高校物理 力学 等加速度運動の導出—時間を消す式と実験の直線化をつなげて考える｜武蔵野個別指導塾

動き始めている台車の速度と時間のデータから、切片を残す直線化と原点を通す条件をたどり、式の意味から等加速度を導きます。

よくあるのは、すでに走っている台車の測定を始め、高校生が速度と時間の点を結ぶ近似直線を原点へ通す場面です。測定開始を時刻0にしても、台車がその瞬間に静止していたとは限りません。原点を通すかどうかは、軸の名前ではなく初期条件と測定方法で決まります。

等加速度運動の式は、この初期条件を残して導けます。速度と時間の図から変位を求め、時間を消した関係までつなぎましょう。最後に測定値を直線に表すとき、直線の傾きと切片がそれぞれ何を表すかを調べます。

何が与えられ、何を消したいか

典型的な問いの1つは、初速度と加速度、経過時間から速度と変位を求めるものです。時間の原点を選び、正方向を決めてから、それぞれの量に符号を付けます。加速度が一定であることは、測定開始から求めたい時刻までの区間に必要です。

もう1つは、時間が示されず、位置と速度を結び付けるものです。時間を消した式は便利ですが、途中で向きが変わることも許す一方、変位と道のりの区別は残ります。さらに測定点から加速度を推定する型では、速度を縦軸、時刻を横軸に取った直線の傾きが手掛かりです。点が直線に近いことだけでは、原点を通る根拠にはなりません。

速度の直線から変位を作る

一直線上の位置をx、測定開始時の位置をx₀とします。正方向は任意ですが、一度決めたら位置、速度、加速度に共通して使います。経過時間をt、初速度をv₀、時刻tの速度をv、一定の加速度をaとすると、加速度の定義は速度の変化を時間で割ったものです。したがって、tが正なら次の式が成り立ち、t = 0でも初期条件に一致します。

a = (v - v₀)/t
v = v₀ + at

vとaはここでは選んだ軸に沿う符号付きの成分です。例えば正向きに進みながら速度が減る場合、vが正でもaは負です。速度の絶対値が速さであり、速度そのものとは区別します。加速度0も一定の加速度の一例で、そのとき速度は変わりません。

図1のように、速度と時間のグラフが時間軸より上にある区間では、直線と時間軸の間の面積が正向きの変位です。長方形と三角形に分けると、底辺はいずれもt、高さはそれぞれv₀とatです。速度が負になる部分では面積を負として加えると、往復しても位置の変化を表せます。面積の絶対値を足した道のりとは異なります。

図1の2つの面積を足すと、Δx = x − x₀として次を得ます。最初の式は平均速度が始めと終わりの速度の平均であることも示します。これは速度が時間に対して直線的に変化する場合の結果です。

Δx = (v₀ + v)t/2
Δx = v₀t + at²/2
x = x₀ + v₀t + at²/2

時間軸を横切るときも、速度をv₀とatの和に分けて符号付き面積を計算すれば同じ式になります。折り返しを越えた区間で台形の図をそのまま正の面積として読むと、道のりと混同します。式を使う前に、求める量が位置の差か移動距離かを確認します。

次に時間を消します。速度の式の両辺からv₀を引き、変位の式に2aを掛けます。積の形にしてからv − v₀ = atを使えば、aで割らずに導けます。

2aΔx = 2av₀t + a²t²
2aΔx = (at)(2v₀ + at)
2aΔx = (v - v₀)(v + v₀)
v² - v₀² = 2aΔx

時間を消した式はa = 0でも成立し、v² = v₀²となります。ただし、二乗した速度には向きの情報が残りません。vを平方根で求めるときは、運動の向きと時刻を別に確認します。この式は時間に関する情報を捨てた関係なので、到達時刻やどちら向きに通過するかは単独では決められません。

次元を見れば、v²とaΔxはいずれもm²/s²です。t = 0なら速度はv₀、変位は0に戻ります。aが負で正向きの台車が減速する場合、正の変位に対してv²が小さくなることも符号と整合します。これらは式の誤りを見つける点検ですが、条件を置いた導出の代わりにはなりません。

基本例題：走行中から時計を始める

直線上を正向きに走る台車を、ある瞬間から観測します。その瞬間の速度は2 m/s、以後の一定加速度は1 m/s²です。3 s後の速度を整数、この間の変位を分数で、単位を付けて求めてください。測定開始位置を0 mとします。

図2のように、速度時間図の縦切片は2 m/sです。開始時刻が0 sだからといって速度を0にしないことが、立式の出発点です。

v = 2 + 1・3
v = 5 m/s
Δx = 2・3 + 1・3²/2
Δx = 21/2 m

変位は分数で21/2 mです。図2の長方形の面積は6 m、三角形は9/2 mなので、合わせて21/2 mとなります。速度の平均は(2 + 5)/2 = 7/2 m/sですから、これに3 sを掛けても同じ変位です。速度は整数、変位は厳密な分数で示しました。

時間を消した式に戻すと、5² − 2² = 21、2・1・(21/2) = 21です。3 sは正であり、区間内の速度は2 m/sから5 m/sまで正なので、変位は道のりにも等しくなります。式が合うかに加え、観測した3 sの走行へ答えを戻せています。

標準例題：時間を出さずに速さを比べる

直線上の滑らかな区間を正向きに進む小車の速度が、ある点で3 m/sです。その後、加速度2 m/s²を一定に保って7 m進みます。終点での速さを根号と単位で求めてください。運動はその区間を通じて正向きです。

時間を消した式を使い、初めと終わりの位置の差を7 mとします。

v² - 3² = 2・2・7
v² = 37
v = √37 m/s

速さは√37 m/sです。正確な答えを根号で表します。根号を途中で丸めず、二乗して37に戻ることを確認します。

別解では、7 = 3t + t²からt = (√37 − 3)/2 sを得て、v = 3 + 2tに代入します。負の根は観測開始より前の時刻に当たり、求める区間の到達時刻ではありません。正の根を元の変位式へ代入すると7 mになり、終点の速度は正です。時間を消す方法は短く、時間を残す方法は到達時刻と向きを確かめやすいという違いがあります。

発展例題：折り返す位置と通過時刻

直線上の模型車が位置0 mを正向きの速度6 m/sで通過し、その後の加速度は一定で-2 m/s²です。位置8 mを通る時刻と、その時の速度をそれぞれ整数と単位で求めてください。ただし、考える運動は位置0 mを通過した時刻から6 s間続きます。

位置の式はx = 6t − t²です。x = 8を代入して整理します。

8 = 6t - t²
t² - 6t + 8 = 0
(t - 2)(t - 4) = 0
t = 2 s, 4 s

2つとも指定区間内の正の時刻です。v = 6 − 2tへ戻すと、順に2 m/s、-2 m/sです。位置にも戻すと、2 sでは12 − 4 = 8 m、4 sでは24 − 16 = 8 mとなります。途中の3 sで速度が0になり、位置9 mで折り返すため、同じ位置を往路と復路で通ります。

別解は時間を消した式です。v² − 6² = 2・(-2)・8からv² = 4となり、速度の候補は2 m/sと-2 m/sです。それぞれを速度の式に戻して2 sと4 sを得ます。二乗の式から正の根だけを選べば復路が消えますし、両方の符号を機械的に採用すれば指定区間外の候補を混ぜる場合があります。候補を出した後に時刻、位置、運動区間へ戻すことが必要です。

位置9 mより先の点に同じ式を適用するとv²が負になり、実数の速度が得られません。これは負の速さを意味するのではなく、この条件の運動ではその位置に到達しないという判定です。逆に位置9 mでは2つの通過時刻が重なり、速度は0です。加速度はそこで0になるわけではなく、引き続き-2 m/s²です。

測定点を直線にするときの条件

台車の運動を安全に観察できる装置を学校の指導の下で使い、位置と時刻を記録することを考えます。測定区間の始めに台車がすでに動いていてもかまいません。繰り返す測定では、走路、台車、押し出し方、時刻の定義をそろえ、測定開始時刻からの経過時間を独立変数に取ります。位置の差から区間の平均速度を求める場合は、その値を区間の中点の時刻に対応させます。等加速度なら中点の瞬間の速度と区間平均速度は等しくなります。

例えば練習用の自作データとして、時刻0、1、2、3 sに対応する速度を1、3、5、7 m/sとします。横軸をt（s）、縦軸をv（m/s）に取ると、傾きは2 m/s²、縦切片は1 m/sです。切片を自由にした直線v = 1 + 2tが4点を通ります。これは初速度を含むモデルの例であり、実測の報告ではありません。

一方、v = ktという原点を通るモデルをあらかじめ選び、この4点の縦方向のずれの二乗の和を最小にすると、k = 17/7 m/s²です。真の傾き2 m/s²とは異なります。時刻0の点はそのモデルでは再現できず、初速度を傾きへ押し込むためです。測定誤差があればどちらの直線も点を完全には通らないことがありますが、それだけで初速度を0と置けません。

原点を通す形が妥当なのは、例えば独立に静止状態を確認し、速度と時刻の原点をその静止の瞬間に合わせた場合です。あるいは初速度を別に測り、縦軸をvそのものから速度変化v − v₀に変えると、理想条件ではv − v₀ = atとなり原点を通ります。ただし共通のv₀測定に誤差があれば、各点の差にも同じずれが入り得ます。原点を通す処理そのものが誤差を消すわけではありません。

位置の測定をtとΔxのグラフにすると、加速度が0でない場合は一般に曲線です。tが正の点についてΔx/tを縦軸、tを横軸にすれば、Δx/t = v₀ + at/2という直線になり、切片がv₀、傾きの2倍がaです。t = 0では0で割るため、この点は計算できません。切片は正の時刻の点から外挿する推定値であり、遠くまで外挿すれば不確かさが増えます。横軸をt²、縦軸をΔxとするだけでは、初速度の項v₀tが残り、一般には直線になりません。

位置の目盛りの読み違いや画像の位置決めのばらつきは、繰り返すごとに変わる偶然誤差の例です。複数回測って散らばりを見れば、その影響を評価できます。目盛りの尺度が一様にずれる誤差や時計の進み方のずれは、同じ向きに結果を偏らせる系統誤差の例です。反復の平均だけでは取り除けないので、尺度や時計を別の方法で照合します。

時間間隔を短くすると変化の追跡は細かくなりますが、近い2位置の差が小さいため位置読み取り誤差の影響が速度に大きく出ることがあります。長い区間ではその影響が減っても、加速度が一定でない部分を平均してしまうかもしれません。区間幅を変えて傾きが安定するか、残差が時間とともに偏らないかを調べます。残差は測定値から近似直線の値を引いた差です。曲がった並びが残るなら、一定加速度の仮定や測定方法を再検討します。

原点へ寄せた誤答を直す

図3のように、初速度を持つデータの直線を原点に結び、「傾きが加速度だから、この傾きが正しい」とする誤答を考えます。傾きが加速度という対応は正しいのですが、直線を原点へ固定する根拠が欠けています。切片を消す操作はモデルの変更であり、線の引き方の見た目の調整ではありません。

図3では測定点が切片のある直線上に並びます。正しい読み方は、時間0での速度を縦切片として残し、離れた2点の速度差を時間差で割ることです。測定点が散らばる場合は、それらの傾向を表す直線と残差を調べます。原点を通る線を引いても近く見える短い区間では、切片の推定が難しい場合があります。そのときは測定範囲や初速度の独立測定を見直します。

別の誤りは、v² − v₀² = 2aΔxを使って、v²が同じなら通過する向きも同じとすることです。二乗は符号を消すので、正負両方を候補に残して速度の式や運動の経過へ戻します。また、変位に道のりを代入すると、折り返した後の位置を過大に扱います。始点と終点の座標差を書き出せば修正できます。

手を動かして確かめる5問

いずれも一直線上の等加速度運動です。答えは指示された形で、単位を付けてください。

1. 正向きの初速度4 m/s、加速度3 m/s²の物体について、2 s後の速度と変位を整数で求めてください。
2. 正向きに2 m/sで進む物体が一定加速度6 m/s²で4 m進みます。終点の速度は正です。終点の速さを根号で求めてください。
3. 初速度10 m/s、加速度-2 m/s²の物体が、出発位置から21 mの位置を通る2つの時刻を整数で求めてください。運動は出発から8 s続きます。
4. 速度を縦軸、時刻を横軸に取ると、直線が(1 s, 5 m/s)と(4 s, 11 m/s)を通ります。加速度と時刻0の速度を整数で求めてください。
5. 正の時刻においてΔx/tを縦軸、tを横軸に取った直線が(2 s, 5 m/s)と(6 s, 9 m/s)を通ります。初速度と加速度を整数で求め、時刻6 sまでの変位も整数で求めてください。

5問の答えと戻し方

1. 速度はv = 4 + 3・2 = 10 m/s、変位はΔx = 4・2 + 3・2²/2 = 14 mです。平均速度(4 + 10)/2 = 7 m/sを2 s続けると14 mとなり、与えられた時間と始終の速度に戻ります。速度は区間中ずっと正なので道のりも14 mです。

2. v² = 2² + 2・6・4 = 52より、速さは2√13 m/sです。正確な値を根号で示します。二乗すると52であり、(52 − 4)/(2・6) = 4 mと元の変位に戻ります。終点の速度が正という条件で正の根を選びます。

3. 21 = 10t − t²より、t² − 10t + 21 = 0です。(t − 3)(t − 7) = 0なので3 sと7 sです。いずれも指定区間内で、位置に戻すと30 − 9 = 21 m、70 − 49 = 21 mです。速度は順に4 m/s、-4 m/sで、5 sの折り返しを挟みます。

4. 傾きは(11 − 5)/(4 − 1) = 2 m/s²です。v = v₀ + 2tに(1 s, 5 m/s)を代入してv₀ = 3 m/sです。4 sでも3 + 2・4 = 11 m/sとなり、与えられた2点に戻ります。直線の切片が0でないため、原点を通す条件はありません。

5. 縦軸の傾きは(9 − 5)/(6 − 2) = 1 m/s²です。これがa/2なのでa = 2 m/s²、切片は5 − 1・2 = 3 m/sでv₀ = 3 m/sです。6 sまでの変位は3・6 + 2・6²/2 = 54 mです。54/6 = 9 m/sで与えられた縦座標に戻り、2 sでもΔx = 10 m、Δx/t = 5 m/sとなります。

残しておきたい関係

• 等加速度ならv = v₀ + at、Δx = v₀t + at²/2です。
• 時間を消すとv² − v₀² = 2aΔxです。
• 速度時間図の傾きは加速度、符号付き面積は変位です。
• 切片が0かどうかは初期条件と軸の定義で決まります。

式を選ぶ前に、測定開始時の速度と位置、正方向を書けるか確かめてください。二乗の式から速度を求めた後は、正負の候補を時間と運動区間に戻せるかも見ます。個別指導で考えを点検するときは、速度時間図に切片を描き、傾きと面積をそれぞれ言葉と式で説明すると、どこで符号や初期条件を落としたかが見えてきます。初速度を残した直線が、走り始める前からの台車の運動を正しくつなぎます。