高校数学A 期待値の求め方—起こる値と確率を対応させて加重平均を作る｜武蔵野個別指導塾

種の袋数と確率の対応から加重平均を考えます。実際には出ない値もありうる期待値です。

よくあるのは、配布される種の袋数を調べるとき、0袋、1袋、3袋という種類を見て、3つの数を同じ重さで平均してしまう場面です。袋数ごとの起こりやすさが違えば、その平均は配布の仕組みを表しません。まず袋数と確率を対応させ、0袋の場合も含めて考えます。

期待値は、結果の数値にそれぞれの確率を掛けて足した値です。1回の配布で受け取る袋数の予言ではなく、起こりやすさを重みにした平均として読みます。どの値にどの確率を掛けるかを整理することから始めましょう。

どの結果を数値にするか

問題の型は大きく3つあります。袋数と確率が表で与えられる型では、確率の合計が1かを確かめてから、同じ列の値と確率を掛けます。番号付きの札など、同様に確からしい細かい結果が与えられる型では、まず同じ値になる札をまとめて確率を作ります。複数回選んだ結果から個数を決める型では、取り方と個数の対応を漏れなく調べます。

いずれも最初に「何の期待値か」を決めます。受け取る袋数と、受け取らなかった袋数は別の量です。問題で求められた量を記号で置けば、表に書く値も決まります。袋数を求めるなら答えの単位は袋です。確率は単位を持たないので、掛けた結果にも袋という単位が残ります。

結果を細かく分ける方法と、同じ値になる結果をまとめる方法はどちらも使えます。ただし、まとめた後の値の種類を同様に確からしいとみなしてはいけません。どの細かい結果がどの値に対応するかを、確率を作る前に確かめます。

値と確率の対応を作る

ある試行で数値 X が有限個の値 x₁、x₂、……、xₙ をとり、それぞれの確率が p₁、p₂、……、pₙ であるとします。各確率は0以上1以下で、互いに異なる値に対応する確率を足すと1です。このとき X の期待値 E(X) は、次のように定義します。

E(X) = x₁・p₁ + x₂・p₂ + …… + xₙ・pₙ

掛け算は値とその値をとる確率の組ごとに行います。足し算は、起こりうる値を重複なく並べてから行います。値が0でも、その確率を表から省くと、確率の和や他の確率を確認しにくくなります。0に確率を掛けた項は0ですが、0になる場合そのものは確かに存在します。

図1のように、値と確率を縦にそろえ、各列で積を作ります。最後に積を合わせたものが期待値です。確率の和が1であることは、起こりうる結果を漏れなく数えたかを点検する手がかりです。ただし、和が1でも対応を取り違えている可能性はあるので、各列が元の条件に合うことも確かめます。

期待値は、どの値も同じ確率なら通常の平均と一致します。例えば3つの値がそれぞれ1/3の確率で起こるなら、3つの値の和を3で割ることになります。確率が異なるときは、起こりやすい値の重みが大きくなるため、種類の個数で割る計算とは一般に一致しません。

また、期待値は実現する値の最小以上、最大以下です。確率を重みにした平均だからです。例えば袋数が0袋から3袋の間なのに期待値が4袋なら、確率の和や計算を見直します。逆に、その範囲に入っているだけでは正しいと断定できません。単位と対応も必要です。

基本例題：札から袋数を決める

箱に区別できる札が6枚あり、そのうち2枚には0袋、3枚には1袋、残る1枚には3袋と書いてあります。札を1枚、どれも同様に確からしく取り、書かれた袋数の種を受け取ります。受け取る袋数の期待値を袋単位で求めてください。

まず、札は6枚とも同じ確率で選ばれますが、袋数の3種類は同じ確率ではありません。同じ袋数の札の枚数を6で割ると、それぞれの確率が得られます。図2のように、0袋の札も分母に含めます。

0袋となる確率 = 2/6 = 1/3

1袋となる確率 = 3/6 = 1/2

3袋となる確率 = 1/6

確率の和 = 1/3 + 1/2 + 1/6 = 1

したがって、受け取る袋数を X とすると、次のようになります。

E(X) = 0・(1/3) + 1・(1/2) + 3・(1/6)

= 0 + 1/2 + 1/2

= 1

答えは1袋です。札6枚の袋数を直接足して6で割っても、(0 + 0 + 1 + 1 + 1 + 3)/6 = 1袋です。こちらでは同じ確率の札を1枚ずつ数えています。表を使う方法は、同じ袋数の札を先にまとめた計算です。

元の条件に戻すと、0袋の札2枚、1袋の札3枚、3袋の札1枚で、合計6枚です。期待値の1袋は今回は実際に取りうる値ですが、期待値がいつも実際の結果のどれかに一致するわけではありません。0袋の札を引けば受け取りは0袋であり、期待値が1袋でも毎回1袋を受け取るわけではありません。

標準例題：同じ値になる札をまとめる

1から8までの番号を1つずつ書いた8枚の札から、1枚を同様に確からしく選びます。1または2ならしおりを0枚、3から6なら2枚、7または8なら5枚受け取ります。受け取る枚数の期待値を枚単位で求めてください。

番号は等確率ですが、受け取る枚数の種類は等確率とは限りません。枚数ごとに番号をまとめると、0枚は2個、2枚は4個、5枚は2個です。各番号はちょうど1つの欄に入り、個数の合計は8です。

0枚の確率 = 2/8 = 1/4

2枚の確率 = 4/8 = 1/2

5枚の確率 = 2/8 = 1/4

確率の和 = 1/4 + 1/2 + 1/4 = 1

求める期待値は次のとおりです。

0・(1/4) + 2・(1/2) + 5・(1/4)

= 0 + 1 + 5/4

= 9/4

答えは9/4枚です。1回に受け取る枚数は0枚、2枚、5枚なので、9/4枚は実際には受け取りません。それでも確率を重みにした平均として意味があります。

別の数え方では、8個の番号に対応する枚数を直接足します。(0 + 0 + 2 + 2 + 2 + 2 + 5 + 5)/8 = 18/8 = 9/4枚です。4個の番号に対応する2枚を4回足すことと、2枚に確率4/8を掛けることが対応します。番号の平均を出してから枚数に変える方法では、番号と枚数の対応が一定の割合ではないため、この計算を代用できません。

発展例題：取り方から確率を作る

赤い印のカード3枚と青い印のカード2枚があります。5枚はそれぞれ区別でき、2枚を同時に同様に確からしく選びます。選ぶ順序は区別しません。赤い印のカード1枚につき苗を2本、青い印のカード1枚につき苗を1本受け取るとき、受け取る苗の本数の期待値を本単位で求めてください。

ここでは本数の確率が直接与えられていません。まず、赤いカードの枚数で場合を分けます。2枚とも青、赤と青が1枚ずつ、2枚とも赤の3つは重ならず、2枚選ぶ結果を尽くします。選び方は区別できるカードの組なので、全体は5C2 = 10通りです。

2枚とも青の選び方 = 2C2 = 1通り

赤と青が1枚ずつの選び方 = 3C1・2C1 = 6通り

2枚とも赤の選び方 = 3C2 = 3通り

合計は1 + 6 + 3 = 10通りで、全体と一致します。対応する苗の本数は順に2本、3本、4本です。選び方が同様に確からしいので、確率は順に1/10、6/10、3/10となります。

期待値 = 2・(1/10) + 3・(6/10) + 4・(3/10)

= 2/10 + 18/10 + 12/10

= 32/10

= 16/5

答えは16/5本です。実際の本数は2本、3本、4本なので、16/5本はそのいずれでもありません。また、最小の2本以上、最大の4本以下に入っています。

順番をつけて1枚ずつ戻さず選んでも確かめられます。各組は2通りの順序で現れ、全体は20通りです。青青、赤青または青赤、赤赤の順序つきの数はそれぞれ2、12、6通りなので、確率は同じです。分母を20にするなら分子も順序つきにそろえる必要があります。もしカードを戻してから2枚目を選ぶ条件に変われば、同じカードを再び選ぶ結果も加わり、上の10通りは使えません。

誤答を対応から直す

基本例題で、袋数の種類を使って (0 + 1 + 3)/3 = 4/3袋とする誤りを考えます。3種類は確かにありますが、その確率は順に1/3、1/2、1/6です。種類ごとに1/3を掛けると、元の札の枚数が反映されません。

図3のように、誤った式では3種類に等しい重みを置いています。修正するときは札の枚数を数え、各袋数に対応する確率を戻します。0袋に掛けた積は0ですが、その札を除いて分母を4にするのも誤りです。実際には6枚のどれも選ばれるため、0袋の2枚も全体に入ります。

もう一つの誤りは、確率を足して1になったところで計算を終えることです。1は確率の合計であって袋数の平均ではありません。各確率に袋数を掛け、積を足した後に袋という単位を付けます。確率の合計が1でない場合は、欠けた結果や重複を調べてから計算を進めます。

練習問題

いずれも期待値を指定された単位で求めてください。札やカードは区別でき、指定の選び方は同様に確からしいものとします。

1. 箱に0個と書いた札が1枚、2個と書いた札が2枚、4個と書いた札が1枚あります。1枚を選び、書かれた個数の球を受け取ります。球の個数の期待値を個単位で求めてください。
2. 1から5の番号の札を1枚選びます。1なら花を1本、2または3なら3本、4または5なら4本受け取ります。花の本数の期待値を本単位で求めてください。
3. 印のある石2個と印のない石3個から、同時に2個を順序を区別せず選びます。印のある石の個数の期待値を個単位で求めてください。
4. 装置の表示が0点、2点、6点となる確率は順に1/2、1/3、1/6です。表示点の期待値を点単位で求め、実際の表示になりうるか答えてください。
5. 1から6の番号の札を1枚選びます。奇数なら番号と同じ枚数、偶数なら0枚の紙を受け取ります。紙の枚数の期待値を枚単位で求めてください。

練習問題の答えと解き方

1. 確率は順に1/4、2/4、1/4で、和は1です。0・(1/4) + 2・(2/4) + 4・(1/4) = 2より、2個です。4枚の札に書かれた個数の合計8を4で割っても同じです。
2. 1本、3本、4本の確率は順に1/5、2/5、2/5です。1・(1/5) + 3・(2/5) + 4・(2/5) = 15/5 = 3より、3本です。番号を戻して見ると、1、2、3、4、5の5枚を漏れなく使っています。
3. 全体は5C2 = 10通りです。印のある石が0個、1個、2個の選び方は順に3C2 = 3通り、2C1・3C1 = 6通り、2C2 = 1通りです。よって0・(3/10) + 1・(6/10) + 2・(1/10) = 4/5より、4/5個です。3 + 6 + 1 = 10で全ての組に戻ります。
4. 0・(1/2) + 2・(1/3) + 6・(1/6) = 2/3 + 1 = 5/3より、5/3点です。表示は0点、2点、6点なので、5/3点は実際の表示にはなりません。確率の和は1であり、答えは0点以上6点以下です。
5. 番号順の枚数は1、0、3、0、5、0です。それぞれの確率が1/6なので、(1 + 0 + 3 + 0 + 5 + 0)/6 = 3/2より、3/2枚です。偶数の札も選ばれるため、0枚の3通りを分母から除きません。

練習3では、印のある石を1個選ぶ場合に、印のある石2個とない石3個の組を作ります。どの組も印の有無で選び方が一意に決まるので、6通りを重複なく数えられます。2個とも印がない組と2個とも印がある組も合わせると、最初に選んだ2個の組に必ず戻れます。期待値が整数でないことを理由に、四捨五入して1個とする必要はありません。求められたのは1回の個数ではなく、確率を重みにした平均だからです。

練習4では、確率の合計が1/2 + 1/3 + 1/6 = 1です。表示の候補が3種類あっても、それぞれの重みが等しいとは限りません。各表示の確率をその表示に対応させることが、単位を点のまま保つ計算につながります。

覚えておくこと

期待値は、値と対応する確率の積を足して求めます。 確率の和、値の漏れ、求める量の単位を確認します。 期待値は実際に起こる値とは限りません。

つまずきを見分ける

式が合わないときは、まず値の行を隠して確率の行だけを見ます。和が1でなければ、0になる場合を含めて結果を列挙し直します。和が1なら、各確率がどの値に対応するかを元の札や選び方に戻して尋ねます。計算の途中で分母が変わった場合は、数えている全体が変わっていないかを調べます。

個別指導で確かめるなら、「この項の1/2は何を選ぶ確率ですか」「0袋の札はどこに入りましたか」と、書かれた項を指して説明してもらいます。答えが実現候補にない場合も、最小と最大の間にあるかを確認し、1回の結果と加重平均を区別します。値と確率の対応を言葉に戻せれば、次の問題でも期待値を自分で立てられます。