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高校数学A 内心と内接円—辺への垂線を引いて半径と面積の関係を導く｜武蔵野個別指導塾

公開 2026.11.12更新 2026.11.12武蔵野個別指導塾の特徴高校数学A 図形の性質を掘り下げる

角の二等分線から各辺への垂線を引き、面積と半周長をつないで内接円の半径を計算します。

よくあるのは、三角形の中心を考えるとき、3つの頂点から等しい距離にある点を内心だと考える場面です。頂点までの距離を測ると、たしかに別の円の中心を探せます。しかし内接円が触れるのは頂点ではなく辺です。辺への距離をどの線分で表すかを決めると、角の二等分線と面積がつながります。

どの量を手がかりにするか

内心の問題には、主に3つの出方があります。1つ目は、角の二等分線の交点から各辺へ垂線を引き、3つの距離が等しいことを示す問題です。図に等しい印がなくても、角を半分にする条件と直角三角形の合同から距離を導けます。

2つ目は、三角形の面積と3辺の長さから内接円の半径を求める問題です。内心と頂点を結ぶと、元の三角形は3つの三角形に分かれます。それぞれの底辺を元の辺に選べば、高さはいずれも内接円の半径です。辺の長さの合計が式に現れます。

3つ目は、半径や面積を逆に使って辺の長さを求める問題です。式を作れても、三角形が存在するか、正の長さになっているかまで調べなければ答えは確定しません。等式の計算と図形の条件を別々に確認することが大切です。

角を二等分すると辺までの距離がそろう

一直線上にない3点 A、B、C を頂点とする三角形を考えます。辺への距離とは、点からその辺を含む直線へ下ろした垂線の長さです。内心では、後に確かめるように垂線の足が辺上にあるため、その長さを辺までの距離として使えます。

角 A の内部の点 P が角 A の二等分線上にあるとします。P から辺 AB、AC に下ろした垂線の足をそれぞれ D、E とします。直角三角形 APD と APE は、斜辺 AP が共通で、角 DAP と角 PAE が等しいので合同です。したがって PD = PE です。逆に、角の内部で2辺への距離が等しい点についても、斜辺と他の1辺が等しい直角三角形の合同から、頂点とその点を結ぶ直線は角の二等分線です。

図1のように、三角形 ABC の角 A と角 B の二等分線の交点を I とします。これらの半直線は三角形の内部で交わります。I から AB、BC、CA に下ろした垂線の足をそれぞれ F、D、E とすると、角 A の二等分線から IF = IE、角 B の二等分線から IF = ID です。よって ID = IE = IF となります。

図1では、I から各辺への緑の線が垂線です。さらに I は角 C の内部にあり、BC と CA への距離が等しいので、逆の性質から CI も角 C の二等分線です。こうして3本の内角の二等分線が1点で交わり、その点 I を内心と呼びます。

足が実際に辺上にあることも確かめます。例えば AB について、角 IAB は角 A の半分なので 90° 未満で、角 IBA も角 B の半分なので 90° 未満です。したがって I から直線 AB への垂線の足は A と B の間にあります。他の2辺も同様です。中心 I、半径 ID の円は3辺にそれぞれ接します。この円が内接円です。

三角形 ABC の面積を S、辺 BC、CA、AB の長さを順に a、b、c、内接円の半径を r とします。I は内部にあるので、面積は3つに分けて足せます。

S = ar/2 + br/2 + cr/2
  = (a + b + c)r/2

半周長 s を s = (a + b + c)/2 と置けば、S = rs です。三角形の辺は正なので s > 0 であり、r = S/s と割れます。この式は半径が3つの高さに共通する理由と一緒に使います。頂点までの長さ IA、IB、IC を高さに置く式ではありません。

基本例題：直角三角形の半径

直角三角形 ABC は角 A = 90°、AB = 6 cm、AC = 8 cm、BC = 10 cm です。内接円の半径を整数で求めてください。

図2のように、内心 I から3辺に垂線を引きます。3辺に接するので、垂線の長さはいずれも半径 r cm です。直角をはさむ AB と AC を底辺と高さにして、面積 S cm² は次のようになります。

S = 6・8/2
  = 24
s = (6 + 8 + 10)/2
  = 12
r = S/s
  = 24/12
  = 2

答えは 2 cm です。図2では I から各辺への線が高さです。元の面積に戻すと、3つの面積の和は 6・2/2 + 8・2/2 + 10・2/2 = 24 cm² です。また 6² + 8² = 10² なので、与えられた辺の長さは直角の条件にも合います。

面積が不明なときは、まず高さを探します。3辺を足してから半分にすることと、面積を半分にすることは別の操作です。例えば周長 24 cm をそのまま分母にすれば 1 cm になり、3つの面積の和は 12 cm² にしかなりません。

標準例題：接点から長さをつなぐ

三角形 ABC の辺 BC、CA、AB の長さが順に 13 cm、14 cm、15 cm です。内接円の半径を整数で求めてください。

まず A から BC に下ろした垂線の足を H とし、BH = x cm と置きます。足が辺上にあることは、次に得る x が 0 と 13 の間にあることで確認します。三平方の定理より、直角三角形 ABH、ACH について次が成り立ちます。

AH² + x² = 15²
AH² + (13 - x)² = 14²
x² - (13 - x)² = 15² - 14²
26x - 169 = 29
26x = 198
x = 99/13

0 < 99/13 < 13 なので、H は辺 BC 上にあります。高さは正であることに注意して求めます。

AH² = 225 - (99/13)²
    = 28224/169
AH = 168/13
S = 13・(168/13)/2
  = 84
s = (13 + 14 + 15)/2
  = 21
r = 84/21
  = 4

答えは 4 cm です。元の条件に戻すと、CH = 70/13 cm であり、(168/13)² + (99/13)² = 15²、(168/13)² + (70/13)² = 14² です。さらに 13・4/2 + 14・4/2 + 15・4/2 = 84 となり、求めた半径は面積にも合います。

高さの足を最初から中点と決めることはできません。この例では BH と CH が異なります。二等辺三角形という条件がない場合は、足までの長さを文字で置いて、両側の直角三角形から消去します。

発展例題：半径から辺を逆算する

直角三角形 ABC で角 A = 90°、AB = 9 cm、内接円の半径が 3 cm です。AC の長さを整数で求めてください。

AC = x cm、BC = y cm と置きます。辺の長さなので x > 0、y > 0 です。面積と半周長を内接円の半径の式に入れると、次のようになります。

S = 9x/2
s = (9 + x + y)/2
9x/2 = 3(9 + x + y)/2
9x = 27 + 3x + 3y
3x = 27/2 + 3y/2
y = 2x - 9

斜辺の長さ y は正なので、x > 9/2 も必要です。三平方の定理を使って x を求めます。

9² + x² = y²
81 + x² = (2x - 9)²
81 + x² = 4x² - 36x + 81
3x² - 36x = 0
3x(x - 12) = 0

x > 0 より x = 12 です。x = 0 は辺の長さとして使えません。答えは 12 cm です。このとき y = 15 cm で、9² + 12² = 15² が成り立ちます。面積は 54 cm²、半周長は 18 cm なので、54/18 = 3 cm と元の半径にも戻ります。

逆算では、式に入れる前に半周長の半分を落とさないこと、解いた後に長さの正値と三角形の条件に戻ることが必要です。二乗を含む式を使うと、元の長さの条件に合わない候補が生じることがあります。計算の結果が出た時点で終えず、元の式の y にも代入します。

条件を変えるときの分かれ目

S = rs は、内心が三角形の内部にあり、3つの小三角形の高さが共通の r になることで得られます。三角形の外の点を取って同じように3つの面積を足しても、重なる部分や元の三角形からはみ出す部分があるので、同じ式をそのまま使う根拠にはなりません。

辺の長さが3つ与えられたとき、どの2辺の和も残る1辺より大きいかを先に確かめます。例えば 3 cm、4 cm、7 cm では 3 + 4 = 7 となり、一直線上に並んでしまいます。面積が正の三角形ではないため、内心と内接円の半径を求める問題としては扱えません。

面積と半周長がわかる場合は r = S/s が直接使えます。面積がわからず高さが見つかる場合は、まず底辺と高さから面積を求めます。面積も高さも与えられない場合、標準例題のように垂線の足を置いて三平方の定理から高さを求める方法があります。足が辺の延長上にある図では、辺を分ける式が和ではなく差になるため、点の順序を描いてから立式します。

誤答を線の終点から直す

図3のように、内心 I から頂点 A、B、C へ線を引き、「IA = IB = IC が内心の性質」とする答案を考えます。この条件は頂点からの距離について述べています。辺に接する円の半径を知るには、頂点への斜めの線ではなく、各辺への垂線が必要です。

図3の赤い線は頂点への距離、緑の線は辺への距離です。直し方は、まず I から各辺へ垂線を引き、その足を明記することです。次に、同じ角の両側にできる直角三角形を見比べます。共通の斜辺と等しい角から合同を示せば、緑の線の長さが等しいと結論できます。

もう1つの誤りは、S = (a + b + c)r と書くことです。各小三角形の面積には底辺と高さを掛けた後の 1/2 が必要です。1つずつ ar/2、br/2、cr/2 と書いてから足せば、係数が消える理由を取り違えずに済みます。元の面積と3つの面積の和が一致するかも、答えを戻して確認します。

練習：条件から式を選ぶ

次の5問では、長さの単位は cm、面積の単位は cm² です。数値を求める問題は整数または既約分数で答えてください。三角形はいずれも退化していません。

三角形の3辺の長さが 7、8、9、面積が 12√5 です。内接円の半径を根号を含む形で求めてください。
直角三角形の直角をはさむ2辺が 5、12、斜辺が 13 です。内接円の半径を求めてください。
三角形の周長が 40、内接円の半径が 3 です。面積を求めてください。
直角三角形の直角をはさむ1辺が 8、内接円の半径が 2 です。もう1辺を求めてください。
三角形 ABC の角 A と角 B の二等分線の交点を I とします。I から AB、BC、CA に下ろした垂線の足を F、D、E とします。IF = 5/2 のとき ID、IE を求め、等しい理由を説明してください。

練習の答えと道筋

半周長は (7 + 8 + 9)/2 = 12 です。したがって r = 12√5/12 = √5 cm です。戻すと √5・12 = 12√5 で、与えられた面積です。辺の和の条件も 7 + 8 > 9 などを満たします。高さを辺 8 に下ろして足までの長さを 2 とすれば、高さは 3√5、もう一方の部分は 6 となり、辺は √(2² + 45) = 7、√(6² + 45) = 9 です。面積も 8・3√5/2 = 12√5 と確かめられます。
面積は 5・12/2 = 30、半周長は (5 + 12 + 13)/2 = 15 です。よって r = 30/15 = 2 cm です。5² + 12² = 13² で直角の条件に合い、3つの小三角形の面積の和は (5 + 12 + 13)・2/2 = 30 です。
半周長は 40/2 = 20 です。面積は S = rs = 3・20 = 60 cm² です。実際、3辺が8、15、17の直角三角形なら周長は40、面積は8・15/2 = 60、内接円の半径は60/20 = 3です。式への代入だけでなく、指定された周長と半径が同時に成り立つ三角形も確かめられます。
未知の辺を x、斜辺を y とすると、面積と半周長の関係から 8x/2 = 2(8 + x + y)/2、よって y = 3x − 8 です。三平方より 64 + x² = (3x − 8)²、整理して 8x² − 48x = 0 です。x > 0 から x = 6 cm、y = 10 cm です。8² + 6² = 10²、面積 24 と半周長 12 の比が 2 となり、元の条件を満たします。
角 B の二等分線から ID = IF、角 A の二等分線から IE = IF です。いずれも共通の斜辺と等しい鋭角を持つ直角三角形の合同によります。よって ID = IE = 5/2 cm です。逆に3つの垂線の長さが等しければ、各角の二等分線上にあることも直角三角形の合同で確かめられます。