高校物理 力学 加速する座標系—慣性力を使う解法と地上からの解法を対応させる｜武蔵野個別指導塾

水平に加速する容器の振り子を、張力の成分と慣性力から同じ角度へ結び、座標系の違いを読み解く加速座標系。

よくあるのは、右へ加速する容器の中の振り子について、地上から見た運動方程式にも左向きの慣性力を加え、傾きを二重に補正する場面です。容器に対しておもりが静止していることと、地上に対して加速していることは両立します。どちらの観測者の式かを先に決めると、同じ糸の傾きに2通りの道筋でたどり着けます。

傾きが示すもの

問われ方には、加速度から糸の角度と張力を求める型、角度から加速度の向きを逆算する型、加速度が変化した直後の運動を考える型があります。いずれも、容器とおもりが同じ加速度で並進する区間なのかを最初に確認します。容器に対して静止しているという条件がなければ、傾きから直ちに加速度を決めることはできません。

ここでは容器が回転せず水平に並進し、重力加速度の大きさをgとします。糸は軽く伸びず、おもりは質点、空気の抵抗は無視します。鉛直方向には容器が加速しないものとします。傾きは鉛直下向きから測り、右向きの加速度に対して糸の下端は左へ傾きます。加速度が一定でも、任意の初期状態から直ちに静止するわけではありません。静止した配置として与えられた場合を、まず調べます。

観測者を決めて力を描く

図1のように、支点を原点として右をxの正、上をyの正に取ります。容器の地上から見た加速度を右向きにaとし、おもりは容器に対して静止しているとします。糸の張力Tはおもりから支点へ、重力mgは鉛直下向きに働きます。mはおもりの質量です。

図1の糸は鉛直から左へ角度θだけ傾いています。張力の水平成分は右向きT sin θ、鉛直成分は上向きT cos θです。地上を慣性系とみなせば、おもりの加速度の成分は(a, 0)なので、運動方程式は次のようになります。

T sin θ = ma
T cos θ - mg = 0
tan θ = a/g
T = m√(g² + a²)

2式の比を取れば質量が消えます。張力は各成分の直角三角形から求めました。aとgはともに加速度の単位を持ち、比は単位を持ちません。a = 0なら糸は鉛直でT = mgとなり、aが大きいほど糸は左へ傾きます。有限のaと正のgではTは正で、糸が押すという不適切な解にはなりません。

一方、容器に固定した座標系は地上に対して加速しているため、そのままでは通常の運動方程式を使えません。容器から見た加速度を地上から見た加速度から容器の加速度を引いたものとします。地上での式ma地上 = 実際の力の合計に、a地上 = a容器 + aを代入し、maを左辺から右辺へ移すと、容器から見た式の右辺に左向きのmaが現れます。これを慣性力と呼びます。

慣性力は容器から見た運動を記述するための項で、糸や地球が及ぼす新たな接触力ではありません。図1のおもりに左向きmaを補えば、容器に対して静止したおもりには水平方向にT sin θ − ma = 0、鉛直方向にT cos θ − mg = 0が成り立ちます。地上の式と同じ結果ですが、地上の式の右辺maと容器の式の左向き慣性力を同時に使ってはいけません。

容器から見た速度が0でなくても、並進する座標系なら同じ変換が使えます。ただし容器から見た加速度が0とは限らず、力の合計を0と置けません。また容器が回転する場合はこの単純な式だけでは足りず、ここでの結論をそのまま適用できません。

基本例題：一定の加速度で傾く糸

容器が右へ一定の加速度3.0 m/s²で動き、質量2.0 kgのおもりが容器に対して静止しています。重力加速度は10 m/s²とします。糸と鉛直の角の正接、および張力を求めてください。答えは正接を分数、張力を根号を用いてNで表します。値は計算用の条件です。

図2のように実際の力は張力と重力です。おもりは地上から右へ3.0 m/s²で加速しているので、水平成分は6.0 N、鉛直成分は20 Nです。

T sin θ = 2.0・3.0 = 6.0 N
T cos θ = 2.0・10 = 20 N
tan θ = 6.0/20 = 3/10
T = √(6.0² + 20²) = 2√109 N

図2の張力は右上向きです。答えを戻すと水平成分6.0 Nを質量2.0 kgで割って3.0 m/s²、鉛直成分20 Nと重力20 Nの差は0です。容器から見る方法では左向き6.0 Nの慣性力を加え、3つの力の合計を0と置きます。両方の式は同じ成分を表しています。

標準例題：傾きから加速度を逆算する

水平に並進する容器内で、質量0.50 kgのおもりが容器に対して静止し、糸は鉛直から右へ傾いています。角度θについてsin θ = 3/5、cos θ = 4/5です。g = 10 m/s²として、容器の加速度の向きと大きさ、張力を求めてください。加速度は分数でm/s²、張力は分数でNとします。

糸が右へ傾くので、張力の水平成分は左向きです。ほかに水平の実際の力はないため、地上から見た加速度も左向きです。鉛直成分からT・4/5 = 5.0 NなのでT = 25/4 Nです。水平成分はT・3/5 = 15/4 Nであり、質量で割ると加速度の大きさは15/2 m/s²です。

容器から見れば右向きの慣性力が張力の左向き成分とつり合います。答えを戻すと、鉛直成分は5 N、水平成分は15/4 Nで、後者は0.50 kgに左向き15/2 m/s²を与えます。傾きの向きと加速度の向きを同じにしないことが、この逆算の要点です。

発展例題：加速度が切り替わる瞬間

右向きに6.0 m/s²で一定加速する容器に、質量1.0 kgのおもりが糸でつられ、容器に対して静止しています。ある瞬間に容器の加速度が0になり、その後は等速直線運動を続けます。切り替え直後の糸の角度は変わらないものとし、g = 8.0 m/s²とします。その瞬間の張力と、おもりの接線方向の加速度を求めてください。張力はN、加速度はm/s²で、小数第1位まで表します。接線の正方向は糸の下端が鉛直下方へ近づく向きです。

切り替え前のつり合いからtan θ = 6/8 = 3/4、したがってsin θ = 3/5、cos θ = 4/5です。切り替え時に位置と速度は連続で、おもりの容器に対する速度は直後も0です。しかし加速度は切り替わり、静止を続けるとは限りません。

切り替え後の容器は等速なので、その座標系も慣性系です。糸の方向の加速度は、直後の相対速度が0であるため0です。糸の方向に重力を分解すると、T = mg cos θ = 6.4 Nです。接線方向には張力が成分を持たず、重力の成分mg sin θが働くので、加速度は鉛直下方へ近づく向きに4.8 m/s²です。

地上からの別解では、切り替え直後の支点とおもりの速度が等しいことを使います。両者の相対速度が0なので、糸の方向の相対加速度は0です。支点の加速度も0だから、おもりの糸方向の加速度は0となり、同じ張力と接線加速度が得られます。張力6.4 Nは正で糸の条件に合い、接線方向の力4.8 Nを質量で割ると4.8 m/s²に戻ります。この結果は切り替え直後の値であり、その後の角度や速度が変わった時刻にも固定して使うことはできません。

傾きの測定を設計する

学校の指導の下、透明な容器に短い糸とおもりを取り付けた台車を、安全に停止できる範囲で動かすことを考えます。台車の加速度を独立に変え、容器に対する糸の角度を測定量とします。一定加速度が続く区間を選び、その区間で糸の振れが十分小さい状態を観察します。加速開始時の揺れが大きいなら、その画像を静止のデータとして採用しません。

同じ糸とおもり、支点、水平な走路、撮影方向をそろえ、各条件を繰り返します。台車の位置を一定間隔で記録し、速度の時間変化から加速度を推定します。角度は複数時刻の画像で読み、振れが残るときはその範囲も記します。容器の壁とおもりが接触した記録や加速度が一定でない区間は、単純な式の検証から外し、理由を記録します。

横軸を加速度a、単位をm/s²、縦軸をtan θとすると、理想条件では傾き1/gの原点を通る直線です。例えば練習用にg = 10 m/s²とし、aが0、2、4 m/s²のときtan θが0、0.2、0.4となる点は、実測でなく式から作ったデータです。直線の傾きは0.1 s²/mです。直線からのずれだけで法則の成否を決めず、加速度と角度の両方の不確かさを調べます。

カメラが斜めに置かれると傾きが一方向にずれる系統誤差が生じます。鉛直の基準線を同じ画面に入れて撮影方向を調整し、視差を小さくします。画像ごとの読み取りや残った振れは偶然誤差になり、繰り返しで散らばりを評価できます。支点の摩擦や台車の上下動は理想化からのずれで、回数を増やすだけでは消えません。加速度0でも切片が残る場合は鉛直基準のずれを疑い、原点を無理に通す前に装置を点検します。

二重に数えた式を修理する

図3のように右へ加速する容器で、地上から見た式をT sin θ − ma = maと置く誤りを考えます。左辺に容器から見た慣性力を入れ、右辺に地上から見た加速度を残したため、同じ加速の効果を2回入れています。この式からtan θ = 2a/gとすると、実際より大きい傾きを予測します。

図3で式の左右に添えた観測者をそろえましょう。地上ならT sin θ = ma、容器ならT sin θ − ma = 0です。鉛直方向はどちらもT cos θ = mgです。加速度の向きを逆にした場合も、慣性力は容器の加速度と逆向きに変わります。速度が右向きという情報だけでは加速度の向きは決まらない点にも注意します。

練習：視点を選んでから計算する

各問でg = 10 m/s²、糸は軽く伸びず、空気の抵抗を無視します。容器は回転せず水平に並進し、指定のない限りおもりは容器に対して静止しています。答えは指定された形で表し、数値は自作の計算条件とします。

1. 質量3 kgのおもりをつるした容器が左へ4 m/s²で加速します。糸の傾く向きと鉛直からの角の正接を分数で求めてください。
2. 容器が右へ一定加速度で動き、糸が左へ傾いてtan θ = 1/2です。加速度を整数でm/s²、質量2 kgのおもりの張力を根号を用いてNで求めてください。
3. 容器が右へ一定加速度で動き、質量1 kgのおもりへの張力が10√2 Nです。張力の水平成分を整数でN、加速度を整数でm/s²とし、向きも答えてください。
4. 容器が左へ一定加速度7 m/s²で動きます。質量4 kgのおもりに対して、容器から見た慣性力と実際の張力の水平成分を、それぞれ整数でNと向きで答えてください。
5. 糸が鉛直から左へ傾き、sin θ = 5/13、cos θ = 12/13です。質量1.2 kgのおもりが容器に対して静止しています。加速度を分数でm/s²、張力を整数でNとし、加速度の向きも答えてください。

練習の解答と照合

1. 張力の水平成分は左向きなので、おもりは支点の右にあります。地上の式はT sin θ = 3・4、T cos θ = 3・10です。よってtan θ = 12/30 = 2/5、糸は右へ傾きます。比にgを掛けると4 m/s²に戻り、左向きの張力成分も指定の加速度と一致します。

2. a/g = 1/2よりa = 5 m/s²で右向きです。張力の成分は水平10 N、鉛直20 Nなので、T = √(10² + 20²) = 10√5 Nです。水平成分10 Nを2 kgで割れば5 m/s²、鉛直成分は重力20 Nと一致します。

3. 鉛直成分はmg = 10 Nです。水平成分の大きさは√((10√2)² − 10²) = 10 Nです。右向き10 Nを1 kgで割ると、加速度は右向き10 m/s²です。成分の二乗の和は100 + 100 = 200で、張力10√2 Nを再現します。

4. 慣性力の大きさはma = 4・7 = 28 Nで右向きです。容器内では水平につり合うため、張力の水平成分は左向き28 Nです。地上から見ても28 Nを4 kgで割れば左向き7 m/s²となり、条件に戻ります。

5. 鉛直方向からT・12/13 = 1.2・10 = 12 Nなので、T = 13 Nです。水平成分は13・5/13 = 5 Nで右向きです。加速度は5/1.2 = 25/6 m/s²、右向きです。13 Nの鉛直成分は12 N、水平成分は5 Nとなり、重力および質量と加速度の積を再現します。

手元に残す要点

• 容器内で静止していても、地上からは容器と同じ加速度を持ちます。
• 地上では実際の力だけを用い、容器の座標系では逆向きの慣性力を加えます。
• 水平加速度aと鉛直からの傾きθにはtan θ = a/gが成り立ちます。
• 静止の条件が崩れる瞬間には、容器から見た加速度も計算します。

どこで立ち止まったか

まずおもりを丸で描き、実際に作用する力と観測する座標系を声に出して説明してみてください。次に加速度の矢印を地上と容器のそれぞれに描き、水平の式の左右が同じ観測者の量かを確かめます。個別指導で式を点検するときも、慣性力をどの座標系に加えたか、糸の張力が支点を向くかを図と一緒に示せます。傾きの理由は、観測者を固定した式の中で明確になります。