高校物理 二つの波源の干渉—経路差と初期位相差を分けて強弱の条件を立てる｜武蔵野個別指導塾

同位相と逆位相の波源を線分上や離れた位置で比べ、候補の数までたどる二波源干渉。

よくあるのは、高校生が逆位相の波源にも同位相用の経路差条件を使い、2つの波源から等距離の点を強め合う点にしてしまう場面です。たしかに等距離なら伝わる時間は同じです。しかし、出発時点で一方が山、他方が谷なら、同じだけ遅れて届いても山と谷の組合せは変わりません。波源の振動のずれと、道のりの違いで生じるずれを別々に追ってみましょう。

何を比べる問題か

2つの波源から届く波の強弱を調べる問題には、距離を与えてその点の様子を判定する型と、強め合う点の位置や個数を求める型があります。さらに、強弱の位置が動いたとき、波長や波源の位相を考える型もあります。どの型でも、まず波源の初期位相を読み、次に観測点までの経路差を求めます。最後に、得られた条件を配置に戻すところまでが答えです。

ここで扱うのは、同じ媒質を同じ速さで進む、同じ振動数の2つの正弦波です。両方の波が観測点に届いた後を考えます。波源の振動は時間に対して安定し、位相差が一定であるとします。反射による別の波は無視し、光の媒質ごとの光路差や反射による位相反転は扱いません。実際にどれくらい大きく振れるかまで言うときは、観測点での2つの振幅にも注意します。

到達点は、同位相と逆位相の条件を丸暗記することではありません。式を選ぶ前に「出発時にそろっているか」と「一方が何波長余分に進むか」を別々に書けば、初期位相を取り違えた答案も途中から修正できます。等距離での状態から、距離差を半波長ずつ増やしたときの変化を説明し、距離差として実現できない値を除けるようになることです。

出発のずれと道のりのずれ

図1のように、波源を A、B、観測点を P とし、距離をそれぞれ rA、rB と書きます。同じ速さ v で伝わるなら、道のり r を進むのにかかる時間は r/v です。周期 T の間に波が進む距離が波長 λ なので、v = λ/T です。距離差が λ なら到着時刻の差は T、すなわち1周期分です。距離差が λ/2 なら半周期分のずれになります。

図1では2本の道のりの長さを別々に測ります。経路差 Δ は Δ = |rB − rA| とし、絶対値で負にならないようにします。どちらから先に届いたかまで調べる場合には符号つきの差が必要ですが、同位相と逆位相の強弱の判定では絶対値で足ります。実際、1周期や半周期の整数倍という条件は、位相差の符号を逆にしても変わりません。

もう少し式で見てみます。時刻 t = 0 に A の振動の位相を 0 とし、A、B の波源の変位をそれぞれ a sin(2πt/T)、a sin(2πt/T + φ) とします。π は円周率、角を表す 2π は1周分です。φ = 0 が同位相、φ = π が逆位相です。P での振幅も等しく a で、伝わる途中に追加の位相変化がない理想化をします。すると P に届く2つの波は、それぞれ次の形です。

A からの変位 = a sin(2πt/T − 2πrA/λ)

B からの変位 = a sin(2πt/T + φ − 2πrB/λ)

距離によって位相が減るのは、観測点で今見ている振動が、波源からそれだけ前に出た振動だからです。B の位相から A の位相を引けば、到着時の位相差は φ − 2π(rB − rA)/λ です。出発の差 φ と伝わる間の差を別々に書くことで、どちらを足したかが見えます。

到着位相が一致すれば山と山、谷と谷が重なります。等振幅なら合成振幅は 2a です。到着位相が半周期ずれれば山と谷が重なり、等振幅なら合成変位は常に 0 です。これをそれぞれ強め合い、弱め合いと呼びます。位相差がその中間なら合成振幅も中間となり、強め合いか完全な打ち消しかの二択ではありません。

整数 m を使って、距離差が負でない条件を整理します。

• 同位相の波源: 強め合いは Δ = mλ、弱め合いは Δ = (m + 1/2)λ。
• 逆位相の波源: 強め合いは Δ = (m + 1/2)λ、弱め合いは Δ = mλ。

ここで m は 0 以上の整数です。逆位相なら Δ = 0 で弱め合い、道のりに λ/2 の差ができると、出発時の半周期のずれがもう半周期分だけ変わり、到着時には1周期分のずれになります。そこから距離差をさらに λ ずつ増やしても、到着位相は再び一致します。

別の確かめ方として、到着した2つの位相の平均を θ、位相差を δ と置きます。加法定理から sin(θ − δ/2) + sin(θ + δ/2) = 2 sin(θ) cos(δ/2) です。したがって合成振幅は 2a・|cos(δ/2)| です。δ が 2π の整数倍なら 2a、π の奇数倍なら 0 となり、上の条件と一致します。この式は等振幅の場合の確認で、距離差を出す前に配置を無視してよいという意味ではありません。

波源の「同位相」は、2つの場所で同時刻に振動を比べたとき、山と山、谷と谷が対応することです。「逆位相」では、一方が最大の正の変位にあるとき、もう一方は最大の負の変位にあります。どちらも同じ振動数という前提があって、出発時の位相差が時間とともに変わりません。時刻を1つ選んだときにたまたま同じ変位だったというだけでは、同位相とは決められません。振動の向きまで見れば、同じ変位を通過していても位相が異なる場合を区別できます。

また、2つの波は重なった場所で消えてなくなるわけではありません。観測される変位が各波の変位の和として求まります。弱め合う位置では、その位置の和が小さくなるのであって、両方の波源の振動が止まるという意味ではありません。観測点を変えると各波の道のりが変わるため、別の位置では強め合うことがあります。波の重ね合わせと波源の状態を分けて読むと、弱い点の両側に強い点が現れる理由も追えます。

距離によって振幅が異なる場合、到着位相が同じなら振幅の和、逆なら振幅の差の絶対値が合成振幅です。逆位相でも振幅が等しくなければ完全には消えません。例えば到着振幅が 3 と 2 の同じ単位なら、逆位相での合成振幅は 1 です。強弱の位置の判定と、振幅がちょうど 0 になる条件を区別しましょう。

基本例題: 線分上の位置を選ぶ

一直線上で A を x = 0 cm、B を x = 12 cm に置き、右向きを x の正方向とします。2つの波源は逆位相で振動し、波長は 4 cm です。A と B の間の波がすでに届いた領域を考え、反射は無視します。強め合う点の x 座標を、cm 単位で小さい順にすべて求めてください。距離は正確な値とし、丸めは不要です。

図2の線分上では、P の座標を x cm とすると、A からの距離は x cm、B からの距離は (12 − x) cm です。対象は 0 ≤ x ≤ 12 ですから、経路差は次のようになります。

Δ = |(12 − x) − x| = |12 − 2x| cm

逆位相の強め合いなので、Δ は波長の半整数倍です。λ = 4 cm を代入すれば、候補は 2 cm、6 cm、10 cm、14 cm、……となります。一方、図2の線分上では Δ は中央の 0 cm から端の 12 cm までしか取りません。したがって 14 cm 以上は配置に合いません。

それぞれについて、絶対値を外した2つの式を解きます。

Δ = 2 cm のとき、12 − 2x = 2 または -2 なので x = 5、7。

Δ = 6 cm のとき、12 − 2x = 6 または -6 なので x = 3、9。

Δ = 10 cm のとき、12 − 2x = 10 または -10 なので x = 1、11。

答えは x = 1、3、5、7、9、11 cm の6点です。例えば x = 3 cm を戻すと、距離は 3 cm と 9 cm、差は 6 cm です。これは 4 cm の1.5倍で、逆位相から出た波が到着時にそろいます。x = 9 cm でも2つの距離が入れ替わるだけで差は 6 cm です。中央 x = 6 cm では差が 0 なので、強め合う点には入りません。

座標を求める際には、距離差が増える向きにも注意します。A から中央へ進むと、A までの距離は増え、B までの距離は減るため、差は 12 cm から 0 cm へ減ります。中央を越えると大小が入れ替わり、差は再び増えます。距離差のグラフは中央で折れる V 字形です。横軸を x、縦軸を Δ として 2 cm、6 cm、10 cm の高さに横線を引くと、それぞれ2回ずつ交わります。縦軸は経路差であり、波そのものの変位ではありません。軸の名前と単位を図に添えましょう。

端を含むかどうかも問題文の範囲から判断します。数学的な点として波源の位置を数える設定では、その点の距離を 0 として式に入れます。実際の装置では波源そのものの大きさがあり、その場所で独立した2波の振幅を理想化どおり測れるとは限りません。実験で観測する範囲と、紙上で指定された範囲を読み分けます。

別解では中央からの距離を使います。x = 6 cm を境に左右対称で、中央から s cm だけ離れると、一方の道のりは s cm 増え、他方は s cm 減ります。経路差は 2s cm です。これを 2、6、10 cm とすれば s = 1、3、5 cm で、それぞれ中央の左右に1点ずつあります。距離差が 0 の場合には左右が同じ中央の1点になるので、常に2倍する数え方は使えません。

標準例題: 区間の外まで確かめる

波源 C を x = 0 cm、D を x = 10 cm に置き、右向きを正方向とします。2つは同位相で、波長は 4 cm です。波が届いているものとして、閉区間 0 ≤ x ≤ 10 cm のうち強め合う点の座標を、cm 単位の正確な値で小さい順に求めてください。さらに、線分の右側 x > 10 cm に強め合う点があるか判定します。

線分内の経路差は |10 − 2x| cm で、取りうる範囲は 0 cm 以上 10 cm 以下です。同位相の強め合いでは Δ = mλ ですから、候補は 0 cm、4 cm、8 cm です。12 cm は線分内のどこでも実現しません。

Δ = 0 cm は x = 5 cm、Δ = 4 cm は x = 3、7 cm、Δ = 8 cm は x = 1、9 cm です。したがって線分内では x = 1、3、5、7、9 cm です。各点を戻すと距離差は順に 8、4、0、4、8 cm で、いずれも波長の整数倍です。

右側では C からの距離が x cm、D からの距離が (x − 10) cm です。差は常に 10 cm で、波長の 2.5 倍です。よって右側に強め合う点はありません。この部分の距離差を |10 − 2x| として延長すると、途中で距離が負になり、存在しない候補を作ります。座標を変えるたびに、各距離が正の長さとして書けているかを確かめてください。

同じ判定を、右側へ並んだ波面の数でも考えられます。D から見て C は 10 cm 後ろにあり、両者の経路差は右側のどこでも変わりません。10 cm は 4 cm の整数倍ではないので、距離差だけから到着位相がそろうことはありません。仮に波源間隔が波長の整数倍だったなら、同位相の条件は右側全体で成立します。このように区間外では点の個数を数える前に、経路差が位置によって変わるかを調べます。

発展例題: 離れた直線上で候補を数える

平面上で波源 E を (0 cm, 0 cm)、F を (6 cm, 0 cm) に置きます。座標の正方向は右と上です。2つは逆位相、波長は 2 cm です。観測点は線分上 P = (x cm, 4 cm)、0 ≤ x ≤ 6 を動きます。波が届き、反射は無視します。この線分上で強め合う点は何点ですか。答えは整数で示し、7/2 < √13 < 4 を用いてよいものとします。

E と F から P までの距離をそれぞれ rE、rF とすると、三平方の定理から次のようになります。単位は cm です。

rE = √(x² + 16)、rF = √((6 − x)² + 16)

ここでは符号つきの距離差 d = rE − rF を使います。x が 0 から 6 へ増えると rE は増加し、rF は減少するので、d は連続して単調に増加します。左端では d = 4 − 2√13、右端では d = 2√13 − 4、中央 x = 3 では d = 0 です。

右端の値がどの整数の間にあるかを確かめます。13 > (7/2)² = 49/4、また 13 < 4² なので、7/2 < √13 < 4 です。したがって 3 < 2√13 − 4 < 4 です。端の差を 3 cm と見積もってしまうと、距離差 3 cm の点を見落とします。

逆位相で強め合うには |d| が 1 cm、3 cm、5 cm、……のいずれかです。d の範囲には -3、-1、1、3 が入り、-5、5 は入りません。d は連続して単調に増えるため、これら4つの値はそれぞれ1回ずつ現れます。答えは4点です。例えば d = 3 の点は中央と右端の間にあります。両端で符号つき差を計算し、線分の途中で同じ値を重複して数えていないことも確かめました。

この数え方では、個々の x を求めなくても個数を決められます。逆に位置まで問われたら、rE − rF = 3 などを解き、二乗で得た候補を元の根号の式と区間に戻す必要があります。二乗すると符号の情報が失われ、条件を満たさない値が紛れ込むからです。距離差が波源間隔を超えないことも、三角形の辺の関係から確かめられます。ただし、その上限はこの観測線分で必ず達成されるとは限りません。

実測の設計とグラフの読み取り

水面の2点を同じ振動数で振動させ、出発位相を調整できる装置を考えます。学校の指導の下で、波源間の直線上とその外側に観測位置を取り、2つの波が十分に届いた後の振幅を位置ごとに比べます。水面では反射波や装置の影響を受けるため、波源間隔、振動数、測る位置、待つ時間をそろえ、条件を変える前後で波源自身の位相も確認します。

位置を横軸、十分な時間内に測った振幅を縦軸にすると、強弱が繰り返される様子を読み取れます。横軸が時刻なら同一点の振動を表すため、隣の山の間隔から直接、空間の強め合う点の間隔を読むことはできません。また、同じ強め合いの次数に対応する点どうしを比較し、端の反射による山を混同しないようにします。

線分内では中央からの距離を s、経路差を Δ とすると Δ = 2s です。隣り合う強め合いの経路差は λ だけ違うので、片側で隣り合う強め合いの位置間隔は λ/2 です。例えば測った間隔が 2.4 cm なら、この理想モデルでの波長の推定値は 4.8 cm です。複数の間隔を測り、その合計を区間数で割れば、1回の位置読み取りの影響を小さくできます。

グラフを読む際には、極大の高さと極大の位置を別々に扱います。波源から離れるほど届く振幅が変われば、強め合う位置でも山の高さがそろうとは限りません。横軸上で極大の中心を読み取り、その間隔を比較します。読み取りの目盛りが粗ければ、1つの極大の位置には幅を持たせ、間隔の値もその幅に応じて判断します。理論上の線が目盛りの間にあることと、測定が理論から外れていることは同じではありません。

測定が思いどおりにならない場合もあります。強弱が見えなければ、2つの振動数が同じか、出発位相が安定しているか、波が両方とも到着しているかを先に確認します。弱い点の振幅が 0 にならなくても、直ちに位相条件を捨てる必要はありません。到着振幅の違いや反射、位置の読み違いで打ち消しが不完全になるためです。何度測っても強弱の位置が動くなら、その位置を平均する前に、位相差が時間とともに変化していないかを調べます。

間違いの場所を図で探す

逆位相なのに「強め合いは Δ = mλ」と書いて中央を選ぶ誤答を考えます。原因は、伝わる距離によるずれだけを数え、波源での半周期のずれを落としたことです。図3のように等距離では、出発時の山と谷は同じ時間だけ遅れて届きます。したがって到着しても互いに逆位相です。

図3で波源からの距離差を半波長増やすと、一方の到着がさらに半周期ずれ、山と山が重なります。修正後は「初期位相が逆、経路差が半波長、到着位相が同じ」と3段階で言葉にできます。等振幅なら等距離で合成変位は 0、半波長差では振幅が2倍です。振幅が等しくない場合は弱め合う位置でも完全には消えません。

別の誤りは、強め合いの条件から出た距離差を、位置の条件を調べずに全部採用することです。基本例題の線分では 14 cm は条件式の形には合いますが、長さ 12 cm の線分上の距離差としては作れません。さらに Δ が 0 以外なら対称な2点があっても、Δ = 0 の中央は1点です。条件式、取りうる範囲、点の個数を順番に確認します。

練習: 距離差から位置まで

どの問題でも同じ媒質を伝わる同振動数の正弦波を考え、観測点には両方の波が届いています。反射を無視し、振幅の計算が必要な場合は到着時の振幅が等しいとします。長さは正確な値です。

1. 同位相の2波源から観測点までの距離が 7 cm と 16 cm、波長が 6 cm です。強め合いと弱め合いのどちらかを答え、距離差も cm 単位で求めてください。
2. 逆位相の2波源からの距離が 8 cm と 18 cm、波長が 4 cm です。強め合いと弱め合いのどちらかを答え、距離差を cm 単位で求めてください。
3. 同一直線上に波源 G、H を 14 cm 離して置きます。同位相、波長 6 cm です。G から H に向かう線分上で強め合う点の G からの距離を、cm 単位で小さい順にすべて求めてください。
4. 逆位相の波源を 9 cm 離して置き、波長を 6 cm とします。波源を結ぶ線分上で強め合う点は端を含めて何点ですか。整数で答えてください。
5. 逆位相の2波源を結ぶ線分の中央から片側へ移動すると、最初の強め合う点までの距離が 1.25 cm でした。波長を cm 単位で小数のまま求めてください。

練習の答えと途中式

1. Δ = 16 − 7 = 9 cm = (3/2)・6 cm です。同位相で半整数倍ですから弱め合います。9 cm は半波長 3 cm の3倍であり、出発時にそろっていた位相が到着時に逆になることでも照合できます。

2. Δ = 18 − 8 = 10 cm = (5/2)・4 cm です。逆位相で半整数倍ですから強め合います。出発時の半周期差と、経路差による2.5周期のずれを合わせると、到着位相は整数周期分ずれます。

3. G からの距離を x cm とすると、経路差は |14 − 2x| cm、範囲は 0 cm 以上 14 cm 以下です。同位相の強め合いの候補は 0、6、12 cm です。順に解くと x = 7、4・10、1・13 cm なので、答えは 1、4、7、10、13 cm です。それぞれを戻すと距離差は 12、6、0、6、12 cm となり、どれも 6 cm の整数倍です。

4. 経路差の範囲は 0 cm 以上 9 cm 以下です。逆位相の強め合いは半整数倍なので、候補は 3 cm と 9 cm です。3 cm のときは中央の左右に2点、9 cm のときは両端に2点で、合計4点です。端を含むという条件があるため両端を数えます。両端ではそれぞれの道のりが 0 cm と 9 cm で、差は 9 cm です。

5. 中央から s だけ片側へ動くと、2つの道のりの差は 2s です。最初の強め合いでは 2s = λ/2 なので、λ = 4s = 5.00 cm です。問題の値に戻すと半波長は 2.50 cm、中央から 1.25 cm の位置で生じる経路差も 2.50 cm です。

覚えておくこと

出発位相と伝わる間の位相の変化を分けます。 同位相は整数波長差、逆位相は半整数波長差で強め合います。 距離差の候補を配置の範囲に戻し、中央と端の扱いを確かめます。 弱め合いが完全な打ち消しになるには到着振幅が等しい必要があります。

つまずきの見分け方

等距離で強め合うかを尋ね、逆位相でも強め合うと答えたら、山と谷を同時刻に描いて出発時の差を確かめます。条件式は合っているのに点の数が違うなら、波源と観測範囲を線で描き、距離差が取れる最小値と最大値を先に書いてみます。図と式のどちらがずれたかを、1点を選んで2つの距離を測り直すと見分けられます。

個別指導で説明するときは「なぜ中央が弱いか」「中央から片側へ動くと経路差が何倍の速さで増えるか」を、図と式の両方で言えるかを確認します。経路差の候補が物理的な配置に戻って初めて、干渉する位置が定まります。