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高校数学A 傍心と傍接円—外角の二等分線と接する辺の延長を追って考える｜武蔵野個別指導塾

公開 2026.11.12更新 2026.11.12武蔵野個別指導塾の特徴高校数学A 図形の性質を掘り下げる

外角の二等分線と接点の位置から、面積と半周長で半径を求める傍心と傍接円です。

よくあるのは、三角形の外側に円を描いた高1が、3つの接点をすべて辺の内部に置いてしまう場面です。円が3辺を含む直線に接することと、3辺そのものに接することは違います。どの辺に接し、どの辺を延長するのかを決めてから、中心への垂線と面積を考えましょう。

何を手がかりにするか

傍心の問題には、まず位置を問う型があります。頂点Aに対応する傍心なら、Aの内角の二等分線と、B、Cの外角の二等分線を追います。内角と外角を取り違えると、別の円の中心へ向かいます。

次は長さを問う型です。三角形の面積と3辺があれば、辺BCに接する傍接円の半径は、面積を半周長からBCを引いた長さで割って求められます。接点からの線分を使って、その分母がなぜ現れるかも説明できます。

さらに、面積や辺の一部が未知の型があります。半径の公式に代入する前に、直角三角形なら三平方の定理で辺と面積を出し、複数の半径があればそれぞれがどの辺に対応するかを記録します。図を眺めただけで接点や垂線の足を辺の内側に決めないことが、いずれの型でも出発点です。

3つの傍心と接点の位置

傍心を定めるため、3点A、B、Cは同じ直線に並ばないものとして三角形ABCを用意します。Aの内角の二等分線とBの外角の二等分線の交点を、Aに対する傍心Iₐとします。この点を中心とし、直線BCに接する円がAに対する傍接円です。B、Cについても同じように選ぶと、傍心は3つあります。選んだ頂点と向かい合う辺を組にして区別します。

図1のように、Aに対する円は辺BCそのものに接し、直線AB、ACにはそれぞれB側、C側の延長で接します。直線への距離は垂線の長さですから、円の中心から3直線への距離は半径に等しくなります。接点は半径と接線が垂直になる点です。

図1で、DはBC上、EはABのB側の延長上、FはACのC側の延長上です。Iₐは三角形の外にあり、AIₐはAの内角を分けます。BIₐ、CIₐはそれぞれB、Cの外角を分けます。円の3つの接点を3辺の内側に描くと、ここで扱う円とは異なる配置になります。

この位置関係には根拠があります。角の内部で、2辺を含む直線までの距離が等しい点は、その角の二等分線上にあります。実際、点から2辺に垂線を下ろすと、斜辺が共通で他の1辺が等しい直角三角形が合同になるからです。逆に二等分線上の点についても、共通の斜辺と等しい角から直角三角形が合同なので距離が等しくなります。外角についても同じ議論が使えます。

Aの内角の二等分線とBの外角の二等分線は平行になりません。2つの向きのなす角が0なら、三角形の内角の和が180°であることに反するからです。交点Iₐは、Aの角の内部かつBの外角の内部にあります。Aの2辺までの距離が等しく、BでABとBCまでの距離も等しいので、3直線までの距離は等しくなります。IₐはCの外角の内部にもあるため、Cの外角の二等分線上にもあります。したがって3本は同じ点で交わります。

接点の位置も確かめます。半径をrₐ、BC = a、CA = b、AB = c、半周長をs = (a + b + c)/2、面積をSとします。点Aから2つの接線の長さは等しく、AE = AFです。同様にBE = BD、CF = CDです。これらは同じ外部の点から円に引いた2本の接線なので、中心と接点を結んだ直角三角形の合同から従います。

Dが辺BCの内部にある配置で、BD = x、CD = yとすると、x + y = aです。また、AE = c + x、AF = b + yです。AE = AFより、c + x = b + yです。これらを足し合わせれば、AE = (a + b + c)/2 = sです。したがってBD = s − c、CD = s − bで、どちらも三角形の成立条件から正です。実際、s − c = (a + b − c)/2、s − b = (a + c − b)/2であり、3辺の和と差の条件から正です。よって接点はB、Cの間にあります。

面積を使うと、三角形ABIₐとACIₐの面積の和から三角形BCIₐの面積を引いたものがSです。それぞれの底辺をAB、AC、BCとし、対応する高さをrₐとすると、次の式になります。

S = c・rₐ/2 + b・rₐ/2 - a・rₐ/2
  = (b + c - a)・rₐ/2
  = (s - a)・rₐ

三角形の成立条件b + c > aよりs − a > 0です。したがって0で割ることはなく、rₐ = S/(s − a)です。AをBやCに替えれば、対応する半径はそれぞれS/(s − b)、S/(s − c)です。分母の引く辺は、選んだ頂点の向かい側にあります。

基本例題：直角三角形の傍接円

三角形ABCはBが直角で、AB = 3、BC = 4、CA = 5です。Aに対する傍接円の半径と、BC上の接点DについてBD、DCを求めてください。長さの単位はcmとし、答えは整数で表します。

図2のように、接点E、FはそれぞれABのB側、ACのC側の延長に取ります。まず面積と半周長を求めます。

S = 3・4/2
  = 6 cm²
s = (3 + 4 + 5)/2
  = 6 cm
s - BC = 6 - 4
       = 2 cm
rₐ = 6/2
   = 3 cm

Dは辺BC上です。接線の長さから、AE = AF = sなので、BE = AE − AB = 6 − 3 = 3 cmです。BD = BEよりBD = 3 cm、DC = BC − BD = 4 − 3 = 1 cmです。図2の円はBCに接し、残る接点は辺の延長上にあります。

元の条件に戻して確かめます。BD + DC = 3 + 1 = 4で、与えられたBCに一致します。またAE = 3 + 3 = 6、AF = 5 + 1 = 6で、Aからの接線の長さも一致します。面積も (s − BC)・rₐ = 2・3 = 6 cm²となり、直角を使って出した面積に戻ります。

標準例題：3つの円の半径を比べる

辺BC = 13 cm、CA = 14 cm、AB = 15 cmの三角形ABCがあります。面積を求めてから、A、B、Cそれぞれに対する傍接円の半径を整数または既約分数のcmで答えてください。

AからBCへの垂足をHとし、BH = x cmと置きます。三平方の定理から高さAHを消去します。

AH² + x² = 225
AH² + (13 - x)² = 196
26x - 169 = 29
26x = 198
x = 99/13

99/13は0と13の間なので、Hは辺BCの内部にあります。高さと面積を順に計算します。

AH² = 225 - (99/13)²
AH² = 28224/169
AH = 168/13 cm
S = 13・(168/13)/2
S = 84 cm²
s = (13 + 14 + 15)/2
s = 21 cm

各傍接円に対応する辺を分母から引くと、半径は次の通りです。

rₐ = 84/(21 - 13) = 21/2 cm
rᵦ = 84/(21 - 14) = 12 cm
r꜀ = 84/(21 - 15) = 14 cm

検算では、BH = 99/13、CH = 70/13、AH = 168/13を用います。AH² + BH² = 225、AH² + CH² = 196となり、元の2辺を再現します。半径から面積へ戻しても、8・(21/2) = 7・12 = 6・14 = 84です。

この3辺に面積78 cm²を追加すると、辺から決まる84 cm²と両立しません。半径の式を使う前に、与えられた面積が3辺と同時に成立するかを調べます。

発展例題：接点の情報から辺と半径へ

三角形ABCで、Aに対する傍接円が辺BCにDで接しています。AB = 10 cm、AC = 13 cm、BD = 5 cm、面積は20√3 cm²です。BCの長さと傍接円の半径を求めてください。長さは根号を用いて正確にcmで表します。

ABのB側の延長との接点をE、ACのC側の延長との接点をFとします。同じ点からの接線の長さを使うと、BE = BD = 5 cmです。したがってAE = 10 + 5 = 15 cmで、AFも15 cmです。

CF = AF - AC
   = 15 - 13
   = 2 cm
DC = CF
   = 2 cm
BC = BD + DC
   = 5 + 2
   = 7 cm
s = (10 + 13 + 7)/2
  = 15 cm
rₐ = 20√3/(15 - 7)
   = 5√3/2 cm

接線の情報だけで辺が定まる一方、面積を独立に自由に指定できるとは限りません。辺が7、10、13の三角形で、Aから直線BCへの垂線の足をHとします。HがBの外側にあるとしてBH = xと置けば、AH² = 100 − x²、AH² = 169 − (7 + x)²です。両式を等置して100 = 120 − 14x、よってx = 10/7です。AH² = 100 − 100/49 = 4800/49、AH = 40√3/7 cmなので、面積は7・(40√3/7)/2 = 20√3 cm²です。垂足がBの外側になることも、この正のxと三平方の関係から確認できます。

また、8・(5√3/2) = 20√3で面積に戻り、BD + DC = 7、AE = 10 + 5 = 15、AF = 13 + 2 = 15も成立します。面積を60 cm²と取り違えた場合は、辺から求めた面積と一致しないので、計算を続けず条件を見直します。

接点を辺の中に置いた誤答を直す

図3のように、Aに対する傍接円の接点EをABの内部に描き、AE = AB − BEとする誤答を考えます。基本例題の数を代入するとAE = 3 − 3 = 0となり、接点がAに重なってしまいます。さらにAからのもう1本の接線の長さAF = 6とも一致しません。

原因は、直線ABへの接点と線分AB上の点を混同したことです。図3の正しい点の順序はA、B、Eです。この順序ではAE = AB + BEですから、AE = 3 + 3 = 6 cmとなります。接点Fについても順序はA、C、Fで、AF = AC + CF = 5 + 1 = 6 cmです。接線長の等しさは、同じ外部の点から引いた2本について使います。異なる頂点からの長さを無条件に等しいとすることはできません。

もう1つの誤りは、面積の公式でs − aの代わりにsを使うことです。傍心からの3つの三角形の面積はすべて足すのではなく、外側にはみ出すBCを底辺とする部分を引きます。どの部分を引くかを図でたどると、分母が変わる理由を確認できます。半径が負になったり、接点が辺の外と内を同時に要求したりしたら、計算を進めず点の順序と引き算の向きを点検します。

練習：条件を図に戻す

次の5問はそれぞれ別の三角形です。長さは特に指定がなければcmとし、答えは既約分数または整数で表してください。

BC = 8、CA = 15、AB = 17という3辺に「Bが直角」という条件を加えられるか調べてください。両立しない場合は直角となる頂点を特定し、3辺の長さを保った三角形でBに対する傍接円の半径を求めてください。
三角形ABCの3辺がBC = 6、CA = 8、AB = 10で、面積が24 cm²です。Aに対する傍接円のBC上の接点をDとするとき、BDとDCを求めてください。
三角形ABCの面積が30 cm²、半周長が15 cm、辺BCが5 cmです。Aに対する傍接円の半径を求めてください。
三角形ABCでAに対する傍接円がBCにDで接し、AB = 9、AC = 12、BD = 6です。BCを求めてください。
3辺の長さが4、5、10である三角形について、傍接円の半径を求められるか判断し、理由を述べてください。

練習の答えと道筋

条件の直角は成立しません。Bが直角なら向かいの辺CAが最長でなければなりませんが、CA = 15、AB = 17です。三平方の等式でも8² + 17² = 353で15² = 225に一致しないため、そのような三角形は存在しません。AB² = BC² + CA²なので、Cを直角に直すと面積は8・15/2 = 60、s = (8 + 15 + 17)/2 = 20なので、Bに対する半径は60/(20 − 15) = 12 cmです。12・5 = 60で面積に戻ります。
s = (6 + 8 + 10)/2 = 12です。BD = s − AB = 2、DC = s − AC = 4です。2 + 4 = 6でBCに戻り、AB + BD = 10 + 2 = 12、AC + DC = 8 + 4 = 12でAからの接線の長さもそろいます。6² + 8² = 10²なので面積は6・8/2 = 24 cm²と条件に合います。
rₐ = 30/(15 − 5) = 3 cmです。分母10は正で、10・3 = 30 cm²と面積に戻ります。たとえば残る辺が12 cmと13 cmなら、5² + 12² = 13²で面積は5・12/2 = 30 cm²、半周長は15 cmとなり、条件は両立します。
接点をAB、ACの延長にE、Fとすると、AE = 9 + 6 = 15、AF = 15です。よってCF = 15 − 12 = 3、DC = 3、BC = 6 + 3 = 9 cmです。9 + 12 > 9、9 + 9 > 12、12 + 9 > 9なので三角形は成立します。BD + DC = 9、9 + 6 = 12 + 3 = 15が元の接線の条件を満たします。
求められません。4 + 5 = 9 < 10で、短い2辺の和が残りの1辺より小さいため、三角形が存在しないからです。仮に公式の分母に数を入れられても、存在しない図形の面積や傍心は定まりません。境界の4 + 5 = 9となる辺の組でも、3点が一直線に並び、非退化な三角形になりません。

覚えておくこと

Aに対する傍心は、Aの内角とB、Cの外角の二等分線上にあります。
傍接円はBCと、AB、ACの延長に接します。
半周長をs、面積をS、BCをaとすれば、半径はS/(s − a)です。
接線の長さと点の順序を使い、求めた値を元の条件に戻します。

説明が止まる場所を見つける

図を描けてもEをABの内部に置く場合は、AからEへ進むとBを通るかを言葉にしてもらいます。半径の公式が出ても、引く辺を選べない場合は「どの頂点に対する傍接円か」と「その向かいの辺はどれか」を順に確かめます。個別指導では、3辺と面積を別々に与えたときに両立を調べられるかも尋ねます。式の値が出た後に図形が存在するかを見直す習慣が、傍心の計算を確かなものにします。