高校物理 力学 力積と衝突時間—力の波形を変えて平均力と速度変化の違いを読む｜武蔵野個別指導塾

三角形と台形の力時間グラフを比べ、速度変化を読み取る鍵は力積の波形です。

よくあるのは、衝突の力を記録したグラフで、2つの山の最高値が同じなら力積も同じだと考える場面です。横軸をよく見ると、一方の山は他方より長く続いています。力の大きさの頂点は一瞬の情報ですが、速度の変化には力が働いた時間全体が関わります。

力の時間変化を三角形や台形で表したモデルを使い、面積、平均力、運動量の変化を結び付けます。衝突する2物体の反発係数を求める話ではなく、選んだ1物体が受ける力の波形から何を読み取れるかを扱います。

どの量がそろっているか

問いには大きく3つの型があります。1つ目は、最高値と継続時間を与えて面積を比べる型です。形が同じ三角形なら、最高値が同じでも底辺が2倍になれば力積は2倍です。形が違えば高さと底辺が同じでも面積は違うので、三角形か台形かまで確認します。

2つ目は、同じ速度変化を異なる時間で実現する型です。同じ質量の物体に同じ運動量変化を与え、他の力の力積を無視できるなら、接触力の力積は等しくなります。時間が長い方が平均力の大きさは小さくなりますが、最大力の大小は波形を指定しないと決まりません。

3つ目は、力が正負にまたがる型です。正方向に押した部分の面積から、負方向に押した部分の面積を引きます。山の高さを足すのではなく、各区間の符号と面積をそれぞれ書きます。負の力積は、選んだ正方向と反対向きの運動量変化を表します。

力の面積が運動量を変える理由

物体を1つ選び、右向きを正とします。質量 m が一定で、速度の右向き成分を v とすると、運動量の成分は p = mv です。力も右向き成分で表します。力は向きを持つ量ですが、一直線上の問題では符号を付けた成分で計算できます。

短い時間 Δt の間、合力 F が一定なら運動方程式は F = mΔv/Δt です。両辺に Δt を掛けると、FΔt = mΔv = Δp となります。左辺は力と時間の積で、その区間の力積です。単位は N・s で、kg・m/s と同じです。力積は力そのものではなく、力が時間を通じて与えた運動量の変化を表します。

力が途中で変わるときも、グラフを短い区間に区切り、各区間で力をほぼ一定として FΔt を足します。区間を細かくした極限が、力と時間のグラフの符号付き面積です。高校の計算では、三角形や台形なら図形の面積で正確に求められます。軸より下は負に数えます。図1のように、横軸は時間、縦軸は選んだ向きの力です。

図1の正の三角形では、底辺が T、高さが F₀ なので力積は F₀T/2 です。負の三角形の面積の大きさが A なら、その力積は -A です。合力の面積の和が運動量変化になることに注意します。接触力のグラフだけを使う場合、重力や摩擦など他の力の力積が無視できるか、別に加える必要があります。

平均力は、指定した時間区間の力積をその区間の長さで割った値です。三角形の全区間なら平均力は F₀/2 です。平均力が0でも、正と負の力積が打ち消された可能性があります。力が常に0だったと結論することはできません。また、平均する区間に接触前後の力が0の時間を加えると、同じ力積でも平均値は変わります。

最大力と平均力は別の情報です。力積が等しくても、短い鋭い山と長い低い山では最大力も時間も異なりえます。逆に最大力と時間が等しくても、立ち上がりや平らな部分の長さが異なれば面積は変わります。この違いを見落とさないよう、まず軸の単位、開始と終了、波形の形を記入します。

基本例題：三角形の押す力

水平な滑らかな台で、質量 2 kg の小物体が右向きに 1 m/s で動いています。右向きを正とし、接触力は 0 s から 4 s まで図2の三角形で表されます。2 s で 6 N に達し、4 s で0に戻ります。水平の他の力は無視します。接触力の力積、平均力、4 s 後の速度を整数と単位で求めてください。

図2の底辺は 4 s、高さは 6 N です。三角形の面積から、右向きの力積は次のようになります。

I = 4・6/2
  = 12 N・s
F平均 = 12/4
      = 3 N

接触前の運動量は 2・1 = 2 kg・m/s です。接触力が水平の合力なので、接触後の運動量は 2 + 12 = 14 kg・m/s です。質量で割って速度は右向き 7 m/s です。別の見方では、平均力 3 N が 4 s 間働いたときの運動量変化も 3・4 = 12 N・s です。

答えを場面に戻すと、速度変化は 7 − 1 = 6 m/s で、2・6 = 12 kg・m/s です。グラフの面積と一致します。接触中の加速度は一定ではありません。平均力を用いて求めた速度変化は正しいものの、途中の位置を一定加速度の公式で計算することはできません。

標準例題：負の力で進行を反転する

水平面上の質量 3 kg の物体が右向きに 4 m/s で動き、壁との接触で左向きの力を受けます。右向きを正とすると、接触力のグラフは 0 s から 2 s の間、0 N、-9 N、0 N の順に直線で変わる三角形です。水平の他の力は無視します。力積、平均力、接触後の速度を整数または分数と単位で求め、壁から離れる向きも答えてください。

軸の下の三角形の面積の大きさは 2・9/2 = 9 N・s です。符号を付けると I = -9 N・s、平均力は -9/2 N です。初めの運動量は 12 kg・m/s なので、後の運動量は 12 − 9 = 3 kg・m/s、速度は右向き 1 m/s です。したがって、この条件では壁から離れる向きにはなりません。右側の固定壁に物体が当たり、接触終了後に壁を貫通せず離れるという条件を付けるなら、この波形はその衝突を表せません。

この例の平均力は分数で -9/2 N です。速度を元に戻すと 3・(1 − 4) = -9 kg・m/s で面積と合います。一方、計算が合っても接触の前後関係は別に検査します。壁が変形し、物体が接触終了後も右へ動くような装置なら、壁全体の運動や位置関係を追加しなければ離反を判断できません。固定壁での完全な衝突として扱うには、負の力積の大きさが少なくとも初めの正の運動量以上である必要があります。

発展例題：同じ山の高さで形を変える

摩擦を無視できる水平面上で、質量 2 kg の台車が右向きに 2 m/s で動いています。接触力は右向きで、0 s から 6 s の間に 0 N から 8 N へ直線的に増え、2 s から 4 s まで 8 N を保ち、6 s に0 Nへ直線的に減ります。他の水平力は無視します。力積、平均力、接触後の速度を、分数または整数と単位で求めてください。さらに、同じ底辺と高さの三角形の力との力積の差を求めます。

台形を左の三角形、中央の長方形、右の三角形に分けます。各面積は順に 8、16、8 N・s です。したがって力積は 32 N・s、平均力は 32/6 = 16/3 N です。初めの運動量 4 kg・m/s に足すと 36 kg・m/s なので、後の速度は右向き 18 m/s です。戻して調べると 2・(18 − 2) = 32 kg・m/s です。

別解では台形の平行な辺の長さを時間方向に見ます。上底 2 s、下底 6 s、高さ 8 N として、(2 + 6)・8/2 = 32 N・s です。三角形、長方形への分割は波形が部分ごとに与えられる場合に使いやすく、台形の公式は全体が直線と平行な辺で囲まれるときに短く書けます。曲線や途中で傾きが変わる波形には、そのまま台形の公式を適用できません。

同じ 6 s と 8 N の三角形なら面積は 6・8/2 = 24 N・s です。台形の方が 8 N・s 大きく、最高値が同じという情報だけでは力積が決まらないことが見えます。この台車なら同じ初速度から三角形の力を受けた後の速度は 2 + 24/2 = 14 m/s です。両者の速度差 4 m/s に質量 2 kg を掛けると、力積の差 8 N・s に戻ります。

面積の分割は、正と負が混じる場合にも役立ちます。軸より上の部分を正、下を負として別々に数えた後で足します。力の最大値が負であるか正であるか、という言い方は曖昧になりやすいため、最大の大きさと向きを分けて書きます。接触力と合力が違うときは、他の力の面積を足してから速度に移ります。

波形を測るときの時間の刻み

学校の指導の下で、低速の台車と力センサーを用い、接触部分の材質を変えた場合の力の波形を比較する設計を考えます。衝突装置は安全な範囲で扱い、無理に大きな力を加えません。変える条件は接触部分の材質とし、台車の質量、接触前の速度、相手側の固定条件、センサーの向きと記録範囲をそろえます。材質を変えると跳ね返る速度も変化しうるため、同じ力積になるとは前提しません。

横軸を時間 s、縦軸を力 N とし、接触前の基線と接触後の基線を記録します。各条件で繰り返し測り、最大値、接触時間、符号付き面積を比べます。別途、接触前後の速度を同じ向きの符号付きで測れば、質量と速度差から運動量変化を出せます。他の水平力の力積が小さいかも検討し、センサーの面積との一致を調べます。

時間分解能が粗いと、鋭いピークを記録点がまたいでしまい、最大力を低く見積もることがあります。短い波形は面積も十分に捉えられない場合があります。細かい刻みで記録し直して、最大値と面積がどれだけ変わるか比べます。点が少ない場合には直線で結んだ台形の和を近似として使えますが、点の間の実際の波形が直線とは限りません。

センサーの零点がずれる系統誤差は、力が0の部分にも一定のずれを与えます。そのずれを長い時間で足すと、面積の誤差は大きくなります。接触前後の基線を調べ、補正の根拠を記録します。接触の中心が少しずれることや速度の測定のばらつきは、反復ごとに結果を散らす偶然誤差の例です。繰り返しのばらつきと、全測定に共通する零点の偏りを混同しないことが大切です。

開始と終了の時刻をどこに置くかも面積を変えます。小さな力を雑音として切り捨てる基準を先に決め、基準を変えた場合の差も調べます。速度測定と力の記録がずれていれば、衝突の前後を取り違えます。時間をそろえ、接触中の値ではなく前後の値を比較します。最大値だけが一致しても、時間や面積が一致した証拠にはなりません。

間違いの形から直す

図3のように、同じ高さの三角形でも底辺が 2 s と 4 s なら面積は異なります。高さがともに 6 N なので力積も等しい、という答えは、力が働く時間を落としています。前者は 6 N・s、後者は 12 N・s です。高さだけで比較せず、底辺と面積を書き込んで直します。

別の誤りは、軸の下の面積を正として加えることです。面積の大きさと力積の符号を別に書き、正方向を決めた図へ戻します。また、接触力の面積をそのまま運動量変化にする前に、他の力が働く時間と向きを点検します。重力が無視できない鉛直方向では、その力積も合計に入れます。

さらに、平均力から最大力を決める誤りもあります。同じ面積と時間を持つ波形は複数あるので、平均力だけでは山の高さは決まりません。三角形と指定された場合に限り、平均力は高さの半分です。仮定を式の横に書けば、形の異なる波形へ式を誤用しにくくなります。

練習：面積と運動量を往復する

次の5問は互いに独立です。力は指定した方向の成分で、他の力の力積は無視します。答えは整数または分数と単位で表してください。

1. 右向きを正とします。力が 0 s から 3 s まで、0 N から 4 N を経て0 Nへ直線的に変わる三角形です。力積と平均力を求めてください。
2. 質量 4 kg の物体が右向きに 3 m/s で動いています。左向きに 20 N・s の力積を受けた後の速度を求め、向きも答えてください。
3. 右向きの力が 0 s から 5 s まで働き、最初の 1 s で0 Nから 10 Nへ直線的に増え、続く 3 s は 10 N、最後の 1 s で0 Nに直線的に減ります。力積と平均力を求めてください。
4. 右向きを正とします。最初の 2 s は高さ 6 N の正の三角形、次の 2 s は大きさ 4 N の負の三角形の力が働きます。合計の力積を求めてください。
5. 質量 5 kg の物体を右向き 1 m/s から右向き 4 m/s に変えます。右向きの力が 3 s 間、0 Nから最高値に直線的に増えて0 Nに直線的に戻る三角形です。最高値と平均力を求めてください。

練習の答えと道筋

1. 底辺 3 s、高さ 4 N の三角形なので、力積は 3・4/2 = 6 N・s です。平均力は 6/3 = 2 N です。平均力を時間に掛けると 2・3 = 6 N・s となり、元の波形の面積に戻ります。頂点が底辺のどこにあっても、三角形の面積は底辺と高さで決まります。

2. 初めの運動量は 4・3 = 12 kg・m/s です。左向きの力積を -20 N・s として加えると、後の運動量は -8 kg・m/s です。速度は -8/4 = -2 m/s、つまり左向き 2 m/s です。元の速度との差に質量を掛けると 4・(-2 − 3) = -20 kg・m/s で、指定された左向きの力積に戻ります。

3. 両端の三角形はそれぞれ 1・10/2 = 5 N・s、中央の長方形は 3・10 = 30 N・s です。和は 40 N・s、平均力は 40/5 = 8 N です。平均力を5秒間に掛けた 8・5 = 40 N・s が分割した面積の和と一致します。最高値 10 N を5秒間働かせた場合の 50 N・s とは異なります。

4. 正の部分は 2・6/2 = 6 N・s です。負の部分は -2・4/2 = -4 N・s です。合計は 6 − 4 = 2 N・s で右向きです。符号付きの2つを戻して足すと、右向きの寄与が左向きの寄与より 2 N・s 大きいことが確かめられます。力の大きさの面積を足した 10 N・s は合計の力積ではありません。

5. 必要な運動量変化は 5・(4 − 1) = 15 kg・m/s です。最高値を H N とすると三角形の面積は 3H/2 N・s です。3H/2 = 15 から H = 10 です。最高値は 10 N、平均力は 15/3 = 5 N です。実際に面積を作ると 3・10/2 = 15 N・s で、これを質量で割れば速度変化は 3 m/s となり、初速に加えて 4 m/s に戻ります。

残しておきたい見取り図

力積は力と時間の符号付き面積です。 合力の力積は運動量の変化に等しくなります。 平均力は力積を選んだ時間で割ります。 最大力だけでは面積を決められません。 速度を出した後は、向きと接触条件に戻して点検します。

途中で迷ったら、まず力を受ける物体と正方向を図に書き、軸の下を負として塗り分けます。次に、接触力以外の力積を加える必要があるかを言葉で説明します。個別指導で確かめるなら、三角形の底辺を変えた図を自分で描き、面積と速度変化の両方を式で結べるか試します。計算が合っていても接触後の向きが条件に反するときは、波形の前提まで戻ります。力の波形は、時間を含めて初めて運動量の変化を語ります。