武蔵野個別指導塾の特徴

高校数学A 垂心と高さの延長—三角形の形で変わる交点の位置を説明する｜武蔵野個別指導塾

公開 2026.11.12更新 2026.11.12武蔵野個別指導塾の特徴高校数学A 図形の性質を掘り下げる

鈍角では辺を延長して垂足を取り、直角の場合と比べながら3本の高さの交点をたどります。

よくあるのは、高1が鈍角三角形の高さを辺の内部に下ろそうとする場面です。頂点から向かいの辺に線を引いても、直角の印がつかず、どの線を延長するのか迷います。高さは辺の長さを表す言葉としても使いますが、垂心を考えるときは頂点を通り、向かいの辺を含む直線に垂直な直線に注目します。

何を手がかりに高さを引くか

出方の1つは、三角形の形から垂心が内側、頂点、外側のどこにあるかを判定する問いです。3つの角が鋭角か、1つが直角か、1つが鈍角かを確かめ、必要な辺を延長します。垂足が辺上にないからといって、高さが存在しないわけではありません。

もう1つは、垂心を使って角や線分の長さを求める問いです。垂心と頂点を結ぶ直線が、向かいの辺に垂直であることを使います。既に与えられた直角三角形を見つけ、角の和や三平方の定理につなげると、余分な線を引かずに済みます。

さらに、2本の高さの交点が残りの高さにもあることを証明する問いがあります。図で3本が集まって見えるだけでは証明になりません。交点を定めた後、その点と残る頂点を結ぶ直線が、残る辺に垂直だと示します。

垂足と垂心の定義

一直線上にない3点 A、B、C が作る三角形を考えます。A を通り直線 BC に垂直な直線を、A からの高さの直線と呼びます。直線 BC との交点 D が垂足です。線分 AD の長さも高さと呼びますが、共点を論じるときは直線を延長して考えます。

図1のように、鋭角三角形では3本の高さが内部で交わります。交点 H を垂心と呼びます。直角の印は直線どうしの垂直を表し、D が BC の中点であることは意味しません。

図1の A からの高さは AD です。垂足 D が辺 BC の内部にあることと、垂心 H が三角形の内部にあることは別の事実です。図を使ってこの2つを区別し、それぞれの位置を根拠とともに述べます。

3本が交わる理由

三角形 ABC の A、B、C をそれぞれ通り、向かいの辺 BC、CA、AB に平行な直線を引きます。A を通る直線と B を通る直線の交点を P、B を通る直線と C を通る直線の交点を Q、C を通る直線と A を通る直線の交点を R とします。

四角形 ACBP は、向かい合う辺がそれぞれ平行なので平行四辺形です。したがって AP = BC です。同様に四角形 ABCR も平行四辺形なので AR = BC です。P、A、R は同一直線上にあり、A は線分 PR の中点です。B と C も同じように、それぞれ PQ と QR の中点になります。

BC と PR は平行ですから、A を通る BC への垂線は PR にも垂直です。しかも A は PR の中点なので、その直線は PR の垂直二等分線です。同様に B、C からの高さは、それぞれ PQ、QR の垂直二等分線です。

三角形 PQR の2辺 PR、PQ の垂直二等分線は平行でなく、1点 H で交わります。H は PR の両端 P、R から等距離にあり、PQ の両端 P、Q からも等距離にあります。よって H から Q と R までの距離も等しく、H は QR の垂直二等分線上にあります。これで3本の高さが1点で交わると証明できました。この証明は直角や鈍角を含む、一直線上にない三角形に使えます。

形による位置の違い

鋭角三角形では、A、B からの垂足はそれぞれ向かいの辺の内部にあります。2本の高さの線分は内部で交わり、垂心は内部です。直角三角形で ∠A = 90° なら、AB は C からの高さ、AC は B からの高さです。この2本は A で交わるので、垂心は直角の頂点 A です。

∠B が鈍角なら、A から BC への垂足は B の外側、すなわち C と反対側にあります。実際、垂足を BC の内部や C 側の延長上に置くと、三角形 ABD の B の角が鈍角となり、D の直角と合わせて三角形の内角の和を超えます。C から AB への垂足も B の外側です。この2本の高さの交点は辺の外側にあり、垂心も外部です。B からの高さについても直線として延長すれば、その交点を通ります。

基本例題：直角を使って角を追う

鋭角三角形 ABC の垂心を H とします。∠BAC = 50°、∠ABC = 60° のとき、∠BHC を度で求めてください。

図2のように、B、C からの垂足をそれぞれ E、F とします。H は内部にあり、BH は AC に、CH は AB に垂直です。

三角形の内角の和から、

∠ACB = 180° - 50° - 60°
       = 70°

BE は AC に垂直で、H は線分 BE 上にあります。したがって三角形 BHC の B の角は、

∠HBC = 90° - ∠ACB
       = 90° - 70°
       = 20°

同様に CH は AB に垂直なので、

∠BCH = 90° - ∠ABC
       = 90° - 60°
       = 30°
∠BHC = 180° - 20° - 30°
       = 130°

答えは 130° です。元の三角形に戻すと、残りの角は 70° で3つとも鋭角です。垂心を内部に置いたことと、2つの小さい角の和が 50° になることも条件に合います。ここでは ∠BHC = 180° − ∠A が得られますが、点の並びが変わる場合は同じ角を図から確認してから使います。

標準例題：外側の垂足から長さを求める

三角形 ABC で AB = 5、BC = 8、AC = √129 とします。A から直線 BC に下ろした垂線の足を D とし、D は B をはさんで C の反対側にあるとします。BD と AD を求め、長さは根号を含めて正確に表してください。

D、B、C の順に並ぶので DC = DB + BC です。BD = x、AD = h とおくと、x と h は正です。直角三角形 ADB と ADC に三平方の定理を使います。

x² + h² = 25
(x + 8)² + h² = 129
(x + 8)² - x² = 104
16x + 64 = 104
16x = 40
x = 5/2
h² = 25 - (5/2)²
   = 75/4
h = 5√3/2

よって BD = 5/2、AD = 5√3/2 です。正の平方根を選ぶのは、AD が正の長さだからです。確認すると DC = 21/2 で、AD² + DC² = 75/4 + 441/4 = 129 です。また AD² + BD² = 25 ですから、AB と AC の条件に戻ります。

B の角は、直角三角形 ABD の鋭角 ABD と一直線上の隣り合う角なので鈍角です。したがって垂心は外部にあります。もし D を BC の内部に置いて DC = 8 − x とすると、この問題の点の順序と矛盾します。計算前に線分の和を図に書くことが、符号の間違いを防ぎます。

発展示題：垂心までの長さを相似で求める

鋭角三角形 ABC で、A から BC への垂足を D、B から AC への垂足を E、垂心を H とします。BD = 3、DC = 5、AD = 6 のとき、HD と AH を分数で求めてください。

D は辺 BC の内部にあり、H は線分 AD の内部にあります。直角三角形 BDH と ADC に注目します。∠BDH = ∠ADC = 90° です。また BH は AC に垂直、HD は BC に垂直なので、対応する鋭角 ∠BHD と ∠ACD は等しくなります。したがって、2組の角がそれぞれ等しいので、

三角形 BDH ∽ 三角形 ADC
BD : AD = HD : DC
3 : 6 = HD : 5
6HD = 15
HD = 5/2
AH = 6 - 5/2
   = 7/2

答えは HD = 5/2、AH = 7/2 です。対応順は B と A、D と D、H と C です。見た目が近い辺どうしを対応させるのではなく、等しい角の向かい側をそろえます。

検算として、三角形 BDH の比は BD : HD = 3 : (5/2) = 6 : 5 で、三角形 ADC の AD : DC = 6 : 5 に一致します。また AH + HD = 7/2 + 5/2 = 6 です。AB² = 3² + 6² = 45、AC² = 5² + 6² = 61、BC² = 8² = 64 なので、最大の辺 BC についても 64 < 45 + 61 です。三角形は鋭角で、H を AD の内部に置いたことと合います。

辺の中に垂足を押し込む誤り

図3のように ∠B が鈍角のとき、A から BC への垂足 D は B の外側にあります。誤って辺 BC の内部に点 X を取り、AX を高さとする答案を考えます。X をどこに動かしても AX と BC は直角になりません。

誤答は「高さの足は辺の上にある」と決めたことが原因です。図3のように辺 BC を B の先まで延長し、A からその直線に垂線を下ろします。D が外側でも、AD は BC を含む直線に垂直なので正しい高さです。X への線は、図に直角の印をつける前に垂直を確認してください。

直角三角形でも同じ注意が必要です。頂点から頂点へ重なる高さを見落とし、必ず内部で交わると考える誤りがあります。2本の辺が垂直なら、それぞれが反対側の頂点からの高さです。垂心は直角の頂点にあり、内部でも外部でもありません。

練習：位置と長さを確かめる

次の5問は、特に指定がない限り三角形の3頂点は一直線上にありません。角は度、長さは根号を含む正確な値で答えてください。

鋭角三角形 ABC の垂心を H とし、∠A = 40° とします。∠BHC を求めてください。
∠P = 90° の三角形 PQR で、垂心の位置と、Q からの高さの直線を答えてください。
∠B が鈍角の三角形 ABC で、A から直線 BC への垂足を D とします。D は B、C のどちらの外側にあるか答えてください。
鋭角三角形 ABC の A から BC への垂足を D、垂心を H とします。BD = 2、DC = 6、AD = 4 のとき、HD と AH を求めてください。
三角形 ABC の A から直線 BC への垂足を D とし、D、B、C の順に並ぶとします。BD = 3、BC = 4、AD = 4 のとき、AB と AC を求めてください。

解答と解き方

BH は AC に、CH は AB に垂直です。∠BHC = 180° − ∠A = 140° です。例えば残りの2角は和が 140° で、どちらも鋭角なら、それぞれから作る直角三角形の角の和は 40° となり、答えの角と合わせて 180° です。
垂心は P です。Q からの高さの直線は QP です。QP は PR に垂直で、R からの高さ RP も PQ に垂直です。2本の交点 P が残る高さにもあることは共点の証明から確かめられます。
D は B をはさんで C の反対側です。D が辺 BC 上または C の先にあると、三角形 ABD の B の角が鈍角になり、D の直角と両立しません。外側に置けば ∠ABD と ∠ABC は合わせて 180° となり、鈍角という条件に合います。
三角形 BDH と ADC は、直角ともう1組の鋭角が等しいので相似です。対応は BD : AD = HD : DC です。

2 : 4 = HD : 6
4HD = 12
HD = 3
AH = 4 - 3
   = 1

HD = 3、AH = 1 です。HD + AH = 4 で元の高さに戻り、2 : 4 = 3 : 6 も満たします。さらに AB² = 20、AC² = 52、BC² = 64 で、最大の平方 64 は他の2つの和 72 より小さく、鋭角の条件にも合います。

D、B、C の順なので DC = 3 + 4 = 7 です。三平方の定理より、

AB² = 3² + 4²
    = 25
AB = 5
AC² = 7² + 4²
    = 65
AC = √65

答えは AB = 5、AC = √65 です。AB² − AD² = 25 − 16 = 9 = BD²、AC² − AD² = 65 − 16 = 49 = DC² です。DC − BD = 7 − 3 = 4 も BC の条件に戻ります。

練習4では、相似の比が正しいだけでなく、求めた H が D と A の間にあることも確認しました。もし HD が AD を超えれば、鋭角三角形の内部に垂心があるという条件と合わず、計算または点の配置を見直す必要があります。練習5では垂足が外側にあるため、BC と BD の差ではなく和が DC です。図に点の順を記すと、その判断を後から確かめられます。