高校物理 電場内の荷電粒子—エネルギーと運動方程式を使い分けて軌道を求める｜武蔵野個別指導塾

出口の位置だけでは見逃す板への接触を頂点で判定し、荷電粒子の軌道を描きます。

よくあるのは、平行板の間に斜めに入った粒子について、出口での変位を計算して安心する場面です。出口の高さは板の間にあっても、途中でいったん上がった粒子が上の板に触れ、その後に下がる計算になっているかもしれません。実際に板に触れた後は、板に触れる前の運動方程式で出口まで軌道を延ばせません。

電場がした仕事から速さを求める方法と、各方向の運動から位置を求める方法には、それぞれ得意な問いがあります。両方を使い、最初に接触する位置まで含めて検討します。

何を求めるかで道具が変わる

出方の1つは、電位差で粒子を加速し、後の速さを求めるものです。始点と終点の電位と電荷の符号があれば、電場の仕事から運動エネルギーの変化が求まります。途中で速さがどう変わったかを細かく追う必要はありません。

もう1つは、平行板の間の軌道を求めるものです。横方向の速度と縦方向の加速度を分けると、出口までの時間と高さが決まります。さらに斜め入射では、途中の最高点や最低点を調べます。出口の高さが許容範囲でも通過できるとは限らないからです。

3つ目は、板の長さや初速度を変えて通過の境界を探すものです。境界では板に接することがあります。接触を許すかどうかは問題文で決め、ここでは板に触れた粒子は通過できないとします。

力の向きから軌道を作る

図1のように右をxの正方向、上をyの正方向に取ります。上下に水平な板があり、間隔はd、板の長さはLです。電場E（ベクトル）は板の間で一様に下向き、大きさをEとします。正の電荷q、質量mの粒子が左端の高さy₀から速度成分u、wで入り、uは正です。重力や粒子間の力は無視し、粒子の速さは光速に比べ十分小さいものとします。板の端の電場の乱れも無視します。

図1では正電荷に働く電気力が下を向きます。負電荷の場合は電場と逆向きです。電気力の大きさは電荷の絶対値と電場の大きさの積ですが、成分の式では符号つきのqを使います。Eを大きさとすると、正電荷では縦の加速度は -qE/m です。横向きの電気力は零なので、横の速度はuのままです。

時間tを入射時から測れば、板に触れる前の位置は次の通りです。

x = ut
y = y₀ + wt - (qE/2m)t²

この2式のtを消すと、y = y₀ + (w/u)x − (qE/2mu²)x²です。xに対してyは放物線になります。軌道は初速度の向きに接して始まり、その後、正電荷なら下向きに曲がります。負電荷のときは式に符号つき電荷を入れれば曲がり方が逆になります。

電位Vについて、電場が粒子にする仕事はq(V始 − V終)です。電気力以外の仕事を無視すると、運動エネルギーの増加に等しくなります。電位差を進む向きと、粒子にとって加速か減速かを分けて考えます。電位が低くなる向きは正電荷を加速しますが、負電荷は逆です。

板の右端まで到達する時刻はT = L/uです。ただし、その値は接触がないと仮定して計算した時間です。上の板をy = d、下の板をy = 0としたとき、0からTまでの全時刻で0 < y < dが必要です。上下の等号は板への接触を表し、ここでは失敗として扱います。端の時刻に限らず、縦速度が零になる時刻が区間内にあれば、そこでの高さも比較します。

まず水平に入る粒子を追う

基本例題。正電荷q = 2 C、質量m = 4 kgの粒子が、長さ6 m、板間隔8 mの平行板の左端中央から水平右向きに3 m/sで入ります。板の間の電場は下向き1 N/Cです。重力と端効果を無視し、板に触れたら通過失敗とします。出口までの時間と出口の高さを単位付きの整数で求め、通過の可否を答えてください。数値は計算の仕組みを見やすくした自作の模型です。

図2の入口をx = 0とし、下の板をy = 0とします。縦の加速度は下向きなので、符号は負です。

aᵧ = -qE/m = -2・1/4 = -0.5 m/s²
T = L/u = 6/3 = 2 s
y = 4 - 0.25t²
y(T) = 4 - 0.25・2² = 3 m

縦速度は入射後ずっと負で、高さは4 mから3 mまで下がります。途中の高さも0 mと8 mの間なので、板に触れずに通過します。単に出口が3 mと出たことに加え、途中で高さが単調に下がることを確認しました。

出口での縦速度は -1 m/s、横速度は3 m/sです。下向きの力が下向きの変位を生み、電場のした仕事は2 Jです。速さの二乗は9から10に増え、運動エネルギーの増加は4・(10 − 9)/2 = 2 Jです。位置を求めた運動方程式と、仕事によるエネルギー変化が一致します。ただしエネルギーだけでは出口の高さは決まりません。

加速電圧と斜め入射を分ける

標準例題。質量2 kg、電荷 -1 Cの粒子が静止状態から動き、電位が0 Vの点から12 Vの点まで、電気力以外の仕事を受けずに移動します。非相対論の模型として扱います。到達点での速さを根号と単位で表してください。途中に障害物はありません。

電場の仕事 = q(V始 - V終)
= (-1)・(0 - 12) = 12 J
mv²/2 = 12
v = 2√6 m/s

負電荷なので電位が高い方へ移ると電場の仕事は正になります。得られた速さを戻すと、運動エネルギーは2・(2√6)²/2 = 12 Jです。電位差から得た仕事と一致します。電位が逆向きに変わる条件に取り違えると、静止から運動エネルギーが負になるため、その移動は電気力だけでは実現しません。

別解として、一様電場内を電場方向と逆に距離sだけ動く場合なら、電場の大きさをEとし、力の大きさE、加速度E/2を使えます。v² = 2as = Esであり、電位の上昇Es = 12 Vから同じ答えになります。この別解には一様電場と直線方向の条件が必要です。電位差による方法はそれらを前提にしません。

発展例題。長さ8 m、間隔5 mの板の左端で、正電荷1 C、質量1 kgの粒子が下の板から1 mの高さにあります。右向き速度2 m/s、上向き速度4 m/sで入射し、下向き一様電場の大きさは2 N/Cです。重力と端効果を無視し、板に触れたら通過失敗とします。出口に到達するか判定し、最初に上の板に触れる時刻と横位置を根号と単位で求めてください。

板に触れないと仮定したとき、T = 8/2 = 4 s、y = 1 + 4t − t²です。形式的な出口の高さは1 mで、板の間にあります。しかし縦速度は4 − 2tなので、t = 2 sに最高点を持ち、その高さは5 mです。上の板の高さと等しいため、粒子はそこで接触します。横位置はx = 2・2 = 4 mです。接触時刻は2 s、位置は4 mで、右端まで通過しません。

この条件では接触式1 + 4t − t² = 5が(t − 2)² = 0となり、接触点で縦速度も零です。接する場合も失敗とする条件が判定に効きます。最高点が板より上にあるときは、接触式の2つの解のうち区間内で最初の正の時刻を使います。後の解を先に選ぶと、粒子が板の中を通り抜けて戻ったような結果になります。

エネルギーでの別の確かめ方もあります。上の板まで4 m上がると、正電荷に対する電場の仕事は -8 Jです。入射時の縦方向の運動エネルギーは1・4²/2 = 8 Jなので、縦速度はそこで零になります。横方向の速度は変わりません。この照合は接触の高さを裏付けますが、接触時刻や横位置には運動方程式が必要です。

グラフと測定模型で考える

板の位置を縦軸、時間を横軸に取ったy-tグラフでは、上に進んでから下へ戻る粒子の軌道は上に凸の曲線です。入口と出口に対応する時刻の高さが同じでも、曲線の途中が上の板の水平線に触れることがあります。グラフの傾きは縦速度を表し、頂点では傾きが零です。頂点が時間範囲の外なら、範囲内の端点を比べます。

x-yグラフでは横速度が一定で正なので、時間の順序とxの増加の順序が一致します。板の右端より先に描いた曲線は板の間の運動を表さず、接触後に延ばした曲線も予測には使えません。図の形だけでなく、軸の量と調べる区間を先に記します。

測定の考え方を模型で考えます。学校の指導の下で安全に扱える教材を用い、板の配置と入射条件を一定に保ち、条件を変えたときの位置を比較します。測定値をここに実測として置くのではなく、たとえば位置の読み取り幅を考えます。板の端で電場が乱れる場合や入射速度に広がりがある場合、理想式の放物線からずれます。目盛りの幅に比べ差が小さいとき、1回の読みだけで理論との一致や不一致を決められません。同じ条件の繰り返しと位置の読み取りの不確かさを併記し、端の影響を含む装置と理想模型を区別します。

間違いを見つける場所

図3のように、入射位置と出口の高さを結んだだけの判断には穴があります。途中の最高点が上の板に達する場合を別に調べます。

誤答は「出口が板の間だから通過する」です。理由は、出口の値が経路の全体を表していないことです。修正するときは縦速度が零になる時刻を出し、その時刻が入口から出口までに含まれるか確認します。含まれるなら、端点と頂点の高さを板の高さと比較します。

別の誤答は、負電荷でも電場と同じ向きに加速するとするものです。電気力はqE（ベクトル）なので、負のqは電場と逆向きの力を表します。電場の矢印と力の矢印を別に描き、符号を式に移すと直せます。電位差を用いるときも、電荷の符号を落とさずq(V始 − V終)に代入します。

さらに、初速度全体を横速度としてT = L/vとする誤りがあります。斜め入射では板の長さを進める成分はuです。初速度の大きさと角度が与えられたとき、水平成分を求めてから時間を出します。uが零以下なら右端へ向かう前提が崩れるため、この式をそのまま使えません。

自分で試す5問

以下では粒子間の力、重力、端効果を無視し、速さは非相対論の範囲とします。板に触れた場合は通過失敗とし、指定された形で答えてください。各数値は練習用の模型です。

1. 静止した質量3 kg、電荷2 Cの粒子が電位9 Vから3 Vへ移ります。電気力以外の仕事はありません。速さを根号と単位で求めてください。
2. 下向きの一様電場3 N/C中に、質量2 kg、電荷 -4 Cの粒子があります。縦上向きを正とし、加速度の符号と大きさを整数と単位で求めてください。
3. 水平な板の長さ10 m、間隔10 mです。正電荷1 C、質量2 kgの粒子が下の板から6 mの高さに水平右向き5 m/sで入り、電場は下向き2 N/Cです。出口の高さを整数と単位で求め、通過を判定してください。
4. 長さ12 m、間隔7 mの板に、正電荷1 C、質量1 kgの粒子が下の板から2 mの高さに右向き3 m/s、上向き4 m/sで入ります。電場は下向き2 N/Cです。通過を判定し、接触するなら最初の時刻を根号と単位で求めてください。
5. 板間隔12 mの装置で、正電荷1 C、質量1 kgの粒子が高さ2 mから右向き2 m/s、上向き2 m/sで入り、下向き電場は2 N/Cです。板の長さは4 mです。板の間にいる間の最高点の高さとその横位置を整数と単位で求め、通過を判定してください。

答えと確認

1. 電場の仕事は2・(9 − 3) = 12 Jです。3v²/2 = 12からv² = 8、速さは2√2 m/sです。根号を含む正確な値で表しました。速度を戻すと運動エネルギーは12 Jで、電場の仕事と合います。
2. 電場の成分は -3 N/Cです。力の成分は(-4)・(-3) = 12 N、加速度は正の6 m/s²です。負電荷なので電場と逆の上向きになり、符号と向きが一致します。
3. 加速度は -1 m/s²、仮の通過時間は10/5 = 2 sです。高さは6 − t²/2なので出口では4 mです。高さは6 mから4 mまで単調に減り、両板に触れず通過します。横に5・2 = 10 m進むことも元の板の長さと一致します。
4. 加速度は -2 m/s²、y = 2 + 4t − t²です。最高点はt = 2 s、高さ6 mで上の板に届きません。下の板に関してy = 0を解くとt = 2 + √6 sが正の解ですが、右端までの時間4 sより後です。したがって4 sの出口で高さ2 m、途中も板に触れず通過します。接触時刻を出す必要はありません。
5. y = 2 + 2t − t²、仮の通過時間は4/2 = 2 sです。頂点はt = 1 sで、高さ3 m、横位置2 mです。両端の高さは2 mなので、全区間で2 m以上3 m以下となり、上下の板に触れず通過します。頂点の縦速度2 − 2・1は零で、最高点の条件にも合います。

要点

電位差は電場の仕事と速さの変化を結びます。 位置と時刻は方向別の運動方程式から求めます。 斜め入射では出口だけでなく、区間内の頂点も調べます。 接触後に、接触前の式をそのまま延ばせません。

つまずきを見分ける

解き始めに、電場、電気力、初速度の矢印を別々に描けるかを見ます。力の向きが正しくても、加速度の符号を座標と対応させられなければ位置の式は逆向きになります。速度の大きさから水平成分を選ぶところも、図と式を往復して確かめます。

個別指導では、途中に頂点がある場合とない場合を並べ、どの時刻の高さを比較したかを説明してもらいます。出口の数字が合っていても、板への接触を先に判定できているかが別の確認点です。軌道の答えは、粒子が実際に進める区間までで決まります。