高校物理 力学 力のモーメントと偶力—支点を変えても同じつり合いを表す理由を確かめる｜武蔵野個別指導塾

平行で逆向きの2力が棒を回そうとする理由を、垂直距離と基準点の移動からたどる偶力。

よくあるのは、高校生が棒に加わる平行で逆向きの2力を見て、力が相殺するから回転もしないと考える場面です。左右の手で物差しの離れた2点を反対向きに押すと、押す力の合計が0でも物差しには向きを変えようとする効果が残ります。力の合計と回転の効果は別々に調べる必要があります。

ここでは同じ平面内で働く力を扱い、変形しない剛体の静止条件を考えます。棒の回転中の角速度や回転の運動方程式までは扱いません。まず基準点から力の作用線までの垂直距離を取り、次に基準点をずらしたときの式を追います。

問いを分ける

典型的な問いは3種類あります。第1は、与えられた力の組が並進と回転の両方についてつり合うかどうかの判定です。水平成分と鉛直成分の合計がそれぞれ0でも、モーメントの合計が0とは限りません。第2は、棒を静止させる未知の力や位置を求める問いです。支点を通る力はその点のまわりのモーメントが0なので、支点を基準に選ぶと未知数を減らせます。

第3は、基準点を変えた2つの式が同じ条件を表す理由です。合力が0ならモーメントの合計は基準点によらず同じです。合力が0でない場合は一般に変わります。したがって、モーメントの式だけを別の点に移しても、力の式を満たさない途中段階では同じ数になるとは限りません。

作用線までの距離で回転の効果を測る

力の作用点を通り、力の向きに延ばした直線を作用線と呼びます。基準点Oから作用線に下ろした垂線の長さをd、力の大きさをFとすると、Oのまわりの力のモーメントの大きさはFdです。単位はN・mです。これは仕事の単位と形が似ていますが、ここでは回転の効果を表し、仕事として扱いません。

図1のように、水平な剛体の左右に鉛直な力を加えます。左で下向き、右で上向きの大きさFの2力は、いずれもOのまわりに反時計回りの効果を持ちます。反時計回りを正、時計回りを負と決めると、左の寄与はFa、右の寄与はFbです。2力の作用線の間隔はa + bなので、合計はF(a + b)です。

図1では力の合計は鉛直方向に -F + F = 0です。一方でモーメントは正のまま残ります。大きさが等しく平行で逆向き、作用線が異なる2力を偶力と呼びます。偶力の大きさは力の大きさと作用線の間の垂直距離の積です。2本の作用線が重なる極限では間隔が0となり、偶力のモーメントも0です。

Oを左の作用線上へ移しても、左の力のモーメントは0、右の力はF(a + b)です。右の作用線の外側へ移した場合も、一方が時計回り、他方が反時計回りとなり、差を取れば同じ値です。距離を足すか引くかは、力の向きと基準点との位置関係から毎回決めます。棒の長さを機械的に掛けるのではなく、作用線間の垂直距離を使います。

この性質を座標で導きます。平面上の力をF（ベクトル）とし、成分をFₓ、Fᵧ、作用点を(x, y)とします。原点Oからの符号付きモーメントはxFᵧ − yFₓです。鉛直成分は水平距離x、水平成分は鉛直距離yを腕として使い、反時計回りを正に取った式です。新しい基準点をO′(a, b)とすると、同じ力のモーメントは次のようになります。

M′ = (x - a)Fᵧ - (y - b)Fₓ
M′ = xFᵧ - yFₓ - aFᵧ + bFₓ

複数の力について足し合わせると、合計の変化は -aΣFᵧ + bΣFₓ です。Σは各力についての和を表します。力の合計の両成分が0なら、この変化は0です。逆に、ある1つの基準点のまわりでモーメントが0でも、合力が0でなければ別の点で0とは限りません。力のつり合いとモーメントのつり合いを両方書く理由がここにあります。

静止している剛体では、合力の水平・鉛直成分がそれぞれ0で、同一平面に垂直な軸のまわりのモーメントの合計も0です。支点に固定された棒では、支点から受ける力も外力として数えます。その力は支点まわりの式から消えますが、力のつり合いからは消えません。支点が棒を引けるのか押すだけなのかも、問題の条件に応じて確かめます。

基本例題：偶力を別の偶力で打ち消す

軽い水平な剛体棒ABは長さ0.80 mです。Aに下向き5.0 N、Bに上向き5.0 Nを加えます。さらにAに上向きの力P、Bに下向きの力Pを加えて静止させます。PをN単位で有効数字2桁で求め、合力とAまわりのモーメントを確認してください。支えや重力など他の力は無視します。

図2のように、最初の2力の合力は0ですが、反時計回りのモーメントは5.0 × 0.80 = 4.0 N・mです。追加した2力も合力0で、時計回りのモーメントを作ります。Aで作用する2力はAまわりの腕が0ですから、Bの2力で式を立てます。

5.0 × 0.80 - P × 0.80 = 0
P = 5.0 N

図2の各端では上向きと下向きの力が5.0 Nずつです。合力は0、Aまわりの合計は4.0 − 4.0 = 0 N・mです。棒の中央を基準にしても、最初の2力がそれぞれ2.0 N・m、追加の2力がそれぞれ -2.0 N・mとなって合計0です。基準点を変えても、合力が0であることと矛盾しません。

ここでPを4.0 Nにすると、合力はなお0ですがAまわりの合計は0.80 N・mです。したがって力の合計を調べる試験は通っても、モーメントを調べる試験は通りません。反対に、基準点を通る単独の力はその点のまわりのモーメントが0でも、合力が残ります。

標準例題：支点の反力を消してから戻す

長さ1.2 mの軽い水平棒を左端Aで固定し、右端Bに下向き6.0 Nの力を加えます。Aから0.40 m右の点Cに上向きの力Qを加えて静止させます。固定部が棒に及ぼす力は鉛直方向で、固定部は力の組によるモーメントを及ぼさないものとします。Qと固定部の力の向き・大きさをN単位、有効数字2桁で求めてください。

Aまわりでは固定部の力の腕が0です。反時計回りを正として、次の式を得ます。

0.40Q - 1.2 × 6.0 = 0
Q = 18 N

鉛直方向の合力が0なので、固定部の力を上向き正のRとするとR + 18 − 6.0 = 0、R = -12 Nです。固定部は下向きに12 Nを及ぼします。答えを戻すと鉛直合力は -12 + 18 − 6.0 = 0 N、Aまわりは7.2 − 7.2 = 0 N・mです。水平力はありません。

別の確認としてCまわりを見ると、Aの下向き12 Nは反時計回りに4.8 N・m、Bの下向き6.0 Nは時計回りに4.8 N・mです。両者が打ち消し合います。もし固定部が上向きに押すことしかできない支持台なら、求めた下向きの力を供給できません。その場合、同じ静止状態は実現できず、接触が保たれるという仮定を捨てます。

発展例題：点を変えた式と力の条件

軽い水平棒の左端Aを原点、右向きを正とします。Aから0.20 mの点に上向き8.0 N、0.70 mの点に下向き8.0 Nが働きます。さらにAで鉛直な力U、Aから1.0 mの点Bで鉛直な力Vを加え、静止させます。UとVを上向き正としてN単位、有効数字2桁で求めてください。各力は棒に作用し、他の力はありません。

既知の2力は偶力です。Aまわりの合計は0.20 × 8.0 − 0.70 × 8.0 = -4.0 N・mで、時計回りです。これを打ち消すには、Bの力が反時計回りのモーメントを与える必要があります。鉛直合力とAまわりの式を順に使います。

U + V + 8.0 - 8.0 = 0
1.0V - 4.0 = 0
V = 4.0 N
U = -4.0 N

場面へ戻すと、追加したAの下向き4.0 NとBの上向き4.0 Nは、間隔1.0 mの反時計回りの偶力です。既知の偶力の大きさも8.0 × 0.50 = 4.0 N・mで、向きは逆です。合力は0、モーメントの合計も0です。

別解はBまわりのモーメントからUを求める方法です。既知の2力の合計は基準点を移しても -4.0 N・mです。Aの力Uの腕は1.0 mで、上向きを正とした寄与は -1.0Uですから、-1.0U − 4.0 = 0よりU = -4.0 Nとなります。鉛直合力からV = 4.0 Nです。既知の2力を偶力としてまとめる方法は、その2力が等大で逆向きであることが条件です。大きさが異なる場合、基準点を移しても同じモーメントだと決めてはいけません。

たとえば既知の右側の下向き力だけを7.0 Nに変えると、既知の鉛直合力は上向き1.0 Nです。基準点を右へ1.0 m移すと、既知のモーメントは1.0 N・m減ります。偶力でない力の組では、この変化を合力の式に含めて扱います。全外力がつり合う答えを得た後なら、全体の合力が0なので、どの基準点でも全モーメントは0になります。

測る距離を変える実験とグラフ

学校の指導の下で、軽い棒を水平に保ち、離れた2点に逆向きの力を加える装置を考えます。棒に加える力の向きと大きさを測れるようにし、別の力の組で静止させます。力の作用線間の垂直距離dを独立変数とし、つり合いに必要な反対向きのモーメントMを測定量とします。力F、力の方向、棒の水平状態、反対側の力を測る位置をそろえます。棒自体の重さや支持部の影響を別に測り、必要な補正を明示します。

横軸をd / m、縦軸をM / (N・m)とすれば、理想的にはM = Fdです。たとえば練習用の自作データとして、Fを2.0 Nに保ち、dが0.20、0.40、0.60 mのときMが0.40、0.80、1.20 N・mなら、傾きは2.0 Nです。これは実測結果ではありません。面積ではなく傾きが力に対応することを、縦軸の単位を横軸の単位で割って確かめます。

各距離で測定を繰り返し、読みのばらつきと平均を記録します。力の目盛りのゼロずれや距離の測定位置のずれは、測定の方向をそろえてずらす系統誤差になりえます。目盛りの読み取りや静止位置の判定のばらつきは偶然誤差の例です。グラフに切片が見えた場合は支持部の摩擦やゼロ点、棒の重さによる残りのモーメントを点検します。切片が出たから直ちに原因を1つに決めたり、無条件に原点を通す直線を引いたりはできません。

力が鉛直から傾けば、棒上で測った2点間の距離は作用線間の垂直距離と一致しません。力の向きを確認して距離を取り直します。力の大きさが左右で異なれば合力が残るので、固定部などの追加の力を含めた全体を描き直します。棒が静止しない、測定器が振り切れる、距離を読めない場合は、その値をつり合いのデータとして採用せず、装置と条件を調整して測り直します。

誤答を図でほどく

誤答の例は「図3の2力は等大で逆向きだから、合力もモーメントも0」です。原因は、力を足すときに作用点の違いを捨て、そのまま回転の効果まで消したことです。図3のように左で下、右で上を押すと、基準点の左右でどちらも反時計回りに働きます。

図3の左右の距離をそれぞれlとすると、合力は -F + F = 0、モーメントの合計はFl + Fl = 2Flです。修正するときは、各力について作用線と垂直距離を描き、符号をつけてから足します。2力の作用線が重なる場合は距離が0なので、この回転効果も0です。逆向きという情報だけで、どちらの状態かを決めることはできません。

また、モーメントが0になる点を1つ見つけて静止を結論する誤答もあります。単独の力の作用線上を基準点にすればモーメントは0ですが、力は残っています。水平・鉛直の合力を別に計算し、静止条件の欠落を見つけます。符号が負になった未知力についても、計算を捨てる前に仮定した向きと逆向きを意味すると読み、支持方法がその向きを許すか判断します。

練習：力とモーメントを別に確かめる

次の5問はすべて同一平面内で、棒は軽く水平な剛体とします。力以外の影響は無視し、指定された数値は正確な値とします。答えは整数または分数で表してください。

1. 長さ2 mの棒の左端に下向き3 N、右端に上向き3 Nを加えます。合力と左端まわりのモーメントを、反時計回りを正として求めてください。
2. 長さ3 mの棒の左端Aに鉛直な力R、右端に上向き2 N、Aから1 mの点に下向き6 Nを加えます。静止するときのRの向きと大きさを求め、Aまわりのモーメントも調べてください。
3. 棒の左端Aに上向き4 N、Aから3 mの点に下向き4 Nを加えます。Aで下向きの力、Aから2 mの点で同じ大きさの上向きの力を加えて静止させるには、それぞれ何N必要ですか。
4. 右向きの水平力5 Nが、原点Oより2 m上の位置に作用します。Oまわりのモーメントと、Oから右へ3 m移した点Pまわりのモーメントを、反時計回り正で求めてください。
5. 左端Aと右端Bの間が4 mの棒に、Aから1 mの点で下向き8 Nを加えます。AとBで鉛直上向きの支持力を受けて静止するとき、各支持力を求め、両方が押す向きで成立するか確かめてください。

練習の答えと道筋

1. 上向きを正にすると合力は -3 + 3 = 0 Nです。左端まわりでは左の力の腕は0、右の力は反時計回りなので2 × 3 = 6 N・mです。右端を基準に戻しても左の下向き3 Nが反時計回りに6 N・mを与えます。合力0と回転効果0は別の条件です。

2. 鉛直合力の式はR + 2 − 6 = 0ですからR = 4 Nで上向きです。Aまわりは3 × 2 − 1 × 6 = 0 N・mです。したがって求めた力を加えた場面では合力もモーメントも0です。もしRを下向きと想定して大きさを未知数にしたなら、負の値が出て想定と逆向きと読み替えます。

3. 最初の2力は時計回りに4 × 3 = 12 N・mの偶力を作ります。必要な力をS Nとすると反対向きの偶力は2S N・mです。2S = 12よりS = 6 Nです。追加した2力の合力は0、モーメントは反時計回りに12 N・mで、元の組と合計すると両条件が0に戻ります。

4. 右向きの力はOの上側を右へ押すため時計回りです。したがってOまわりは -2 × 5 = -10 N・mです。PもOと同じ高さなので作用線までの垂直距離は2 mで、Pまわりも -10 N・mです。合力は右向き5 Nで0ではありませんが、移動方向が力と平行なため、この場合のモーメント変化は0です。合力が0でないとき常に値が変わるわけではありません。

5. A、Bの支持力をそれぞれNₐ、Nᵦとします。Aまわりの式は4Nᵦ − 1 × 8 = 0なのでNᵦ = 2 Nです。鉛直合力の式Nₐ + Nᵦ − 8 = 0よりNₐ = 6 Nです。元の場面に戻すと6 + 2 − 8 = 0 N、Aまわりは4 × 2 − 1 × 8 = 0 N・mです。どちらも上向きで、押す支持力という条件を満たします。

手元に残す要点

• モーメントは力と作用線までの垂直距離の積に回転の符号を付けます。
• 偶力は合力0でも、作用線間の距離に応じたモーメントを持ちます。
• 静止条件は合力0とモーメントの合計0を別々に使います。
• 合力0ならモーメントの合計は基準点によらず同じです。
• 求めた力の向きが支点や接触の条件に合うか確認します。

つまずきを見分けるには

自分の答案で、各矢印がどの物体に働くか、作用線と垂線がどこにあるかを指でたどってみてください。左右の距離を使った理由を説明できなければ、基準点と作用線から図を描き直します。式が合っていても負の支持力をそのまま上向きとしていないか、元の装置に戻して確認します。

個別指導で確かめるなら、同じ力の図について2つの基準点を選び、それぞれのモーメントの式と合力の式を並べます。差が合力によって決まる理由を言葉で説明できると、点の選び方が変わっても偶力を見失いません。