高校物理 閉管の気柱振動—開口端と閉端の条件から奇数次の共鳴を選ぶ｜武蔵野個別指導塾

片端が閉じた管で二番目の共鳴が三倍になる理由を、節と腹の並びからたどる閉管の気柱振動。

よくあるのは、片端を閉じた管の二番目の共鳴を、基本振動の2倍として計算する場面です。振動数の小さい順に1番目、2番目と並べると、番号と振動数の倍率も同じに見えます。しかし管の両端では空気の動き方が違います。閉じた壁では空気は壁を突き抜けられず、開口部では動きやすいからです。この両方の条件を満たす波形を並べると、二番目の振動数は基本の3倍になります。番号を掛ける前に、管内に波長の何分のいくつが入るかを図で確かめましょう。

どの量を数えるか

問題には、管長と音速から共鳴振動数を求める型、観測された共鳴の順番から管長を求める型、ある振動数が共鳴するか判定する型があります。いずれも、まず管が片端閉管であることと、管長が有効な気柱長として与えられていることを確認します。実際の開口部付近では空気の運動が管外にも及びますが、以下では開口端が変位の腹となる理想化を使い、補正を無視します。

目標は、式に数値を入れる前に閉端から開口端までの節と腹を描けることです。さらに、振動数の順番を表す番号と、基本振動数に対する倍率を区別します。偶数倍がないという結論は、この理想的な端の条件と同じ音速を使う場合の結論です。管の条件を変えたり、別の共鳴を混ぜたりした観測値に、そのまま当てはめることはできません。

閉端から四分の一波長ずつ進む

空気の各部分が平衡位置から管の方向にどれだけ動くかを変位と呼びます。定常波の変位の節は常に変位が0の位置、腹は振幅が局所的に最大の位置です。閉端の壁は空気の通過を妨げるので変位の節です。理想的な開口端では周囲と圧力がほぼ等しく保たれ、圧力変動が節、変位は腹になります。閉端では逆に変位が節、圧力変動が腹です。圧力の節と変位の節は同じ場所ではありません。

図1のように、閉端を左、開口端を右に置きます。太い曲線は振幅の分布を表す模式図で、空気の粒子が管に垂直に動くことを意味しません。縦方向へのふくらみは変位の大きさを見やすく示しています。左右対称の2本は振幅の上限と下限であり、同時に2本の波が存在するという意味ではありません。

定常波では隣り合う節と腹の間隔は波長 λ の4分の1です。例えば逆向きに進む同じ振幅の波を重ねると、閉端から距離 x の変位は、位置に依存する sin(2πx/λ) と時刻に依存する振動の積として表せます。π は半周に当たる角を表し、角はラジアンです。x = 0 では位置の因子が0、x = λ/4 では1です。その先も λ/4 進むごとに節、腹と交互になります。この関係は振動の時刻が変わっても節の位置が変わらないことも示します。

閉端から最初の腹までの距離は λ/4、次の腹までは 3λ/4、その次は 5λ/4 です。一般に、振動数の小さい順に n = 1, 2, 3, … と番号を付けると、管長 L は L = (2n − 1)λ/4 です。n は腹の位置を数えるための正の整数で、基本振動数に掛ける倍率そのものではありません。波長は λ = 4L/(2n − 1)、音速を v とすると v = fλ なので、共鳴振動数は fₙ = (2n − 1)v/(4L) です。

したがって振動数の列は v/(4L)、3v/(4L)、5v/(4L)、… です。基本を第1次と呼べば、許されるのは第1次、第3次、第5次、… です。二番目の共鳴は第3次で、基本より上にある最初の倍音という意味では第1倍音とも呼びます。呼び方には文脈の違いがあるため、答案では「二番目、基本の3倍」と倍率を添えると誤読を避けられます。

隣り合う共鳴振動数の差は v/(2L) で一定です。一方、波長は 4L、4L/3、4L/5 と並び、その差は一定ではありません。振動数の等間隔を波長の等間隔と取り違えないことも重要です。また、開端で圧力が変化しないという理想条件は、音が外にまったく出ないという意味ではありません。外部とやり取りする実際の管の共鳴を、端の位置を決めた単純なモデルで近似しています。

基本例題：長さから最初の3つを求める

有効な気柱長が 0.85 m の片端閉管があります。音速を 340 m/s とし、開口端補正を無視します。振動数の低い順に最初の3つの共鳴振動数を、単位 Hz の整数で求めてください。また、それぞれの管内の波長を分数または小数で m 単位に表してください。

図2のように閉端から始め、管内に入る四分の一波長の個数を1、3、5と数えます。図の曲線は各モードが最大変位に達した瞬間の波形の模式図で、異なるモードを同時に描いた波形ではありません。

1番目は L = λ₁/4 なので、λ₁ = 4・0.85 = 3.4 m です。 f₁ = 340/3.4 = 100 Hz です。 2番目は L = 3λ₂/4 なので、λ₂ = 3.4/3 m です。 f₂ = 340/(3.4/3) = 300 Hz です。 3番目は L = 5λ₃/4 なので、λ₃ = 3.4/5 = 0.68 m です。 f₃ = 340/0.68 = 500 Hz です。

答えを管へ戻すと、3λ₂/4 = 0.85 m、5λ₃/4 = 0.85 m となり、いずれも閉端の節から開端の腹まで届きます。振動数と波長の積もそれぞれ 340 m/s です。別解として、基本振動数 100 Hz に奇数 1、3、5 を掛けても同じ答えが出ます。ただし最初から2倍、3倍とする別解は端の条件に合いません。

標準例題：共鳴の間隔から長さを逆算する

ある理想的な片端閉管で、隣り合う2つの共鳴振動数が 450 Hz と 750 Hz でした。音速は 300 m/s とし、開口端補正を無視します。有効な管長を m 単位の小数で求め、2つが低い方から何番目かを答えてください。途中では丸めません。

隣り合う共鳴の差は 750 − 450 = 300 Hz です。したがって v/(2L) = 300 Hz より、L = 300/(2・300) = 0.50 m です。基本振動数は v/(4L) = 300/(4・0.50) = 150 Hz です。450 Hz はその3倍、750 Hz は5倍ですから、それぞれ2番目と3番目です。

別の考え方では、隣り合う奇数倍の差が基本の2倍であることを使います。差の半分が 150 Hz なので、その基本波長は 300/150 = 2.0 m、管長はその4分の1の 0.50 m です。得られた管長に戻すと、450 Hz の波長は 2/3 m で 3λ/4 = 0.50 m、750 Hz の波長は 0.40 m で 5λ/4 = 0.50 m です。両方で端の条件が一致します。

ただし、観測された2つが隣り合うという条件が欠けると、この逆算は一意ではありません。途中の共鳴を見落とした可能性が残るからです。差を単純に隣接間隔とする前に、観測の範囲と見落としの可能性を確認します。

発展例題：候補を整数条件で絞る

音速 320 m/s の空気を含む理想的な片端閉管があり、有効な管長 L は 0.60 m 以上 1.00 m 以下です。400 Hz の音で共鳴するとき、可能な L をすべて m 単位の小数で求めてください。開口端補正は無視します。

波長は λ = 320/400 = 0.80 m です。管長は奇数個の四分の一波長なので、L = (2n − 1)・0.20 m です。範囲に入る候補を調べると、奇数が3のとき 0.60 m、5のとき 1.00 m です。1では 0.20 m、7では 1.40 m となり範囲外です。両端の等号を含むので、答えは 0.60 m と 1.00 m の2つです。

0.60 m の管では 3λ/4、1.00 m の管では 5λ/4 が収まり、どちらも右端は腹です。波長を先に出す方法では、同じ振動数に対して異なるモードが存在しうることが見えます。振動数の式から L = (2n − 1)320/(4・400) としても同じ候補になりますが、n を1に固定してはいけません。基本振動であるという条件は与えられていないからです。

二倍とした答案を直す

図3のように、二番目の共鳴を基本の2倍とすると、同じ音速では波長が基本の半分になります。基本で L = λ₁/4 なので、その波長を λ と書けば L = λ/2 です。閉端から半波長進んだ位置は次の節であり、開口端の腹と矛盾します。

誤答の原因は、振動数順の「2番目」を倍率の2と混同した点です。修正するときは、閉端に節を置き、λ/4 ごとに腹、節、腹と記します。二番目に開口端へ置ける腹は 3λ/4 の位置なので、基本の3倍です。図3の右端で必要な条件と実際の節を比べると、式の誤りを端の条件まで戻して説明できます。

別の誤りは、圧力の腹を変位の腹と呼ぶことです。閉端では変位が0でも、圧力の変化まで0とは限りません。問題が何を測っているかを明示し、変位について描いた図に圧力のラベルを混ぜないようにします。また、隣り合う共鳴の差を基本振動数そのものとする誤りもあります。奇数倍の差は2なので、差は基本の2倍です。

観測値とグラフをどう読むか

学校の指導の下で共鳴を調べるなら、同じ管長と同じ空気の状態を保ち、音の振動数を少しずつ変えて応答の大きい位置を記録する設計が考えられます。耳で大きさを判定する場合は周囲の音や聞く位置が影響します。センサーを使う場合も、変位を測っているのか圧力変動を測っているのかを区別します。ピークの幅があるときは一点を厳密な共鳴値と断定せず、測定の刻みや繰り返しによるばらつきを記録します。

横軸を振動数、縦軸を応答の大きさとするグラフでは、ピークの横座標から共鳴振動数を読みます。ピークの高さは振動数の倍率そのものではありません。低い振動数側のピークが検出されなければ、見つかった最初のピークが基本とは限りません。複数の間隔を照合し、整数倍の候補を比較します。

横軸を順番 n、縦軸を共鳴振動数 fₙ にした理想モデルのグラフは、傾き v/(2L) の直線上に点が並びます。ただし n は1以上の整数なので、その間の直線は傾きを読む補助です。外挿して得られる切片を実在する0番目の共鳴と解釈してはいけません。管長の読み取り、温度に伴う音速の変化、開口端補正の無視は、予測値と観測値がずれる理由になります。個々の誤差の大きさは測定条件なしに決められません。

練習：条件と答えの形を確認する

次の各問では理想的な片端閉管とし、開口端補正を無視します。途中で丸めず、指定された形で答えてください。

1. 有効長 0.75 m、音速 330 m/s の管について、基本振動数を Hz 単位の整数で求めてください。
2. 有効長 0.40 m、音速 320 m/s の管について、低い方から4番目の共鳴振動数を Hz 単位の整数で求めてください。
3. 有効長 0.60 m、音速 360 m/s の管に 600 Hz の音を与えます。共鳴するか判定し、するなら低い方から何番目か答えてください。
4. 音速 340 m/s の管で、隣り合う共鳴が 255 Hz と 425 Hz でした。有効長を m 単位の小数で求め、両者の順番を答えてください。
5. 音速 300 m/s の管が 250 Hz で共鳴します。有効長が 0.80 m 以上 1.60 m 以下のとき、可能な長さをすべて m 単位の小数で求めてください。

解答と確かめ

1. 基本波長は 4・0.75 = 3.0 m です。振動数は 330/3.0 = 110 Hz です。波長の4分の1は 0.75 m で、両端の条件に戻ります。
2. 4番目は基本の7倍です。基本は 320/(4・0.40) = 200 Hz なので 1400 Hz です。波長は 320/1400 = 8/35 m、7λ/4 = 0.40 m と確かめられます。
3. 波長は 360/600 = 0.60 m です。管長は波長の1倍、すなわち四分の一波長の4個分です。偶数個では開口端が節になるため共鳴しません。基本は 150 Hz で、600 Hz がその4倍であることからも同じ判定です。
4. 差は 170 Hz です。170 = 340/(2L) より L = 1.0 m です。基本は 85 Hz なので、255 Hz は3倍の2番目、425 Hz は5倍の3番目です。各波長 4/3 m、0.8 m を戻すと 3λ/4 と 5λ/4 はともに 1.0 m です。
5. 波長は 300/250 = 1.2 m、四分の一波長は 0.30 m です。範囲内の奇数倍は3倍の 0.90 m と5倍の 1.50 m です。1倍の 0.30 m と7倍の 2.10 m は範囲外です。2候補はそれぞれ 3λ/4、5λ/4 なので閉端が節、開口端が腹となります。

手元に残す要点

閉端は変位の節、理想的な開口端は変位の腹です。 節から腹までの最短距離は波長の4分の1です。 共鳴振動数は基本の1、3、5、… 倍です。 二番目の共鳴は基本の3倍で、隣接する振動数の差は基本の2倍です。

つまずきを見分ける

式が立たないときは、まず閉端と開口端に変位の節と腹を書き、二番目の共鳴まで四分の一波長を順に数えてみます。端の名前は合っていても、2番目を2倍とした場合は、数えた順番と倍率を別の欄に書くと原因が見えます。圧力の測定値から考える問題なら、変位と圧力のどちらの節を指すかを言葉にしてから図に戻します。

個別指導で確認する場合も、答えの数値だけでなく、L = 3λ/4 と書いた理由を図の節と腹に結び付けて説明できるかを確かめます。長さの逆算では、得た波長を管に戻し、開口端が腹に当たるかを点検します。共鳴の順番は、両端の条件を満たす波形から決まります。