高校物理 合成電場の零点—電荷の間と外側で向きを分けて解の位置を選ぶ｜武蔵野個別指導塾

不等量の点電荷を並べ、向きと距離の比から探すのが合成電場の零点です。

よくあるのは、2つの電荷の中点に電場を描き、打ち消されないとわかったところで手を止める場面です。中点で零にならなくても、電荷からの距離が違う場所では強い電荷の影響を弱められます。探す場所を移す前に、それぞれの電場の向きが反対になる領域を調べましょう。

どこを探す問題か

合成電場の零点を問う問題には、同符号の電荷の間を探す型、異符号の電荷の外側を探す型、電荷の大きさや位置を逆に決める型があります。共通する判断は、電場の大きさが等しいかどうかより先に、2本の矢印が反対を向くかどうかです。同じ方向の矢印は、長さが等しくても零になりません。

座標を使うと、二乗を含む方程式から複数の候補が出ることがあります。そのすべてが物理的な答えとは限りません。候補が最初に定めた領域にあるか、電荷の位置そのものではないか、元の電場の向きと大きさに戻して確認します。求めるのは置いた電荷に働く力そのものではなく、他の電荷がその場所につくる電場です。

ここでは固定された2つの点電荷を結ぶ直線上を扱います。電荷の大きさは零でなく、媒質は真空とし、他の電荷や外部電場は無視します。点電荷の位置では点電荷の式が発散するため、そこを零点の候補に含めません。学習範囲は高校の物理における電気と電流のうち、静電場に対応します。

矢印と距離の比を作る

電場 E はベクトルで、正の小さな試験電荷が受ける力をその電荷で割った量です。試験電荷は場を変えないほど小さいと考えます。正電荷がつくる電場は電荷から離れる向き、負電荷がつくる電場は電荷へ向かう向きです。負の試験電荷に働く力は電場と逆向きですが、電場の向きの定義は変わりません。

点電荷 q から距離 r の位置で、電場の大きさは k|q|/r² です。k は正の比例定数で、距離が2倍なら大きさは1/4になります。重ね合わせの原理により、それぞれの電荷が単独でつくる電場をベクトルとして足します。直線上では右を正とすれば、右向きの大きさを正、左向きの大きさを負として加えられます。

図1のように、同符号なら電荷の間で向きが反対です。外側では両方が同じ向きなので打ち消せません。異符号なら間では正から負へ向かう同じ向きになり、外側で反対になります。図1の両端の矢印は零点を保証する印ではなく、向きが反対になる領域の印です。

向きが反対の領域で、電荷の絶対値を A、B、距離をそれぞれ r₁、r₂ とすると、零点の条件は kA/r₁² = kB/r₂² です。k を消し、正の距離の比を取れば r₁/r₂ = √A/√B となります。電荷が大きい方からは、より遠い位置でつり合います。距離の二乗が効くため、電荷の比をそのまま距離の比にしてはいけません。

この関係は、電荷の間では距離の和が電荷間隔に等しいこと、外側では距離の差が間隔に等しいことと組み合わせます。正の平方根を使うのは距離が正だからです。代数式を二乗する方法でも解けますが、符号の情報が消えるので領域への照合が欠かせません。

基本例題：同符号の間

真空中の直線上で、左の点 A に +Q、右の点 B に +4Q を固定します。Q は正で、AB の長さは 0.90 m です。電荷以外の位置で直線上の合成電場が零になる点を求め、A から右向きの距離を m 単位で有効数字2桁で答えてください。両電荷以外の電場は無視します。比例定数 k は両方に共通なので数値は不要です。

図2のように、間では A による電場が右向き、B による電場が左向きです。外側は同方向なので候補から外します。A からの距離を x m とすると、B からの距離は (0.90 − x) m で、条件は 0 < x < 0.90 です。

kQ/x² = 4kQ/(0.90 - x)²
(0.90 - x)/x = 2
0.90 - x = 2x
x = 0.30 m

答えは A から右へ 0.30 m です。B からは 0.60 m で、電荷の大きさが4倍の側までの距離は2倍です。元の場面に戻すと、両方の電場の大きさは kQ/0.09 で向きは反対です。電荷間隔も 0.30 + 0.60 = 0.90 m に戻ります。

別解では距離の比を先に 1:2 とします。間隔を3等分し、A 側から1つ分が求める距離です。比を使う方法は短く、式を使う方法は座標の条件を明示しやすいという違いがあります。いずれも先に外側を除くことで、式に出てくる不要な候補を答えと取り違えずに済みます。

外側に出る場合と条件の逆算

標準例題：異符号の外側

真空中の直線上に、左の C に +Q、右の D に -9Q を固定します。Q は正、CD は 0.80 m です。他の電場を無視し、直線上の合成電場の零点を C からの距離と方向で、有効数字2桁の m 単位で答えてください。

間では両方が右向きです。外側では向きが反対ですが、D の右側では -9Q までの距離が +Q までより短く、電荷の絶対値も大きいため、その電場が必ず強くなります。したがって C の左側を調べます。C から左へ x m とすると、D からの距離は x + 0.80 m です。

kQ/x² = 9kQ/(x + 0.80)²
x + 0.80 = 3x
x = 0.40 m

C の左へ 0.40 m が答えです。D からの距離は 1.20 m で、距離の比は 1:3 です。元の場面に戻すと、電場の大きさはそれぞれ kQ/0.16 と 9kQ/1.44 で等しく、向きは左と右です。2つの距離の差も 0.80 m に一致します。

別解として右を正にして各電場の符号を含めることもできます。ただし C の左と D の右では距離の表し方が違います。絶対値を外す前に領域を決めれば、同じ式を全域に無理に適用せずに済みます。なお絶対値の等しい異符号の2電荷では、有限の外側で両電荷からの距離を等しくできません。間も同方向なので、直線上に有限の零点はありません。

発展例題：零点から電荷を決める

真空中で、左の点 P の電荷を +q、右の点 R の電荷を正の未知量とします。PR は 1.20 m で、P と R の間にある点 S は P から 0.40 m です。S で合成電場が零になるとき、R の電荷を q の何倍か、整数で答えてください。q は正、外部電場は無視します。

S から R までの距離は 0.80 m です。正電荷による電場は互いに反対を向きます。R の電荷を aq と置くと、

kq/(0.40)² = kaq/(0.80)²
a = (0.80/0.40)² = 4

答えは +4q、すなわち4倍です。S に戻すと距離が2倍の R 側は電荷が4倍なので、電場の大きさは P 側と一致します。距離の和も 1.20 m です。もし R が負電荷なら S の両電場は同じ向きになるため、どんな非零の大きさを選んでも S は零点になりません。大きさの計算ができることと、向きの条件を満たすことは別です。

測定を考えるときの限界

零点の位置を実験で調べる設計では、固定した帯電体の位置と、測る場所を同じ直線上で記録し、位置を少しずつ変えて電場の向きと大きさを調べることを考えます。実施する場合は学校の指導の下で、安全な装置と測定範囲を選びます。測定器自体が電場を乱すことや、帯電体が点ではなく大きさを持つこと、周囲の物体による影響に注意が必要です。電荷が時間とともに減れば、測定前後で条件が変わります。

位置を横軸、右向きを正とする電場の成分を縦軸に取れば、零点はグラフが横軸と交わる位置です。電荷の位置では点電荷の式を使えないので、そこを挟んで線をつないではいけません。測定値が零に近くても、測定の分解能の範囲でしか位置を決められません。反対向きの値を示す近い2点を探し、その間隔を狭めると位置の不確かさを小さくできますが、外部電場が残れば理想模型の位置とずれる可能性があります。

誤答を矢印に戻す

図3のように、正と負の電荷の間で両方の電場が右向きなのに、大きさが等しいから零だとする誤答があります。原因は、電場を数値だけで扱い、向きを足していないことです。修正すると、等しい2本の右向きの電場は2倍の右向きになります。大きさの等式は、向きが反対と確認した後で使います。

別の誤りは、電荷が4倍だから距離も4倍とすることです。距離が4倍なら電場は距離の二乗によって1/16になり、電荷が4倍でも元の1/4です。距離は2倍とすれば、4倍の電荷と距離の二乗の4倍が打ち消し合います。

また、方程式を二乗して得た候補を領域に戻さず採用する間違いもあります。外側を探す式に間の点が出れば、距離の式か平方根の符号を取り違えています。零点で電場が零という事実から、電位も零と結論することはできません。電場は向きを含む和であり、電位は基準を定めた上で符号を含めて足す量だからです。

練習：先に領域を決める

いずれも真空中で点電荷を固定し、他の電場を無視します。電荷の位置を除く直線上を考え、距離は m 単位で指定の形にしてください。各文字で表す電荷の大きさは正です。数値は練習用に設定したものです。

1. 左の U に +a、右の W に +9a があり、間隔は 2.4 m です。零点の U からの距離と方向を、有効数字2桁で求めてください。
2. 左の G に -16b、右の H に -b があり、間隔は 1.5 m です。零点の H からの距離と方向を、有効数字2桁で求めてください。
3. 左の J に -4c、右の K に +c があり、間隔は 0.75 m です。零点の K からの距離と方向を、有効数字2桁で求めてください。
4. 左の L に +d、右の M に -d があり、間隔は 0.50 m です。有限の直線上に零点があるか答え、理由を述べてください。
5. 左の N に +e、右の T に正の未知電荷があります。間隔は 2.0 m、零点は N から右へ 1.5 m です。T の電荷を e の何倍か、分数で求めてください。

答えと途中の確認

1. 間で逆向き、外側で同方向です。U と W からの距離の比は 1:3 なので、U から右へ 2.4/4 = 0.60 m です。W からは 1.8 m で、和は 2.4 m、電場の大きさは ka/(0.60)² と 9ka/(1.8)² で等しくなります。
2. 間で逆向きです。G と H からの距離の比は 4:1 なので、H から左へ 1.5/5 = 0.30 m です。G からは 1.2 m で、16kb/(1.2)² と kb/(0.30)² は等しく、距離の和も 1.5 m です。
3. 間は同方向です。J の左では大きい電荷に近いため零にならず、K の右を調べます。K から右へ x m とすると、J からは x + 0.75 m、距離比は 2:1 です。x + 0.75 = 2x より x = 0.75 m。J まで 1.5 m、K まで 0.75 m なので、4kc/(1.5)² と kc/(0.75)² が一致し、向きも反対です。
4. 有限の零点はありません。間では同方向、外側では逆方向ですが、等しい大きさの電荷から等しい距離にある必要があります。外側の2距離には常に 0.50 m の差があるため、その条件を満たしません。
5. N からの距離は 1.5 m、T からは 0.50 m です。T の電荷を fe とすると ke/(1.5)² = kfe/(0.50)² より f = (0.50/1.5)² = 1/9 です。距離の和は 2.0 m で、T 側の電荷を e/9 と戻せば両電場の大きさが等しく、向きも反対です。

手元に残すこと

• 電荷の位置で直線を分け、各領域に電場の矢印を描きます。
• 同符号は間、異符号は外側で向きが反対です。
• 大きさの等式から距離の比を出し、和または差で位置を決めます。
• 求めた点を元の配置に戻し、向き、距離、電場の大きさを確かめます。

つまずきの見分け方

途中式だけが合っていても、矢印が描けなければ別の符号の組合せで迷います。まず正電荷と負電荷のそれぞれについて、電荷の左右に電場を描き、その後で2本を重ねてみましょう。中点で零でないと答えた場合は、距離を変えると2つの大きさがどう変わるかを言葉で説明できるか確認します。

個別指導では、領域ごとの矢印、距離の式、候補の代入を順に見ます。例えば外側の距離を和で書けないときは、座標計算を増やす前に電荷間隔と点までの線分を図に書き込みます。式が解けても領域を外れていれば、解の位置に戻って向きを描き直します。電場の零点は、数式と配置の両方が一致する場所です。