高校数学A 外心と外接円—垂直二等分線の交点と三頂点への距離を確かめる｜武蔵野個別指導塾

鈍角三角形で中心が外に出る理由と、三平方の定理による半径の求め方を説明します。鍵は外心です。

よくあるのは、鈍角三角形の外心を三角形の内部に置き、3つの頂点までの距離が等しくならずに困る場面です。中心という言葉から内部を想像したくなりますが、外心の位置は角の大きさで変わります。まず等しい距離を作る線を引き、交点がどちら側にあるかまで追いましょう。

どの情報から中心に近づくか

外心の問題には、少なくとも次の3つの入り口があります。いずれも、辺を見ただけで中心を決めるのではなく、頂点までの距離に注目します。

1. 三角形が鋭角、直角、鈍角のどれかを判定し、外心が内部、辺上、外部のどこにあるかを説明する型です。図の印象だけではなく、直角を挟む辺や最も大きい角を確認します。
2. 2辺の垂直二等分線を引き、交点から3頂点への距離が等しいことを証明する型です。2つの等式をつないで3本目の線にも乗ることを示します。
3. 辺の中点と外心を結び、直角三角形を取り出して外接円の半径を求める型です。外心が辺の反対側に出ると、長さを足すか引くかが変わります。

三角形は3頂点が一直線上にないものとします。長さは正であり、垂直二等分線は必要に応じて延長します。円を描く前に中心を決める根拠があるかを確かめると、見た目に引きずられにくくなります。

等距離の点を2本の線で絞る

線分ABの垂直二等分線は、ABの中点を通り、ABに垂直な直線です。この直線上の点PはPA = PBを満たします。中点をMとすると、直角三角形PMAとPMBで、PMは共通、AM = BMですから、三平方の定理よりPA² = PB²となるためです。

逆にPA = PBなら、PがABの中点である場合を除き、三角形PMAとPMBは3辺がそれぞれ等しく合同です。したがって隣り合う角PMAとPMBが等しく、和は180°なのでそれぞれ90°です。Pが中点の場合も垂直二等分線上にあります。つまり、2点から等距離にある点の集まりが垂直二等分線です。

図1のように、ABとBCの垂直二等分線の交点をOとします。ABとBCは平行でないので、これらの垂直二等分線も平行ではなく、交点は1つです。Oは前者上にあるためOA = OB、後者上にあるためOB = OCです。よってOA = OB = OCとなり、OはACの垂直二等分線上にもあります。

図1のOを中心にOAを半径として円を描くと、BとCも円周上にあります。この円を三角形ABCの外接円、Oを外心といいます。逆に3頂点を通る円の中心は3頂点から等距離なので、先ほどの交点Oに一致します。よって外接円は1つに決まります。

位置の違いは、外心から辺へ下ろした垂線の足が中点になることから追えます。特に直角三角形では、斜辺の中点が3頂点から等距離です。直角の頂点をA、斜辺BCの中点をMとすると、Mを通りABに平行な線とACに平行な線を用いて長方形を作れます。その対角線は等しく互いに二等分するので、MA = MB = MCです。したがってMが外心です。

一般の三角形でも、一辺BCの中点をMとし、その垂直二等分線上の外心を考えます。AからBCに下ろした垂線の足をHとすると、角Aが鋭角ならAH² > BH・CH、直角なら等しく、鈍角ならAH² < BH・CHです。ただしこの積による見方はHが辺BC上にある配置で使います。足が辺の外にあるときはAが鋭角で、外心がBCのAと同じ側にあることを別途、直角三角形の辺の大小で確かめられます。3辺それぞれについて同様に見ると、鋭角三角形の外心は内部、直角三角形では斜辺の中点、鈍角三角形では鈍角の向かいの辺の外側です。次の具体例では符号を使わず、位置を先に確定します。

基本例題：斜辺を直径にする

直角三角形ABCで、角A = 90°、AB = 6 cm、AC = 8 cmです。外接円の半径を分数または整数で求め、外心の位置を答えてください。

図2のようにBCの中点をMとします。三平方の定理で斜辺の長さを求めます。

BC² = AB² + AC²
     = 6² + 8²
     = 36 + 64
     = 100
BC = 10

長さは正なのでBC = 10 cmです。直角三角形の外心は斜辺の中点ですから、Mが外心です。したがって半径は次の通りです。

MB = BC/2
   = 10/2
   = 5

答えは5 cm、外心はBCの中点です。図2ではMから各頂点までの距離が5 cmであることを示しています。

答えを元に戻すと、直径は10 cmです。直角を挟む辺について6² + 8² = 100 = 10²となり、斜辺の条件に合います。直角の頂点Aを中心に選ぶと、AからAまでの距離は0で他の頂点までは正なので、外心の条件を満たしません。

標準例題：中心と中点を結ぶ

二等辺三角形ABCでAB = AC = 13 cm、BC = 10 cmです。外接円の半径を既約分数または整数で求め、外心が三角形の内外のどちらにあるか答えてください。

BCの中点をMとします。AB = ACなのでAはBCの垂直二等分線上にあり、AMはBCに垂直です。BM = 5 cmですから、直角三角形ABMで、

AM² = AB² - BM²
    = 13² - 5²
    = 144
AM = 12

外心Oは直線AM上です。まず外心が線分AM上にあることを確認します。MからAへ距離xの点について、Aまでの距離は12 − x、Bまでの距離の二乗はx² + 25です。等距離にする方程式を解きます。

(12 - x)² = x² + 25
144 - 24x + x² = x² + 25
24x = 119
x = 119/24

0 < 119/24 < 12なので、得られた点は確かに線分AMの内部です。OA = 12 − 119/24 = 169/24 cmであり、外心は三角形の内部にあります。方程式で等しくなったのは距離の二乗ですが、どちらも正の長さなので距離自体も等しくなります。また直線AMはBCの垂直二等分線なのでOB = OCです。よってこの点が外心です。

検算では、OM² + BM² = (119/24)² + 25 = 28561/576 = (169/24)²です。さらにOA + OM = 169/24 + 119/24 = 12で、元の高さに戻ります。半径の値を求めた後も、点が仮定した区間にあるかを忘れずに確認します。

発展例題：中心が辺の外に出るとき

二等辺三角形ABCでAB = AC = 13 cm、BC = 24 cmです。外接円の半径を既約分数または整数で求め、外心の位置を説明してください。

BCの中点をMとするとBM = 12 cm、AMはBCに垂直です。直角三角形ABMから、

AM² = 13² - 12²
    = 169 - 144
    = 25
AM = 5

外心は直線AM上です。A側からBCを越えて、Mの反対側にある点Oを考え、OM = x cmと置きます。このときOA = 5 + x、OB² = x² + 12²です。OA = OBとなる条件は、

(5 + x)² = x² + 144
25 + 10x + x² = x² + 144
10x = 119
x = 119/10

xは正なのでOは実際にMのAと反対側にあります。OA = 5 + 119/10 = 169/10 cmです。OはBCの垂直二等分線上にあるのでOB = OCでもあり、3頂点から等距離です。外心はBCの外側、半径は169/10 cmです。

逆に、この答えを配置へ戻すと、OB² = (119/10)² + 12² = 28561/100 = (169/10)²です。またOA − OM = 169/10 − 119/10 = 5で、求めた高さAMに一致します。角Aが鈍角であることも確認できます。辺の長さについてBC² = 576、AB² + AC² = 338であり、余弦定理を使わずとも、AM = 5、BM = 12から角BAMが45°より大きく、その2倍の角Aは90°より大きいからです。

この2つの二等辺三角形では、同じ等距離の式を使ってもOAの表し方が違います。標準例題ではOがAとMの間にありOA = AM − OM、発展例題ではMを越えてOA = AM + OMです。どちらかを暗記するより、点の順番を式の前に書く方法が確実です。

条件を変えたときの分かれ目

三角形が一直線につぶれると、2辺の垂直二等分線は平行になり、3頂点を通る円の中心を上の方法では得られません。まず非退化の三角形であることが必要です。また、外接円の中心は3頂点への距離が等しい点であり、辺への距離を測って決める点ではありません。

直角かどうか不明なとき、斜辺の中点を外心と決めてはいけません。最長辺の平方と他の2辺の平方の和を比較し、等しければ三平方の定理の逆によって直角です。等しくなければ中点という結論は出せません。例えば二等辺三角形で高さと半底辺が等しい境目では、頂角が90°となり、外心は底辺の中点に移ります。

誤答を線分の順序から直す

発展例題の設定で、MからAへ向かう線分上に外心があると思い込み、半径を5 − xとして式を立てる誤答を考えます。図3のように、等距離を満たす点は実際にはBCの向こう側です。内部を探す式を立てても、0 ≦ x ≦ 5の範囲では(5 − x)²は25以下、OB² = x² + 144は144以上なので等しくなりません。

原因は、中心は内部にあるはずだという予想を条件として使ったことです。図3のようにA、M、Oの順に点を取り直すと、OA = AM + MOです。等距離の方程式から正のMOが得られ、仮定した順序も確かめられます。もし計算結果が負ならその配置は成立せず、反対側を調べ直します。負の値をそのまま線分の長さとしないことが修正の要点です。

また、1本の垂直二等分線上にあるだけでは、対応する2頂点から等距離としか言えません。3頂点に対して結論を出すには、もう1本の条件か、二等辺三角形の対称性と残る等距離を示す必要があります。図の中央に見える点であっても、等距離の証明がなければ外心とは決まりません。

練習：位置と距離を自分で結ぶ

長さの答えは既約分数または整数で、位置は内部・辺上・外部のいずれかで答えてください。三角形はいずれも非退化です。

1. 直角三角形PQRで角P = 90°、PQ = 9 cm、PR = 12 cmです。外心の位置と外接円の半径を求めてください。
2. 二等辺三角形DEFでDE = DF = 10 cm、EF = 12 cmです。外心の位置と外接円の半径を求めてください。
3. 二等辺三角形GHIでGH = GI = 10 cm、HI = 16 cmです。外心の位置と外接円の半径を求めてください。
4. 三角形JKLの外心をOとし、JK = 14 cm、OからJKへの距離を24 cmとします。外接円の半径を求めてください。
5. 三角形XYZの辺の長さはXY = 7 cm、YZ = 24 cm、ZX = 25 cmです。外心の位置と外接円の半径を求めてください。

練習の解答と考え方

1. QR² = 9² + 12² = 225よりQR = 15 cmです。外心は斜辺QRの中点で辺上にあり、半径は15/2 cmです。直径を戻すと15 cmで、9² + 12² = 15²を満たします。

2. EFの中点をMとするとEM = 6 cm、DM = √(10² − 6²) = 8 cmです。外心OをDM上に仮定してOM = xとすると、(8 − x)² = x² + 6²です。展開して64 − 16x = 36、x = 7/4を得ます。0 < 7/4 < 8なので内部にあり、半径は8 − 7/4 = 25/4 cmです。検算は(7/4)² + 6² = (25/4)²、7/4 + 25/4 = 8です。元の辺も6² + 8² = 10²に戻ります。

3. HIの中点をMとするとHM = 8 cm、GM = √(10² − 8²) = 6 cmです。OをMのGと反対側に取り、OM = xとすると、(6 + x)² = x² + 8²です。36 + 12x = 64よりx = 7/3で、正なので外部という配置に合います。半径は6 + 7/3 = 25/3 cmです。検算は(7/3)² + 8² = (25/3)²、25/3 − 7/3 = 6です。さらに6² + 8² = 10²なので与えた辺に戻ります。

4. 外心から弦JKへの垂線の足は、等しい斜辺を持つ直角三角形の合同によってJKの中点Mです。したがってJM = 7 cmで、OJ² = 24² + 7² = 625です。半径は25 cmです。25² − 24² = 49 = 7²より半弦は7 cm、元の弦の長さ14 cmに戻ります。中心が辺のどちら側にあっても同じ計算です。

5. 7² + 24² = 49 + 576 = 625 = 25²です。三平方の定理の逆から角Yは直角で、外心は斜辺XZの中点、つまり辺上です。半径は25/2 cmです。直径を2倍の半径から戻すと25 cmで、与えられた3辺は上の等式を満たします。

覚えておくこと

• 外心は2辺の垂直二等分線の交点で、3頂点から等距離です。
• 鋭角では内部、直角では斜辺の中点、鈍角では外部にあります。
• 半径は中点への垂線と三平方の定理を使って求めます。
• 点の順序と、求めた長さが正かどうかを最後に確かめます。

説明が止まった場所を見つける

外心を描けても理由が止まる場合は、まず「どの2頂点から等距離だから、この線上なのか」を口に出してみます。次にもう1辺について同じ説明をし、3頂点の距離を等式でつなぎます。個別に確かめる場面では、鈍角三角形の図を渡し、垂直二等分線をどこまで延長するかと、交点が外にある根拠を本人の言葉で説明してもらいます。半径の計算でつまずく場合は、式を修正する前に点の順序を指でたどり、和と差のどちらが長い線分を表すかを確かめます。外心の位置は、等距離の条件から決まります。