武蔵野個別指導塾の特徴

高校地理統計表の欠測と丸め—ゼロと未観測を区別して集計できる範囲を判断する｜武蔵野個別指導塾

公開 2026.11.13更新 2026.11.13武蔵野個別指導塾の特徴地理を掘り下げる地図と資料の読み取り

空欄を0として足す前に、非該当との違いや四捨五入の幅を読み、集計の判断を支えるのが欠測と丸めです。

よくあるのは、高校生が地理の統計表で値のないセルをすべて0に置き換え、表に並ぶ値を足し合わせる場面です。計算は最後まで進んでも、観測されなかった値まで0だったとは言えません。資料が示すのは何か、どのセルには数を入れられないのかを先に仕分けると、答えに書ける範囲が見えてきます。

表の空欄が問う判断

資料問題では、まず値のない欄の意味を凡例や注記から選ぶことがあります。0と表示されていれば、定義に従って測った量が0なのか、表示桁に丸めた結果なのかも確かめます。空欄の見た目だけでは、未観測と非該当のどちらかを決められません。資料ごとに記号の意味が異なり得るため、別の表で覚えた意味を持ち込まないことが出発点です。

次に、合計や平均を求められるかが問われます。欠測があるとき、わかっている分の合計は求められても、対象全体の合計は一般には一意に決まりません。非該当の欄は、集計したい対象や指標にその欄が含まれるかを考える必要があります。計算機に入れる前に、何の合計かを言葉にします。

さらに、表示された数を足した結果と、丸める前の値を足してから表示した結果との違いを説明する問題があります。どちらかを無条件に正しいと決めず、何をいつ丸めたのかを追います。以下の数値は計算の仕組みを学ぶための数学上の条件であり、地域の観測値や実在の統計表ではありません。

値の状態と表示の幅を分ける

図1のように、0、欠測、非該当は別の状態です。ここで欠測は、対象となる量の値が得られていないこと、非該当は、その欄に当該の指標を適用しないこととします。実際の資料では、記号や空欄の意味をその資料の凡例で確認してください。数字の0が観測値の0なのか、丸めによる表示なのかも注記に従います。

たとえば測定の結果が厳密に0であると与えられた欄は、数として合計に加えられます。一方、測るはずだった欄が欠測なら、実際の値が0かどうかは不明です。非該当の欄には、そもそもその指標を適用しないという条件があるので、測定結果の0と同じ意味にはなりません。集計対象外にできるかは、集計の定義を確認して決めます。

ある資料に欠測があっても、既知の欄についての合計は求められます。ただし対象全体を求めたつもりで、既知の欄だけの合計を答案に書くと、集計の範囲が変わっています。欠測値が非負だと条件にあれば、既知の値の合計は全体の下限になります。それでも、その値が全体と等しいとは限りません。値に上限が与えられていなければ、全体の上限も決められません。

平均は合計と個数の両方で範囲をそろえます。観測できた欄だけの平均なら、その欄の合計を観測できた欄の数で割れます。対象全体の平均を求めるのに、欠測欄を分母に含めて分子には0を入れると、欠測値を0と仮定した計算になります。その仮定が与えられていなければ、対象全体の平均とは書けません。

丸めは、細かい桁を一定の規則で省いて表示する操作です。非負の値を小数第1位で四捨五入して整数で表示したとします。表示が8なら、元の値は7.5以上8.5未満です。下端の7.5は8に丸められますが、上端の8.5は9に丸められるので含めません。表示が0でも、元の値が必ず厳密に0とは限らず、条件が非負なら0以上0.5未満の可能性があります。

同じ整数表示でも元の値には幅があります。したがって、表示値を足した値を「表示値の合計」と呼び、元の値の合計とは区別します。集計済みの元の合計を最後に丸める場合には、各欄の表示値を足した結果と食い違うことがあります。表示桁だけでは元の小数を復元できないので、食い違いを見ただけで転記ミスと断定することもできません。

表に付く注記を読む順番

統計表の1欄を読むときは、まず何を数えた値か、対象は何か、単位は何かを見ます。次に、注記で欠測や非該当をどのように表示しているかを探します。表の記号が別の資料でも同じ意味とは限らないので、記号を見た瞬間に数へ変換しません。同じ表の中でも、空欄の意味が注記で分けられている場合は、その区別に従います。

値が公表されていないことと、対象が存在しないことも同じではありません。資料によっては、値が得られていても表示されない欄があります。その理由や扱いは資料の注記から読み取り、見た目から未観測と断定しないようにします。凡例が手元になければ、その欄の意味を保留したまま、必要な説明を探すのが適切です。

記号の意味が確認できたら、何を集計対象にする問いかに戻ります。対象外の欄を除いた結果でも、対象を明記しなければ、表の全欄を集計した答えと読み違えられます。反対に、対象内の欠測を取り除いて観測済みの欄だけで計算するなら、その結果は観測済みの欄に限ると示します。処理した後の数字に、元の問いの名前をそのまま付けないことが大切です。

幅を足す前に条件を確認する

表示から元の値の幅を考えるとき、丸め方と表示する桁が必要です。四捨五入ではなく切り捨てなら、同じ表示でも元の値の幅は変わります。小数第1位まで表示された値と整数まで表示された値でも、境界が変わります。したがって数字の桁だけを見て規則を決めず、注記に示された表示方法を読みます。

複数の欄の元の合計の範囲を求める場合は、それぞれの幅の下端どうし、上端どうしを足します。ただし、欄の間に別の制約があるなら、その制約も使います。たとえば2欄の合計が別途厳密に与えられていれば、各欄の幅を独立に考えただけの範囲より、可能な合計が絞られることがあります。問題の条件を増やしたり捨てたりせずに判断します。

幅の端が答えに入るかも確認します。各欄が下端を取れる条件なら、同時に下端を取れる場合に限り、下端どうしの合計を取れます。上端についても同様です。値どうしに関係がある場合は、端を同時に取れるかどうかを別に調べます。表された桁から求めた幅は、元の値そのものを知ったことにはなりません。

基本例題：欠測欄を含む合計

次は数の扱いを学ぶ自作の条件です。4つの欄は同じ指標と単位で、厳密な値が順に12、0、欠測、8です。欠測欄の値は非負ですが、上限は与えられていません。対象は4欄です。既知の欄の合計と、対象全体の合計について言えることをそれぞれ整数の条件で答え、理由を1つ添えてください。欠測欄の値そのものが整数とは限らないものとします。

図2は、0は足せても欠測欄は数に直せないことを示しています。式を完成させる前に、何が不明なのかを残します。

与件：4欄のうち、3欄は12、0、8、残る1欄は非負で欠測です。

単位：3つの既知の値は同じ単位なので、そのまま足せます。欠測欄も同じ単位ですが、値はわかりません。

根拠：観測された0は既知の数です。欠測を0に決める根拠は与えられていません。

操作：12と0と8を足すと20です。欠測欄を未知の数として残すと、全体は20にその未知の数を加えた量です。

答案：既知の欄の合計は20です。対象全体の合計は20以上ですが、上限も正確な値も決まりません。欠測欄が非負で、その上限が与えられていないためです。

場面への戻し：欠測欄が0なら全体は20、3なら全体は23です。どちらも非負という条件に合い、元の既知の3欄を変えません。異なる全体が成り立つため、全体を20と決めることはできません。未知の数が整数とは限らないので、20より大きい全体も整数に限られません。

もし問題が既知の欄の平均を求めるなら、分母は3です。20を3で割った20/3がその平均です。これは観測できた欄についての答えであり、4欄全体の平均ではありません。どの欄を対象にしたかまで書くと、分母の意味が伝わります。

標準と発展：合計を作る順序

標準例題：表示の合計と元の合計

非負の2つの数をそれぞれ小数第1位で四捨五入し、整数で表示したところ、表示は6と9でした。元の2数は不明です。表示値の合計を整数で答え、元の2数の合計の範囲を不等号で答えてください。さらに、元の合計を小数第1位で四捨五入した整数が、表示値の合計と必ず等しいか、理由とともに答えてください。

表示値の合計は6と9を足した15です。6と表示された元の数は5.5以上6.5未満、9と表示された元の数は8.5以上9.5未満です。それぞれの下端を足すと14、上端を足すと16ですから、元の合計は14以上16未満です。下端は両方同時に取れますが、上端は各値がその端を含まないため取れません。

表示値の合計と、元の合計を丸めた数は必ずしも一致しません。元の数が5.6と8.6なら表示は6と9ですが、元の合計14.2を整数に丸めると14です。元の数が6.4と9.4でも表示は6と9で、合計15.8を丸めると16です。いずれも各欄を丸め直すと元の表示に戻るので、2通りの結果が問題の条件を満たします。

元の合計が15ちょうどの場合もあります。つまり表示の合計15は、元の合計が必ず15だった証拠ではありません。表の合計欄が各表示値の和なのか、丸める前の値を合計して表示したものなのか、注記の確認が必要です。元の桁が示されていなければ、特定の小数を事実として書くことはできません。

発展例題：非該当と欠測を含む平均

5つの欄のうち、ある指標の集計対象はA、B、C、Dの4欄です。Eはその指標が非該当で、対象外とします。A、B、Cの厳密な値はそれぞれ4、7、10、Dは欠測で0以上8以下です。全欄は同じ単位です。対象4欄の平均が取り得る範囲を、端を含むか示す不等号で答えてください。また、Dを0と決めて得た平均を唯一の答えにできない理由を1つ書いてください。

対象は4欄なので、Eを分母に入れません。既知の3欄の合計は21で、Dが0以上8以下ですから、4欄の合計は21以上29以下です。4で割ると平均は5.25以上7.25以下です。Dの両端が条件に含まれるので、平均の両端も含みます。

Dを0とする5.25は、条件に合う平均の1つです。しかしDが8でも条件を満たし、平均は7.25です。掛け戻すと、それぞれ4欄の合計21と29に戻ります。既知の合計21を引けばDは0と8になり、元の範囲と一致します。異なる答えが条件を満たすため、5.25を唯一の平均にはできません。

対象外のEを0とみなして5で割るのも誤りです。対象4欄の平均という問いに対して、Eを加えた別の集合の平均を計算しているからです。もしEが対象に含まれるのに測定されなかった欄なら、非該当ではなく欠測として扱い直します。ここではEが対象外であるという与件が、分母を決める根拠です。

条件を変えると何が変わるか

発展例題でDの上限が示されなかったなら、平均の上限もこの与件からは求まりません。Dが非負という条件までなくなるなら、Dが取り得る値に応じて平均の下限も変わります。既知の合計21だけから、残りの欄が非負であると推測してはいけません。どの条件を使って下限を出したのかを式の横に書いておくと、条件が変わったときに計算を直せます。

また、Dの値だけを知っても、丸められた表示値であるなら、発展例題のような厳密な平均が必ず求まるわけではありません。各欄が厳密な値か、ある桁までの表示値かをそろえて考える必要があります。対象の仕分けと表示の精度は別の確認です。対象が正しく選べても、表示値を元の厳密な値と混同すれば、結論の精度を過大に言うことになります。

地理の資料では、表から説明文を作るときにもこの区別が生きます。たとえば欠測を含む表から既知の欄の合計を求めた場合、その数を根拠に対象全体の大小を断言できるとは限りません。比較したい双方に欠測があり、しかも欠測の範囲が示されていなければ、既知の部分の大小だけで全体の大小は決まりません。表に示された範囲までを述べ、足りない条件を添えます。

誤答から原因をたどる

図3は、欠測を勝手に0へ変えてしまう流れと、未知のまま残す流れを並べたものです。欠測の値を埋める操作は、計算を進めやすくしますが、新しい条件を付け加えています。

基本例題で「12と0と0と8を足すので、全体は20」と答えた場合、原因は2つの0を同じ根拠で書いたことです。実際に0と与えられた欄と、値が得られていない欄は異なります。修正すると「既知の合計は20、全体は20以上で一意には決まらない」です。欠測欄に0以外の非負の数を入れても条件を満たすことを確かめれば、元の誤答がなぜ狭すぎるか説明できます。

別の誤りは「空欄があるので、どんな計算もできない」という答えです。未知の欄を含む全体は決まらなくても、既知の3欄を対象にした合計は求められます。問いの対象を限定し、何を計算したのか明記すればよいのです。欠測の存在だけで計算をすべて止めるのではなく、求められる部分と求められない部分を分けます。

丸めに関しては「表示が0だから元の値も0」と決める誤りがあります。表示の規則を確認し、元の値が取り得る幅へ戻してください。また、端点を両方含めると、境界の値を丸め直したとき隣の整数になってしまう場合があります。四捨五入の境界は、実際に丸め直して含むかどうかを点検します。

実際の表で記号の凡例が見つからない場合、空欄の意味を推測して数字を入れず、資料の注記や公表元の説明を確かめます。欠測の範囲を示す条件がなければ、発展例題のような上下限も勝手には作れません。判断に必要な条件が不足していること自体を答案に書く練習が役立ちます。

確かめる5問

以下の数値はすべて数学上の与件であり、地域の観測統計ではありません。数値が厳密と書かれた欄は丸められていないものとします。問題を読んでから、後の解答で範囲と根拠を照合してください。

同じ単位の3欄の厳密な値が3、5、7です。3欄の合計と平均をそれぞれ整数で答え、平均に欄数を掛けて元の合計に戻るか確かめてください。
対象3欄のうち、厳密な値は2、11、残る1欄は非負で上限のない欠測です。既知の欄の合計と、対象全体の合計について言える範囲を答え、全体を一意に決められない理由を1つ挙げてください。
P、Q、RのうちP、Qは対象で、厳密な値はそれぞれ6、8です。Rは対象外の非該当です。対象の平均を整数で求め、「非該当」「分母」の語を使い、Rに0を入れて3で割る方法が不適切な理由を書いてください。
非負の数を小数第1位で四捨五入して整数で表示したところ、4でした。元の数の範囲を不等号で示し、範囲の両端を丸めた結果も答えてください。
非負の2数をそれぞれ小数第1位で四捨五入して整数で表示すると、3と5です。表示値の合計と、元の2数の合計の範囲を答えてください。さらに、元の合計を同じ方法で整数に丸めた結果が表示値の合計と一致しない組を1組挙げ、各数を丸め直して条件を確かめてください。

解答と照合

合計は3と5と7を足して15、平均は15を3で割って5です。5に欄数3を掛けると15に戻り、元の合計と一致します。採点では、分母を対象の3欄にしていることと、掛け戻しが元の合計に対応することを確認します。
既知の合計は2と11を足して13です。欠測が非負なので全体は13以上ですが、上限や正確な値は決まりません。たとえば欠測が0なら全体は13、4なら17で、どちらも元の既知の値と非負の条件に合います。範囲とともに、異なる値が成り立つ理由を書ければ答えの根拠になります。
対象の合計は6と8を足した14、平均は14を2で割って7です。7に2を掛けると14に戻ります。Rは非該当で対象に含まれないため、0を入れて分母を3にすると対象外の欄を平均に含めてしまいます。対象の範囲と分母の対応が説明の採点点です。
元の数は3.5以上4.5未満です。3.5を丸めると4ですが、4.5を丸めると5なので上端は含みません。下端を含み上端を含まない理由を、丸め直した結果と結び付けて示せているか確認します。
表示値の合計は8です。元の数の範囲はそれぞれ2.5以上3.5未満、4.5以上5.5未満なので、元の合計は7以上9未満です。たとえば2.6と4.6はそれぞれ3と5に戻りますが、合計7.2を丸めると7です。表示値の合計8とは一致しません。元の2数と表示の対応、合計を丸めた結果の両方を示すことが採点の要点です。