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高校数学A 反復試行で何回以上—排反な回数を足す方法と余事象を比較する｜武蔵野個別指導塾

公開 2026.11.12更新 2026.11.12武蔵野個別指導塾の特徴高校数学A 場合の数と確率を掘り下げる

独立な送信の成功回数を並べ、指定回数を含む範囲とその余事象を比べることで、足す項を判断できます。

よくあるのは、端末から同じ条件で何回か送信するとき、「3回以上成功」を「3回成功」と読んで式を終えてしまう場面です。4回も5回も成功できるなら、それらも条件に入ります。まず成功回数を横に並べ、必要な回数を選んでから計算しましょう。

送信の結果を成功と失敗に分け、各回の成功確率が一定で、各回の結果が互いに独立であるとします。実際の通信の性質を推測するための数値ではなく、以下の問題で与える条件です。有限回の成功回数に注目し、その範囲を直接足す方法と、外側を引く方法を比べます。

回数の条件を読む3つの型

1つ目は「少なくとも何回」という型です。これは指定回数以上という意味で、指定回数を含みます。2つ目は「何回以下」という型です。0回から指定回数までを含みます。3つ目は「何回以上、何回以下」という型で、両端を含む範囲を取ります。

どの型でも、最初に試行の総回数を書きます。成功回数は0から総回数までの整数です。回数を並べた後に境界を丸で囲むと、言葉と式のずれを見つけやすくなります。例えば5回のうち4回以上なら、対象は4回と5回です。4回の項だけでは全成功が欠けます。

足す項が少なければ対象の回数を直接足し、対象外の項が少なければ全体の確率1から対象外を引きます。項の数だけでなく、0回や全成功の項が簡単かどうかも判断材料です。両方の式を作れると、境界と計算の確認にもなります。

成功回数で区切る

同じ条件の試行をn回行い、各回の成功確率がp、失敗確率がq = 1 − pであるとします。各回が独立なら、成功がちょうどr回起きる確率は次の式です。ここでrは0以上n以下の整数です。

nCr・pのr乗・qの(n - r)乗

成功する位置をn回の中からrか所選ぶ方法がnCr通りあります。位置を決めた1つの結果列の確率は、独立性によって成功の確率r個と失敗の確率n − r個の積です。どの位置の選び方も同じ積となり、異なる位置の選び方は別の結果列に対応します。0<p<1なら、成功0回やn回も0でない数の0乗を1として計算できます。p=0では全回失敗だけが、p=1では全回成功だけが確率1となり、それ以外の回数は確率0です。

異なる成功回数の事象は同時には起こらないので排反です。したがって、求める回数ごとの確率を加えられます。一方、各回の結果が独立であることと、異なる回数の事象が排反であることは別の性質です。前者は1つの結果列の確率を掛けるため、後者は回数別の確率を足すために使います。

図1のように、5回中3回以上なら3、4、5を選びます。その余事象は0、1、2回です。「3回より多い」なら3を含まず、4、5回になります。余事象を作るときは言葉を機械的に反転させるより、まず全ての回数を並べて残りを拾うと確実です。

図1では色の境界にある3が対象側に入っています。範囲が0以上の全回数を含めば確率は1、実現できる回数を含まなければ確率は0です。この端の確認は、余事象を引く式の向きも点検します。

基本例題：送信が2回以上成功する

端末が同じデータを独立に3回送ります。各回の成功確率は2/3です。3回中2回以上成功する確率を既約分数で求めてください。各回は成功か失敗のいずれかです。

図2のように、求める回数は2回と3回です。2回成功する位置は3C2通りで、各結果列は成功2回、失敗1回です。3回成功は全回成功の1通りです。よって順に計算します。

P(2回) = 3C2・(2/3)²・(1/3)
        = 3・4/9・1/3
        = 4/9
P(3回) = (2/3)³
        = 8/27
P(2回以上) = 4/9 + 8/27
             = 12/27 + 8/27
             = 20/27

答えは20/27です。2回成功には、失敗が1回目、2回目、3回目にある3種類の列が対応します。3回成功の列はそれらと重ならず、3回の送信で条件に合う列を尽くしています。

別の確認として、対象外の0回と1回を引きます。0回は1/27、1回は3・(2/3)・(1/3)² = 6/27です。1 − (1/27 + 6/27) = 20/27となり、同じ答えです。対象外が2項、対象も2項なので、この例では両方を比べると分類の練習になります。

標準例題：余事象の項が少ないとき

ある装置が同じ形式の信号を独立に5回読み取ります。各回の読み取りが成功する確率は1/2です。成功が少なくとも2回である確率を既約分数で求めてください。

対象は2、3、4、5回の4項です。対象外は0、1回の2項なので、余事象を使います。0回の列は全て失敗、1回の列は成功する位置を5か所から選びます。

P(0回) = (1/2)⁵
        = 1/32
P(1回) = 5C1・(1/2)・(1/2)⁴
        = 5/32
P(2回以上) = 1 - (1/32 + 5/32)
             = 26/32
             = 13/16

答えは13/16です。2回以上の否定は「2回以下」ではなく「2回未満」です。回数が整数なので0回または1回に限られ、2回は引きません。ここを取り違えると、ちょうど2回成功する列を対象から除いてしまいます。

直接足しても同じ値になります。成功回数2、3、4、5に対応する列の数は順に10、10、5、1です。どの列も確率1/32なので、合計は26/32です。0回から5回までの列の数の和は1 + 5 + 10 + 10 + 5 + 1 = 32で、対象と対象外が重ならず全体を分けています。

この例で列の数を分母に使えるのは、成功と失敗がともに1/2で、長さ5の各列の確率が等しいからです。基本例題では各列の確率が同じではありません。成功回数ごとの積を求めずに、条件に合う列の本数を全列の本数で割ってはいけません。

発展例題：両端を含む範囲を選ぶ

試作品の表示を独立に4回点検します。各回で表示が正しく出る確率は3/4です。正しく出る回数が2回以上3回以下となる確率を既約分数で求めてください。

両端を含むので対象は2回と3回です。4回は3回以下ではなく、1回は2回以上ではありません。直接足すと2項、余事象は0、1、4回の3項なので、ここでは直接足します。

P(2回) = 4C2・(3/4)²・(1/4)²
        = 6・9/16・1/16
        = 54/256
P(3回) = 4C3・(3/4)³・(1/4)
        = 4・27/64・1/4
        = 108/256
P(2回以上3回以下) = 54/256 + 108/256
                       = 162/256
                       = 81/128

答えは81/128です。2回の項は正しい表示の位置を2か所選び、残り2か所は正しく出ない列を表します。3回の項も同様に位置を選びます。結果列は成功回数によって一方にのみ入るので、足しても重複しません。

対象外を計算すると0回は1/256、1回は12/256、4回は81/256です。これらの和は94/256で、1 − 94/256 = 162/256となります。0から4までの各回数を対象と対象外に分けたとき、2と3だけが対象に残ることも確認できます。

もし条件が「2回より多く3回以下」に変われば、対象は3回だけです。2回を含めるかどうかは小さな言葉の違いですが、54/256の項が変わります。式を直す前に対象の回数を書き換えることが、条件変更への確かな対応です。

誤答から境界を直す

基本例題で、2回以上を求めるのに4/9と答えたとします。これはちょうど2回の確率としては正しいものの、3回成功する列を落としています。図3のように、条件を満たす回数を並べ、欠けた3回の確率8/27を加えると20/27です。

図3の修正は、単に項を増やす操作ではありません。3回成功という具体的な結果が問題の条件を満たすかに戻っています。同じやり方で「全回失敗は対象か」「全回成功は対象か」を尋ねると、範囲の両端を検査できます。

別の誤りは、2回以上の余事象として0、1、2回を引くことです。2回成功は元の条件を満たすため、余事象には入れません。また、成功確率が回ごとに変わったり、前の結果が次に影響したりする設定では、上の反復試行の式をそのまま使えません。まず各回が独立で成功確率が一定か、問題文で確認します。

練習問題

それぞれの試行は互いに独立で、各回の成功確率は問題ごとに一定です。確率は既約分数で求めてください。成功しない場合は失敗とします。

1回の成功確率が1/3の読み取りを2回行います。少なくとも1回成功する確率を求めてください。
1回の成功確率が1/4の発光試験を3回行います。成功が1回以下となる確率を求めてください。
1回の成功確率が2/5の検知を4回行います。成功が3回以上となる確率を求めてください。
1回の成功確率が1/2の記号判定を6回行います。成功が2回以上4回以下となる確率を求めてください。
1回の成功確率が3/5の測定を3回行います。成功が1回より多い確率を求めてください。

練習問題の答えと解き方

対象外は2回とも失敗する場合です。失敗確率は2/3なので、求める確率は1 − (2/3)² = 5/9です。対象は成功1回と2回で、0回を除いた残りに一致します。
0回と1回を足します。0回は(3/4)³ = 27/64、1回は3C1・(1/4)・(3/4)² = 27/64です。答えは54/64 = 27/32です。対象外の2回と3回を引いても、1 − (9/64 + 1/64) = 27/32です。
3回と4回を足します。3回は4C3・(2/5)³・(3/5) = 96/625、4回は(2/5)⁴ = 16/625です。答えは112/625です。3回成功の各列には失敗が1か所あり、4回成功の列とは重なりません。
対象は2、3、4回です。各列の確率は1/64で、対象となる列は6C2 + 6C3 + 6C4 = 15 + 20 + 15 = 50通りです。答えは50/64 = 25/32です。対象外の0、1、5、6回は合わせて1 + 6 + 6 + 1 = 14通りで、全64通りに戻ります。
「1回より多い」ので、2回と3回が対象です。2回は3C2・(3/5)²・(2/5) = 54/125、3回は(3/5)³ = 27/125です。答えは81/125です。ちょうど1回の結果は条件を満たさず、ここには足しません。