電圧を変えても抵抗が一定であれば両中点の電位は同じ割合で変化し、平衡条件にEは残りません。ただし電源を切ってE = 0にすれば、どの抵抗比でも電流は零です。それを抵抗比が一致した平衡の証拠としてはいけません。また検流計の抵抗が非常に大きい場合、電位差が残っていても電流は小さくなります。実際の針や表示の分解能では、小さい電流と完全な零を区別できないことがあります。

基本例題：未知の抵抗を決める

図2の回路で、R₁ = 2 Ω、R₂ = 3 Ω、R₃ = 4 Ω、R₄ = X Ω、E = 10 Vです。抵抗と検流計の抵抗は有限かつ正です。検流計が零のときのX、左右の枝の電流、AとBの電位を求めてください。答えは整数または既約分数とし、単位を付けます。

図2では平衡条件の対応が2・X = 3・4です。Xを求めた後で、各枝に電流が流れることを確かめます。

2X = 3・4
X = 6 Ω
Iₗ = 10/(2 + 3) = 2 A
Iᵣ = 10/(4 + 6) = 1 A
Vₐ = 2・3 = 6 V
Vᵦ = 1・6 = 6 V

AとBはどちらもQより6 V高いので、検流計の両端電圧は零です。左枝では上側の電圧降下が2・2 = 4 V、下側が2・3 = 6 Vで、和は10 Vです。右枝でも4・1 = 4 V、6・1 = 6 Vとなり、電源の10 Vに戻ります。A、Bではそれぞれ流入と流出が等しく、検流計電流が零でも枝の電流が零ではないことが確認できます。

別解では、左枝の下側に電源電圧の3/5がかかることを先に見ます。平衡には右枝の下側も3/5である必要があるため、X/(4 + X) = 3/5です。これを解いてもX = 6 Ωです。電位の割合を使う方法は、電源の値が与えられていない場合にも使えます。

標準例題：2つの接続で何が変わるか

未知抵抗をR、電圧計の内部抵抗をRᵥ、電流計の内部抵抗をRₐとします。計器の内部抵抗は有限で一定です。電源は12 V、R = 12 Ω、Rᵥ = 60 Ω、Rₐ = 2 Ωとします。2通りの回路を別々に作った模型として、電流計の値Iと電圧計の値V、および見かけの抵抗V/Iを求めてください。整数または既約分数で、単位を付けます。

接続アでは、電圧計をRの両端に並列につなぎ、その並列部分と電流計を直列に置きます。電圧計はRの電圧を示しますが、電流計はRと電圧計を合わせた電流を示します。並列部分の合成抵抗は、

R並列 = 12・60/(12 + 60) = 10 Ω
I = 12/(2 + 10) = 1 A
V = 1・10 = 10 V
V/I = 10 Ω

実際にはRの電流が10/12 = 5/6 A、電圧計の電流が10/60 = 1/6 Aです。和は1 Aで、電流計の表示に戻ります。電流計の電圧降下は2 V、並列部分は10 Vで合計12 Vです。測定値10 ΩはRより小さく、電圧計に流れた電流までRの電流と思うことが原因です。

接続イでは、Rと電流計を直列にし、その直列部分の両端に電圧計をつなぎます。電流計はRの電流を示しますが、電圧計はRと電流計を合わせた電圧を示します。理想電源がこの直列部分の両端を12 Vに保つので、

I = 12/(12 + 2) = 6/7 A
V = 12 V
V/I = 14 Ω

Rの電圧は72/7 V、電流計の電圧は12/7 Vで、和は12 Vです。電圧計には別に12/60 = 1/5 Aが流れますが、その枝は電流計を通りません。見かけの14 Ωは電流計の抵抗を含むため、Rより大きくなります。どちらも計器が理想的でないことから生じる、接続に固有の偏りです。

一般にアの商はRRᵥ/(R + Rᵥ)、イの商はR + Rₐです。アでRᵥがRより十分大きければ電圧計への分流が小さく、イでRₐがRより十分小さければ電流計の電圧降下が小さくなります。小さい抵抗にはア、大きい抵抗にはイが常に最善と決める前に、計器の抵抗も含めて相対的な誤差を比べます。

発展例題：平衡を外れた橋

Pを12 V、Qを0 Vとし、左上R₁ = 2 Ω、左下R₂ = 4 Ω、右上R₃ = 4 Ω、右下R₄ = 4 Ω、検流計の抵抗Rᵍ = 4 Ωとします。AからBへの電流を正として、その電流とA、Bの電位を既約分数で求めてください。定常状態とし、単位を付けます。

ここでは2・4と4・4が等しくないので平衡ではありません。検流計を外した場合の電位はAが8 V、Bが6 Vです。そのため接続前にAの方が高いと予想できますが、接続後には分流で両方の電位が変わります。接続前の2 Vをそのまま検流計抵抗で割ることはできません。

接続後の電位をVₐ、Vᵦとし、各中点へ流れ込む電流と流れ出る電流を等しくします。AからBへ流れる電流は(Iᵍ) = (Vₐ − Vᵦ)/4です。

(12 - Vₐ)/2 = Vₐ/4 + (Vₐ - Vᵦ)/4
(12 - Vᵦ)/4 + (Vₐ - Vᵦ)/4 = Vᵦ/4
4Vₐ - Vᵦ = 24
-Vₐ + 3Vᵦ = 12
Vₐ = 84/11 V
Vᵦ = 72/11 V
Iᵍ = 3/11 A

答えの符号が正なので電流はAからBです。値を元の回路へ戻すと、Aの流入は24/11 A、左下への流出は21/11 Aで、差は検流計の3/11 Aです。Bへの右上からの流入は15/11 A、検流計からの流入は3/11 A、右下への流出は18/11 Aです。いずれの接点でも電流が連続します。左上と左下の電圧の和、右上と右下の電圧の和はいずれも12 Vです。

別の見方では、検流計を外したAとBの電位差2 Vを出発点にします。理想電源を零電圧の導線に置き換え、Aから見た2 Ωと4 Ωの並列抵抗4/3 Ω、Bから見た4 Ωと4 Ωの並列抵抗2 Ωを足します。検流計を接続したときの電流は2/(4/3 + 2 + 4) = 3/11 Aです。これは回路の電位差と抵抗を等価な一つの電源と抵抗に置き換える方法で、節点の式で得た答えと一致します。零電圧への置き換えはこの等価抵抗を求める途中の操作であり、元の電源を切った測定を意味しません。

測定の設計とグラフの読み方

測定を計画するときは、対象抵抗と計器の定格や内部抵抗を確認し、学校の指導の下で行います。ここでは配線の実施手順ではなく、結果を評価するための模型を考えます。電源や接点、導線が理想的でない場合には、それらの抵抗も電圧降下を生み、対象の抵抗と区別しにくくなります。抵抗が発熱で変われば、初めに一定とした模型自体も合わなくなります。

電圧と電流を複数組測ったとき、横軸を電流I、縦軸を電圧Vとすれば、一定抵抗では原点を通る直線の傾きがV/Iです。ただし接続アの傾きは対象と電圧計の合成抵抗、接続イの傾きは対象と電流計の抵抗の和です。たとえば標準例題の模型で、接続アの直線の傾きは10 Ω、接続イでは14 Ωです。線が原点を通っても、傾きが12 Ωに等しい保証はありません。

点が直線から散らばる場合、表示の読み取り幅などによるばらつきを考えます。一方、計器抵抗による偏りは同じ接続を繰り返しても残ります。両者は区別して評価します。直線の傾きが測定範囲によって変化するなら、温度による抵抗変化や接触状態などを候補に挙げ、条件を点検します。一つの原因と決めつけることはできません。

誤答から接続点へ戻る

図3のように、平衡のとき検流計を通る矢印だけが零になります。左右の枝の矢印は、電源が両端に電位差を保つ限り残ります。

誤答1は「針が零だから回路の電流も零」です。検流計の両端の電位差を電源の両端にも広げてしまっています。図3のA、Bは同電位ですが、PとQは異なる電位です。左枝ではPからQまで電圧が分かれてかかるので、電流はE/(R₁ + R₂)です。基本例題なら2 Aとなり、零ではありません。

誤答2は、非平衡でも検流計を外したときの枝電流をそのまま使用することです。AとBの間に電流が通ると、節点では上から来る電流が下側と検流計に分かれます。両中点の電位を未知数として接点ごとに電流の出入りを書けば、どこで直列の条件が崩れたかがわかります。

誤答3は、V/Iなら必ず未知抵抗そのものだとすることです。アではIに電圧計の電流が含まれ、イではVに電流計の電圧が含まれます。電圧計の端子が囲む範囲と電流計を通る枝を指で追い、商がどの部分の抵抗を表すかを言葉に直します。零点を読んだつもりでも、電源の断線や検流計の故障、感度不足なら平衡と判定できません。回路の通電状態と計器の動作を別に確かめ、判別できない場合は抵抗値を断定しないことが必要です。

練習：条件を変えて読む

次の5問は独立した模型です。いずれも直流の定常状態、理想導線、理想電源、一定の正の抵抗を仮定します。数値は自作です。計算に近似定数は不要で、答えは整数または既約分数で単位を付けてください。

1. Pが16 V、Qが0 Vの橋で、左上3 Ω、左下5 Ω、右上6 Ω、右下X Ωです。中点間の有限な検流計が零となるXと、両中点の電位を求めてください。
2. 検流計を外した橋で、Pが12 V、Qが0 V、左上4 Ω、左下8 Ω、右上6 Ω、右下9 Ωです。中点AとBの電位を求め、両点を有限抵抗の検流計でつなぐ直前の電位から、接続直後の定常電流の向きを答えてください。
3. 対象抵抗30 Ω、電圧計の内部抵抗120 Ω、電流計の内部抵抗3 Ωを用い、27 Vの理想電源に接続します。接続アでは対象と電圧計を並列にして電流計を直列に置きます。接続イでは対象と電流計を直列にして、その両端に電圧計を並列につなぎます。各接続のV/Iを求め、真の抵抗との差の符号を答えてください。
4. ある抵抗と内部抵抗2 Ωの電流計を直列にし、その直列部分の両端電圧Vと電流Iを記録します。模型の値として、I = 1 AでV = 10 V、I = 3 AでV = 30 Vです。Vを縦軸、Iを横軸とした直線の傾きと、対象の抵抗を求めてください。
5. 電源が正の電圧を保つ橋で、検流計が零を示しました。AとBの電位が等しいと判定する前に確認すべき故障または限界を2つ挙げ、それぞれが零表示につながる理由を述べてください。

練習の答えと確かめ

1. 平衡条件から3X = 5・6なのでX = 10 Ωです。左の枝の電流は16/(3 + 5) = 2 A、右は16/(6 + 10) = 1 Aです。中点はそれぞれQより2・5 = 10 V、1・10 = 10 Vです。上側の降下は両枝とも6 Vで、下側の10 Vと合わせると電源の16 Vに戻ります。

2. Aは12・8/(4 + 8) = 8 V、Bは12・9/(6 + 9) = 36/5 Vです。差は4/5 VでAが高いため、検流計をつないだ定常状態の電流はAからBです。実際の大きさは検流計の抵抗に依存します。有限の正の抵抗で両中点をつないでも、元の電位差の向きは逆転しません。たとえば両側の電源を含む回路をそれぞれ正の等価抵抗に置き換えれば、電流は元の電位差を正の抵抗の和で割った値になるからです。元の枝に戻すと左の電流は1 A、右は4/5 Aで、それぞれの上下の電圧降下の和は12 Vです。

3. アでは並列合成抵抗が30・120/(30 + 120) = 24 Ωなので、V/I = 24 Ωです。真の30 Ωとの差は-6 Ωです。電源27 Vでは電流計が1 A、並列部分が24 V、電流計が3 Vとなり、電圧の和は27 Vです。対象と電圧計の電流は4/5 Aと1/5 Aで、和は1 Aに戻ります。イではV/I = 30 + 3 = 33 Ωで、差は+3 Ωです。電流は27/33 = 9/11 A、対象の電圧270/11 Vと電流計の電圧27/11 Vの和は27 Vです。電圧計の電流は電流計を通らない点にも注意します。

4. 傾きは(30 − 10)/(3 − 1) = 10 Ωです。電圧計が対象と電流計の両方を含むため、対象は10 − 2 = 8 Ωです。1 Aなら対象8 Vと電流計2 Vの合計が10 V、3 Aなら24 Vと6 Vの合計が30 Vです。与えられた2点に戻ります。

5. 検流計の内部が断線していれば、両端に電位差があっても電流は流れず零を示し得ます。また検流計の感度や表示の分解能が不足すれば、零でない小電流が零と区別できません。計器の動作と読み取りの限界を確認し、電位差を判別できないときは平衡を断定しません。接続の不良も同じように点検対象です。

覚えておきたい要点

• 平衡では検流計の両端が等電位で、橋の各枝の電流は一般に零ではありません。
• 図1の配置では平衡条件はR₁R₄ = R₂R₃です。
• 平衡を外れると中点で分流するため、節点ごとに電流の出入りをそろえます。
• 電圧計への分流はV/Iを小さくし、電流計の電圧降下はV/Iを大きくします。
• 零表示の意味は、通電状態と計器の動作を確かめてから判断します。

どこで判断がずれたかを見分ける

平衡条件を覚えていても、図の抵抗と式の文字を対応させられなければ、配置を変えた問題で誤ります。個別指導では、まず基準点からAとBまでを指でたどり、各電位を電流と下側抵抗の積で表せるかを確かめます。電流が零の枝と、電位差が零の2点を別々の印で示してもらうと、概念の混同を見つけやすくなります。

次に、電流計の値がどの枝の和か、電圧計の値がどの区間の和かを、式を書く前に説明できるかを見ます。計算後は電流の分岐と電圧降下の和を元の図に戻して確かめます。零という表示も、測定の条件を添えて初めて意味を持ちます。