高校数学A n進法の加減算—繰り上がりと繰り下がりを基数のまとまりで説明する｜武蔵野個別指導塾

基数に応じて位のまとまりを交換し、繰り上がりや0をまたぐ繰り下がりを、十進数への読み戻しで照合します。

よくあるのは、高校生が異なる基数の筆算でも、どの位も10個集まったときに繰り上がると考える場面です。見慣れた十進法の手順をそのまま使うと、各桁が使える数字に収まっていても、表す数が変わることがあります。まとまりの大きさを先に決めてから、一の位で余った個数と隣の位へ移す個数を区別しましょう。

ここでは基数が2から9までの整数で、同じ基数で表した非負整数の和と、結果が非負になる差を扱います。掛け算や割り算の筆算には進みません。数学Aの「数学と人間の活動」では二進法も扱います。位取りの考えは、二進法以外の基数でも同じように使えます。

要点（結論から）

• 基数 n の位では n 個を左隣の位の1個に交換します。
• 繰り下がりでは上の位を1減らし、下の位に n 個を加えます。
• 0が続くときは、0でない位から隣へ順に交換します。

どの条件から筆算を始めるか

問いの出方は大きく3通りです。1つ目は2つの数の和を求める形で、各位の合計から基数分を隣の位に移します。2つ目は差を求める形で、引く数字が大きい位へ上の位からまとまりを移します。3つ目は途中の計算や答えの妥当性を調べる形で、桁が使えるか、元の数の大小は合っているかを確認します。

いずれも答えに基数を添えます。例えば末尾の (5) は「5進法で書いた」という意味で、直前の数との掛け算ではありません。途中の個数を数えるための式と、各桁に書く数字は区別します。特に桁に使えない数字を途中の個数として数えることと、その数字を答えの1桁に書くことは別です。

差を求めるときは、引かれる数が引く数以上かも確認します。先頭の桁数が違えば、先頭に0を補って位をそろえて構いません。桁数が同じときは、左から初めて違う位を比べれば大小が決まります。そこより下の位を全部合わせても、違いが生じた位の重みには届かないからです。

一まとまりを隣の位へ移す

基数を n とすると、一の位の n 個が、その左の位の1個になります。さらにその位の n 個が、もう1つ左の位の1個になります。各桁に書ける数字は0以上 n 未満の整数です。5進法なら0、1、2、3、4を使い、5は1桁には書けません。

図1のように、5進法では一の位の5個を左隣の位の1個へ交換します。逆に左隣の位の1個は、一の位の5個に交換できます。交換の前後で表す量は変わりません。

この図1の交換は一の位に限りません。5の位の5個は25の位の1個と等しく、上の位から1個を借りると、その下の位に5個増えます。各位の重みが右から1、5、25、125と5倍ずつになるためです。5進法の2桁の表記は、左の数字が5の位の個数、右の数字が一の位の個数を示します。

一般にある位の重みを w とすると、その左の位の重みは n・w です。その位の合計が n + r 個であれば、n・w + r・w なので、左に1個を送り、元の位に r 個を残せます。2つの有効な桁と前の位からの繰り上がりを足す場合、合計は最大で 2n − 1 です。したがって送る個数は高々1で、残りは0以上 n 未満になります。

引き算でも、上の位から1個を移すと下の位に n 個を加えられます。上の位の数字は1減らさなければ、量を二重に数えます。すぐ上が0なら、その0からは直接借りられません。さらに左へ進んで0でない位を探し、そこから順に交換します。

基本例題：5のまとまりで和を作る

5進法で表された非負整数 243(5) と 134(5) の和を、5進法の表記で求めます。各桁は0以上5未満なので、どちらも有効な表記です。

    243(5)
  + 134(5)
  --------
    432(5)

右端では3個と4個を合わせて7個です。7は5と2に分けられるので、2を一の位に書き、5個を5の位の1個に交換します。図2のように、次の位には元の4個と3個に、この1個を加えます。

5の位は合計8個で、5個と3個に分けます。3をその位に書き、25の位に1個送ります。25の位は2個と1個と送られた1個で4個です。4は5未満なので、それ以上の繰り上がりはありません。

各位の作業を十進数の個数で書くと、次のようになります。

3 + 4 = 7 = 5 + 2
4 + 3 + 1 = 8 = 5 + 3
2 + 1 + 1 = 4

図2の矢印は、それぞれ1個を左の位へ移す向きです。答えの各桁は4、3、2で、どれも5未満です。桁の条件を満たすことは必要ですが、それだけで計算が正しいとは限りません。位の重みを使い、元の和へ戻して照合します。以下の展開式で等号の右側に基数の注記がない数は十進数です。

243(5) = 2・25 + 4・5 + 3 = 73
134(5) = 1・25 + 3・5 + 4 = 44
432(5) = 4・25 + 3・5 + 2 = 117
73 + 44 = 117

右端の7をそのまま書くと5進法の桁として使えず、左の位へ移すべきまとまりも残ったままです。桁が有効かという点検と、十進数に戻す点検の両方を行うと、表記の誤りと量の誤りを区別できます。

標準例題：0を越えて借りる

6進法で表された非負整数 4021(6) から 1534(6) を引き、差を6進法で表します。先頭の4は1より大きく、引かれる数の方が大きいので、差は非負です。どの桁も6未満です。

    4021(6)
  - 1534(6)
  ---------
    2043(6)

一の位は1から4を引けません。左隣の6の位の2から1個を借りると、そこは1個になり、一の位は1 + 6 = 7個です。7 − 4 = 3を一の位に書きます。

次に6の位では、借りた後の1から3を引けません。その左の36の位は0なので、さらに左の216の位から順に交換します。216の位の4を3に減らして36の位を6個にし、そのうち1個を6の位へ移します。36の位は5個残り、6の位は1 + 6 = 7個です。

一の位: 1 + 6 - 4 = 3
6の位: 2 - 1 + 6 - 3 = 4
36の位: 0 + 6 - 1 - 5 = 0
216の位: 4 - 1 - 1 = 2

36の位で引く1は、6の位へ渡した1個です。216の位では、交換に使った1個と、引く数の1個を別々に引きます。途中でできた7や6は個数であり、6進法の答えの桁にそのまま書く数ではありません。

位の重みに戻して、引く前の量と差の両方を確かめます。

4021(6) = 4・216 + 0・36 + 2・6 + 1 = 877
1534(6) = 1・216 + 5・36 + 3・6 + 4 = 418
2043(6) = 2・216 + 0・36 + 4・6 + 3 = 459
877 - 418 = 459
459 + 418 = 877

最後の足し戻しは、差と引いた数を合わせると元の量に戻ることを示します。0の位を飛ばして直接下の位に1を足す方法では、どの重みの1を移したかが不明になります。隣り合う位の間で1段ずつ交換することが、連続する0にも対応する手順です。

発展例題：和を使ってから差を求める

8進法で表された非負整数 347(8)、265(8)、176(8) について、347(8) と 265(8) の和から 176(8) を引いた結果を、8進法で求めます。各桁は8未満です。先に和を作り、その和が引く数以上かも確かめます。

まず和を筆算します。右端の7と5は合わせて十進数で12個なので、8個を左へ送り4個を残します。次の位は4と6と送られた1で11個になり、8個を左へ送り3個を残します。最後は3と2と1で6です。

    347(8)
  + 265(8)
  --------
    634(8)

7 + 5 = 12 = 8 + 4
4 + 6 + 1 = 11 = 8 + 3
3 + 2 + 1 = 6

634(8) は176(8) より先頭の桁が大きいので、差は非負です。続いて一の位の4から6を引くため、8の位から1個借ります。8の位は3から2に減り、一の位は12個になります。次は2から7を引けないので、64の位から1個借ります。

    634(8)
  - 176(8)
  --------
    436(8)

一の位: 4 + 8 - 6 = 6
8の位: 3 - 1 + 8 - 7 = 3
64の位: 6 - 1 - 1 = 4

ここでは和の筆算で繰り上がった事実と、差の筆算で借りる事実を混ぜないようにします。和をいったん有効な8進法の表記として確定すれば、各位の個数を次の計算に正しく引き継げます。途中の和を省いて個数を頭の中で移すこともできますが、2回の交換の位置を見失うと元の量を保てません。

十進数に展開すると、次のように元の条件へ戻ります。

347(8) = 3・64 + 4・8 + 7 = 231
265(8) = 2・64 + 6・8 + 5 = 181
176(8) = 1・64 + 7・8 + 6 = 126
634(8) = 6・64 + 3・8 + 4 = 412
436(8) = 4・64 + 3・8 + 6 = 286
231 + 181 = 412
412 - 126 = 286
286 + 126 = 412

答えの4、3、6も0以上8未満です。和と差の両方を照合することで、2段階のどちらで誤ったかを切り分けられます。

誤った手順をどこから直すか

基本例題で一の位の3と4を足した後、十進法と同じように「10個未満だから繰り上げない」として、答えの一の位に7を書く誤りを考えます。原因は5進法の1まとまりを10個と取り違えたことです。5個を5の位の1個に交換し、残りの2個を一の位に置けば直ります。

図3では7個を5個と2個に分けています。右側の2は残り、左側へ送る1は5個分です。数字7を消して2だけ書くと、送るべき5個が失われるため、それも誤りです。

次の5つは、計算前後に失敗を見分けて立て直す確認です。それぞれ有効な場合の条件と、条件を満たさない場合の対応をセットにします。

1. 桁の範囲: 324(5) は各桁が5未満なので読めます。354(5) は5を1桁に使っているため、指定の表記としては読めません。勝手に数字を直さず、元の条件を確認します。
2. 基数の一致: 23(4) と 12(4) は位をそろえて足せます。23(4) と 12(5) は同じ位の重みが異なるので、そのまま桁同士を足せません。同じ基数へ表し直してから計算します。
3. 差の範囲: 31(6) から 14(6) を引く差は非負です。逆に 14(6) から 31(6) を引く場合は結果が負なので、ここで定めた差の範囲外です。答えを非負と決めつけず、まず大小を比べます。
4. 借りた後の数字: 20(5) から 3(5) を引くとき、左の2を1に減らし、一の位に5個を移すと 12(5) です。左を2のままにすると 22(5) となり、借りた5個を二重に数えます。12(5) は十進数で7、元の差も 10 − 3 = 7 です。
5. 外の計算手段: 位の重みを手で展開し、元の式と答えの量が一致すれば照合できます。計算機が使えない、途中で止まる、または入力が壊れて結果を読めないときは、画面の不完全な値を答えにせず、手計算で各位を展開して足し戻します。再入力する場合も基数と各桁を確認してから行います。

失敗例は正しい答えを覚えるためだけではありません。どの条件が満たされていないかを言葉にすると、使えない入力、範囲外の問い、交換の計算違いを分けて扱えます。計算手段が止まったときも、答えが未確認であることと、数学的に解がないことは別の状態です。

自分で解く5問

次の数はすべて、それぞれ指定された基数の非負整数です。各問の答えを同じ基数の表記で求めてください。引き算では差が非負であることも確かめます。

1. 4進法の 132(4) と 213(4) の和を求めます。
2. 7進法の 513(7) から 245(7) を引いた差を求めます。
3. 5進法の 1000(5) から 243(5) を引いた差を求めます。
4. 7進法の 366(7) と 245(7) の和を求めます。
5. 4進法の 2301(4) から 1322(4) を引いた差を求めます。

答えを見る前に、各桁が基数未満かを確認し、縦に位をそろえて計算してください。差の問題では左から大小を比べ、借りた位を更新した後の数字を使います。十進数への展開は、筆算が終わってから独立した照合として行います。

5問の解答と戻し方

1. 4進法の和

一の位は2と3で5個なので、4個を左へ送り1個を残します。次は3と1と送った1で5個、さらに次は1と2と送った1で4個です。

2 + 3 = 5 = 4 + 1
3 + 1 + 1 = 5 = 4 + 1
1 + 2 + 1 = 4 = 4 + 0
132(4) + 213(4) = 1011(4)

答えの桁は0または1で、4未満です。十進数に戻すと、132(4) = 30、213(4) = 39、1011(4) = 64 + 4 + 1 = 69 です。30 + 39 = 69 なので元の和と一致します。

2. 7進法の差

先頭の5は2より大きく、差は非負です。一の位は3から5を引けないので、7の位から1個借ります。次の位も借りた後は0なので、さらに49の位から1個を移します。

一の位: 3 + 7 - 5 = 5
7の位: 1 - 1 + 7 - 4 = 3
49の位: 5 - 1 - 2 = 2
513(7) - 245(7) = 235(7)

235(7) の各桁は7未満です。元の数は 513(7) = 5・49 + 1・7 + 3 = 255、245(7) = 2・49 + 4・7 + 5 = 131 です。答えは 2・49 + 3・7 + 5 = 124 で、124 + 131 = 255 と足し戻せます。

3. 連続する0を越える差

1000(5) は4桁、243(5) は3桁なので、引かれる数が大きく差は非負です。左端の1を0にし、25の位へ5個を移します。そこから1個を5の位へ、さらにその5個のうち1個を一の位へ移します。

一の位: 0 + 5 - 3 = 2
5の位: 0 + 5 - 1 - 4 = 0
25の位: 0 + 5 - 1 - 2 = 2
125の位: 1 - 1 = 0
1000(5) - 243(5) = 202(5)

先頭の0は省きます。1000(5) = 125、243(5) = 2・25 + 4・5 + 3 = 73、202(5) = 2・25 + 2 = 52 です。52 + 73 = 125 で元の数に戻り、答えの各桁も5未満です。

4. 7進法の和

一の位は6と5で11個、7の位は6と4と送った1で11個です。どちらも7個を左に送り、4個を残します。49の位では3と2と送った1で6個です。

6 + 5 = 11 = 7 + 4
6 + 4 + 1 = 11 = 7 + 4
3 + 2 + 1 = 6
366(7) + 245(7) = 644(7)

各桁は7未満です。366(7) = 3・49 + 6・7 + 6 = 195、245(7) = 131、644(7) = 6・49 + 4・7 + 4 = 326 です。195 + 131 = 326 で和を照合できます。

5. 4進法の差

最上位は2が1より大きいため、差は非負です。一の位の1から2を引くには、すぐ左が0なので、その左の3から順に借ります。借りた後の4の位は3個になり、そこから引く数の2個を引けます。

一の位: 1 + 4 - 2 = 3
4の位: 0 + 4 - 1 - 2 = 1
16の位: 3 - 1 - 3 は負

16の位でもさらに64の位から借りる必要があります。そこで16の位の計算を次のように直します。

16の位: 3 - 1 + 4 - 3 = 3
64の位: 2 - 1 - 1 = 0
2301(4) - 1322(4) = 313(4)

一度引けるか調べて負になった位を見落とさず、左から借り直すことが分かれ目です。2301(4) = 2・64 + 3・16 + 1 = 177、1322(4) = 1・64 + 3・16 + 2・4 + 2 = 122、313(4) = 3・16 + 1・4 + 3 = 55 です。55 + 122 = 177 となり、各桁も4未満です。

要点を残す

• 基数 n の位では n 個を左隣の位の1個に交換します。
• 繰り下がりでは上の位を1減らし、下の位に n 個を加えます。
• 0が続くときは、0でない位から隣へ順に交換します。
• 各桁の範囲と、十進数への読み戻しの両方を確かめます。

手が止まった場所を言葉にする

繰り上がりの数字だけが合わない場合は、「何個を1まとまりにしたか」と「どの位へ何個送ったか」を本人の言葉で説明してみます。引き算で0の先へ進めない場合は、借りる前後の各位の個数を横に書くと、更新し忘れた位を見つけやすくなります。

個別指導で確かめるなら、答えを見せてもらうだけでなく、1回の交換の前後で量が変わらない式を尋ねます。次に答えを位の重みで十進数へ戻し、元の和や差と照合できるかを見ます。基数ごとのまとまりを保てば、筆算の数字は元の量を表し続けます。