高校物理 力学 楕円軌道と近日点遠日点—面積速度とエネルギーから両端の速さを結び付ける｜武蔵野個別指導塾

近点と遠点の半径と速さを、面積速度と力学的エネルギーで結び、平方根の取り違えをほどく近日点遠日点。

よくあるのは、楕円軌道を進む衛星の遠点の速さを、近点との半径比の平方根で決める場面です。円軌道の速さが半径の平方根に反比例することを覚えていると、同じ中心の周りの運動にも使いたくなります。しかし、1つの楕円の両端は、それぞれ別の円軌道上を動いているわけではありません。中心からの距離が変わる間に速さも向きも変わり、両端を結ぶ条件を選ぶ必要があります。

ここでは中心天体を固定し、衛星に働く力をその中心に向く万有引力だけとします。衛星の質量は中心天体に比べて十分小さく、他の天体や噴射の影響は無視します。天体の大きさは軌道と交差しないものとし、位置エネルギーは無限遠を0とします。楕円の形を方程式から導くことはせず、与えられた楕円の両端に着目します。

どの条件を使うか

近点は中心に最も近い点、遠点は最も遠い点です。中心が太陽である場合には、それぞれ近日点、遠日点と呼びます。一般の中心天体についても以下では近点、遠点と呼び、中心からの距離を半径と表します。楕円の中心と引力の中心は一般に一致せず、引力の中心は焦点の1つです。

問いの型は主に3つあります。両端の距離と一方の速さから他方を求める型では面積速度を使います。両端の距離と中心天体の質量が与えられた型では、面積速度とエネルギーを連立します。与えられた速さが近点に適するかを判定する型では、円軌道の速さとの大小も調べます。どの型でも、両端で半径と速度が直交するという幾何の条件が必要です。

半径と掃く面積

図1のように、引力の中心を焦点Fとし、近点Pと遠点Aの距離をそれぞれrₚ、rₐ、速さをvₚ、vₐとします。両端では軌道の接線が長軸に垂直なので、速度は半径に垂直です。直交するのは両端での性質であり、楕円上の任意の位置に広げてはいけません。

図1のように、短い時間Δtに衛星が進む距離はおよそvΔtです。中心Fと移動前後の位置でできる細い三角形の面積は、半径に垂直な速度成分をv⊥とすると、およそrv⊥Δt/2です。時間を短くした極限で面積速度はrv⊥/2となります。

なぜその値が一定なのでしょうか。中心に向く力は、短い時間の速度変化を半径方向に生じさせます。位置を固定して考えたとき、この変化は半径に垂直な成分を変えません。一方、力がなく直線上を等速で動く短い区間では、同じ底辺上で等時間に進む距離が等しく、Fからその直線への高さも等しいので、掃く三角形の面積は等しくなります。短い区間に分けてこの2つを合わせ、区間を細かくすることで中心力の下では面積速度が一定と考えられます。力が中心方向から外れる噴射などがあれば、この説明をそのまま使えません。

両端ではv⊥が速さそのものなので、面積速度を等置すると次の関係になります。

rₚvₚ/2 = rₐvₐ/2
rₚvₚ = rₐvₐ
vₐ = (rₚ/rₐ)vₚ

rₚ < rₐならvₐ < vₚです。半径の比がそのまま速さの逆比に入り、平方根は付きません。左辺と右辺の単位はいずれもm²/sです。両端が近づいて円に近い形になれば速さの比は1に近づき、関係は円運動の一定の速さと矛盾しません。

引力定数をG、中心天体の質量をM、衛星の質量をmとします。無限遠を基準とする位置エネルギーは-GMm/rです。したがって力学的エネルギー保存を質量mで割ると、両端で次の式が成立します。

vₚ²/2 - GM/rₚ = vₐ²/2 - GM/rₐ

半径が大きい遠点では位置エネルギーが高く、運動エネルギーは小さくなります。負の位置エネルギーは基準より低いことを表し、速さの二乗が負であるという意味ではありません。保存則は軌道上の各点で使えますが、面積速度に速さ全体を掛ける式は直交する両端で使うことに注意します。

基本例題：一方の速さから他方へ

中心天体の周りの楕円軌道で、近点の距離が2.0×10⁷ m、遠点の距離が6.0×10⁷ m、近点の速さが9.0×10³ m/sです。遠点の速さを有効数字2桁で求めてください。他の力は無視し、天体と軌道は交差しないものとします。

図2のように両端の速度は半径に垂直です。面積速度の式に代入し、単位をそろえます。

(2.0×10⁷)vₚ = (6.0×10⁷)vₐ
vₐ = (2.0/6.0)×9.0×10³
vₐ = 3.0×10³ m/s

図2の距離と答えを戻すと、両端のrvはともに1.8×10¹¹ m²/sです。遠点の速さは小さく、面積速度も一致します。距離の比を平方根にするとこの積が一致しません。なお、距離と速さが任意に与えられた場合、それが指定された中心の引力で実際に楕円となるかは別の検査です。この例では中心のGMが指定されていないため、面積速度に必要な条件を用いて比を求めています。

標準例題：保存則を連立する

固定された中心についてGM = 60 m³/s²とします。近点の距離が2 m、遠点の距離が6 mの楕円軌道を回る衛星の両端の速さを、根号を含む厳密な値と単位で求めてください。数値は計算用の自作条件で、有効数字による丸めはしません。

まず面積速度からvₐ = vₚ/3です。エネルギーの式に代入すると、次のようになります。

vₚ²/2 - 60/2 = vₚ²/18 - 60/6
(4/9)vₚ² = 20
vₚ² = 45
vₚ = 3√5 m/s
vₐ = √5 m/s

速さは非負なので正の根を選びます。答えを戻すと、両端のrvは6√5 m²/sです。質量当たりの全エネルギーは近点でも遠点でも-15/2 m²/s²となります。これで半径とエネルギーの両方が指定条件に合います。単に連立式の解を代入するだけでなく、両端の位置エネルギーと運動エネルギーを別々に戻すと符号の誤りも見つかります。

発展例題：どちらの端から出発したか

GM = 24 m³/s²の中心から2 mの位置で、衛星を半径に垂直な向きに速さ4 m/sで動かします。他の力は無視し、天体は軌道と交差しません。この点が近点か遠点かを判定し、もう一方の端の距離と速さをそれぞれ分数または整数の厳密な値、単位付きで求めてください。

その場所での円軌道の速さの二乗はGM/r = 12 m²/s²です。与えられた速さの二乗16はこれより大きいので、出発点は近点です。理由は半径方向の加速度を比べることです。接線方向に進む瞬間、円を描くために必要な内向き加速度v²/rは8 m/s²ですが、実際の引力による内向き加速度GM/r²は6 m/s²です。直後に半径が増える側へ進むため、出発点は近点です。等しい場合は円軌道で、近点と遠点の距離は等しくなります。

もう一方の半径をR、速さをVとすると、面積速度からRV = 8 m²/sです。また質量当たりのエネルギーは出発時に8 − 12 = -4 m²/s²です。これらを連立します。

V = 8/R
32/R² - 24/R = -4
R² - 6R + 8 = 0
(R - 2)(R - 4) = 0

R = 2 mは出発点自身です。別の端はR = 4 m、V = 2 m/sです。検算するとRV = 8 m²/s、エネルギーは2 − 6 = -4 m²/s²で出発時と一致します。Rが元の距離より大きいことも近点の判定に合います。

別の見方として、端の速度に面積速度を代入する前に、エネルギーの差をとれます。vₚ² − vₐ² = 2GM(1/rₚ − 1/rₐ)と、vₚ/vₐ = rₐ/rₚを組み合わせる方法です。両端が異なる楕円では共通因子を整理でき、速さを直接求められます。ただし円では両端の差が0なので、その因子で割ってはいけません。円の場合は円運動の式を別に使います。

出発速度が円軌道より小さく正なら、その点は遠点です。逆に速度が大きすぎて質量当たりの全エネルギーが0以上なら、同じ力の下で遠点を持つ束縛楕円とはなりません。速さが0なら運動は直線上となり、通常の両端で接線方向の速さを比較する楕円として扱えません。公式の代入前に、与えられた条件が求める軌道を許すか調べます。

模型で面積速度を調べる

天体そのものの条件を自由に変える実験は難しいため、中心力を計算で再現した模型や画面上の軌道を観察します。これは測定の設計を練習するための模型であり、実在の天体の観測値ではありません。学校の指導の下で、同じ中心と初期条件を保ち、等しい時間間隔で衛星の位置を記録します。変える量は記録する時刻、測る量は位置と中心からの距離です。中心の位置、時間間隔、画面の縮尺をそろえます。

隣り合う位置と中心が作る三角形の面積を比べます。例えば自作の練習用データとして、同じ時間間隔ごとに面積がそれぞれ4.8、5.1、5.0、5.1 cm²だったとします。平均は5.0 cm²です。近い値が並ぶことは一定という予想と整合しますが、これだけで完全に一定と証明できません。時間刻みを細かくし、位置の読み取りも繰り返して比べます。

横軸を時刻t、単位をs、縦軸を初めから掃いた面積S、単位をcm²として記録すると、面積速度一定なら点は直線に近く並びます。傾きは面積速度で、面積そのものではありません。開始時刻をずらせば縦切片は変わるので、いつでも原点を通すとは限りません。半径と速さの関係を見る場合は両端の点を区別し、途中の位置でrvをそのまま比較しないことも必要です。

中心を毎回同じ方向に読み違えると、面積に系統的なずれが生じます。位置の印の幅や読み取りのばらつきは偶然誤差の原因です。縮尺を基準の長さで校正し、複数回読んでばらつきを見ると原因を切り分けられます。短い時間幅の三角形は面積が小さく、位置の誤差の割合が大きくなります。逆に時間幅が大きすぎると曲線と弦の間を無視した誤差が大きくなります。模型の計算刻みや描画の精度も結果を制限し、模型との一致は実在の軌道の観測を意味しません。

平方根を使った答えを直す

図3のように、近点の距離がr、遠点が4rのとき、遠点の速さを近点の1/2とする誤答を考えます。これは円軌道の速さの比に距離比を代入した結果です。しかし円軌道の公式は、それぞれの半径で引力が円運動に必要な加速度を与える条件から得たものです。楕円の両端では、引力がその瞬間の半径を持つ円の向心加速度に等しいとは限りません。

図3の誤答では遠点のrvは4r×v/2 = 2rvとなり、近点のrvと一致しません。正しくは4r×vₐ = rvからvₐ = v/4です。面積速度を一行書いてから半径と速さの積を戻すと、平方根の混入を発見できます。さらに、両端のエネルギーも指定されている場合は、その条件にも答えを戻します。

別の誤りは、エネルギー保存だけで2つの未知の速さを決めようとすることです。保存式は1本なので、両方が未知なら面積速度という独立した条件が要ります。反対に面積速度だけで両方の絶対値は定まりません。既知の量を囲み、未知の量の数と使える関係式の数を照らします。

練習：条件を自分で選ぶ

以下の天体は固定され、衛星には中心向きの万有引力だけが働きます。天体と軌道は交差せず、特記しない限り楕円軌道です。値は計算用の自作条件で、分数や根号は厳密な値とし、有効数字による丸めは不要です。

1. 近点の距離が3 m、遠点の距離が12 m、近点の速さが8 m/sです。遠点の速さを整数と単位で求めてください。
2. 近点と遠点の距離がそれぞれ4 m、10 mです。遠点の速さが3 m/sのとき、近点の速さを分数または整数と単位で求めてください。
3. GM = 48 m³/s²、近点の距離が4 m、遠点の距離が8 mです。両端の速さを根号を含む厳密な値と単位で求めてください。
4. GM = 18 m³/s²、中心から3 mの位置で半径に垂直な速さ2 m/sを与えます。出発点がどちらの端か判定し、もう一方の端の距離と速さを分数または整数と単位で求めてください。
5. 近点から遠点に進む間、近点での質量当たりの運動エネルギーが18 m²/s²、位置エネルギーが-30 m²/s²、遠点の位置エネルギーが-15 m²/s²です。エネルギーから遠点の速さを根号を含む厳密な値と単位で求め、両端の距離の比とも整合するか判定してください。

解答と戻し方

1. 面積速度より3×8 = 12vₐです。したがってvₐ = 2 m/sです。戻すと両端の積は24 m²/sで、遠い点の速さが小さいことも条件に合います。

2. 4vₚ = 10×3より、vₚ = 15/2 m/sです。4×15/2 = 30、10×3 = 30なので面積速度が一致します。速さの比は距離の逆比5/2です。

3. 面積速度からvₐ = vₚ/2です。エネルギー保存に代入します。

vₚ²/2 - 48/4 = vₚ²/8 - 48/8
(3/8)vₚ² = 6
vₚ² = 16
vₚ = 4 m/s
vₐ = 2 m/s

両端のrvは16 m²/s、質量当たりの全エネルギーはいずれも-4 m²/s²です。正の速さを選び、遠点が遅いことも確かめます。

4. 出発点での円軌道の速さの二乗は18/3 = 6 m²/s²で、与えた速さの二乗4より大きいので、出発点は遠点です。もう一方の半径をR、速さをVとするとRV = 6 m²/s、全エネルギーは2 − 6 = -4 m²/s²です。

V = 6/R
18/R² - 18/R = -4
2R² - 9R + 9 = 0
(2R - 3)(R - 3) = 0

R = 3 mは出発点なので、近点はR = 3/2 m、V = 4 m/sです。距離は厳密な分数で表します。両端のrvは6 m²/s、近点のエネルギーは8 − 12 = -4 m²/s²で、出発点と一致します。

5. 全エネルギーは18 − 30 = -12 m²/s²です。遠点の運動エネルギーは-12 − (-15) = 3 m²/s²なので、vₐ²/2 = 3からvₐ = √6 m/sです。近点の速さは6 m/sです。位置エネルギーの絶対値が半分なので遠点距離は近点距離の2倍ですが、このとき面積速度から遠点の速さは3 m/sとなり、√6 m/sとは一致しません。したがって与えられた数値は、同じ楕円軌道の両端の条件としては成立しません。エネルギーだけの計算結果をそのまま答えとせず、両方の保存則を検査します。

手元に残す要点

近点と遠点では速度と半径が垂直です。
面積速度一定からrₚvₚ = rₐvₐです。
エネルギー保存は速さの二乗と位置エネルギーを結びます。
円軌道の速さの比を楕円の両端に流用しません。
計算後は両端の半径とエネルギーに戻します。

式の選択に迷ったら、楕円と焦点を描き、各端の半径と接線を記入してください。個別指導で確認するときも、最初に何が垂直かを図で説明し、次に等しい面積を式にし、最後にエネルギーへ戻す順で考えをたどれます。比だけで答えた場合には、距離を変えたときの大小も口に出して確かめます。近日点と遠日点を結ぶ式には、両端で同じ時間に掃く面積が表れています。