高校数学A 組合せの意味—選ぶ順序の重複を除いて順列との境界をつかむ｜武蔵野個別指導塾

部品の選択を順列から数え直し、空集合や選ばない側にも目を向けます。順序を消す鍵は組合せの意味です。

よくあるのは、展示に使う部品を選ぶとき、取り出した順まで記録してしまう場面です。赤い部品の次に青い部品を取り出しても、青い部品の次に赤い部品を取り出しても、展示に使う部品の集まりは同じです。一方、取り付ける場所まで決めるなら、順序が結果に影響します。何を1通りとするかを先に決めて、式の意味を確かめましょう。

何が決まれば1通りなのか

組合せが現れる問いには、いくつかの形があります。異なるものから一定個数を選び、選ばれた集まりだけを記録する問いでは、選択の順序を区別しません。空席などの異なる役割に選んだものを割り当てる問いでは、選ぶだけでなく配置まで区別します。

また、選ぶ個数が全体に近いときは、残すものを選び直すと簡単になることがあります。選ばれたものが決まれば残りも決まるためです。選ぶ側と残す側を比べる前に、対象が互いに異なり、各対象を選ぶか選ばないかが明確であることを確認します。

同じ手順で取り出しても、記録する内容が違えば答えは変わります。問題文に「順に取り出す」とあっても、最後に選ばれた集まりだけを問うなら順番を消します。逆に、取り出した順に異なる位置へ置くなら、その順番を消してはいけません。

順列から組合せへ

異なるn個から異なるr個を選んで一列に並べる順列の総数をnPrと書きます。nとrは整数で、0≦r≦nとします。0個を並べる方法も、何も置かない1通りと数えます。n個からr個を選ぶ組合せの総数はnCrです。こちらは選ぶ順序を区別せず、選んだ対象の集合を1通りとします。

図1のように、同じ3個の選択に対応する並びは3・2・1 = 6通りあります。最初に置くものが3通り、次が2通り、最後が1通りだからです。この6通りは並びとしては異なりますが、選択としては同じです。

図1では、並びの順番を消すと、いずれも同じ集合に移ります。別の3個の集合に移る並びと混ざることはありません。一般に、どのr個の集合にもr!通りの並びが対応するので、順列の総数をr!で割れます。ここでr!は1からrまでの整数の積で、0! = 1と定めます。

nCr = nPr / r!
     = n! / (r!・(n - r)!)

割る理由は、順序を無視した1つの結果が順列の中でちょうどr!回ずつ現れることです。重複の回数が結果によって異なる場合には、一律に割る操作をそのまま使えません。例えば、選んだ後に役割を与えた結果を求めているなら、その役割の違いは消すべき重複ではありません。

0個選ぶとき、選ばれたものの集合は空集合です。何も選ばないという結果は1通りなので、nC0 = 1です。全部を選ぶnCnも、選ばれた集合が全体に決まるため1です。0通りと混同しないよう、結果そのものを書いて確かめます。

選ぶ個数の条件も、式に代入する前に見ます。例えば4個から5個を重ねずに選ぶことはできません。ここで定義したnCrの範囲は0≦r≦nなので、範囲外の値を階乗の式にそのまま入れるのではなく、選択が実現できないと問題の条件から判断します。一方、4個から4個を選ぶ場合は実現でき、全体を選ぶ1通りがあります。

また、対象を区別できるかどうかも重要です。見た目が同じでも、番号などで区別する条件なら別の対象として数えます。反対に、対象を区別しない設定では、ここでのn個の異なる対象という前提が成り立ちません。式を選ぶ前に、何が違えば結果が違うのかを問題文で確かめます。

集合を使う記録では、文字を並べる順番は結果の違いを意味しません。例えば集合をA、Bの順で書いてもB、Aの順で書いても、含まれる対象は同じです。これに対し、役割を添えてAを左、Bを右と記録すれば、交換した配置との違いが残ります。記号の見た目ではなく、記録が表す内容に注目します。

基本例題：取り出す順を消す

異なる4個の部品A、B、C、Dから2個を選びます。同じ部品を繰り返し選ばず、選ぶ順序は記録しません。選び方を整数の通り数で求めてください。

まず順番を付けると、1番目に4通り、2番目に残り3通りあります。例えばABとBAは別の順列ですが、選択としてはどちらもAとBです。図2のように、各選択には2通りの順列が対応します。

4P2 = 4・3
    = 12
2! = 2・1
   = 2
4C2 = 12 / 2
    = 6

答えは6通りです。実際に選んだ集合を並べると、AB、AC、AD、BC、BD、CDです。どれも異なる2個を含み、先に書いた文字が取り出しの順を意味するわけではありません。Aと組む相手、次にAを含まない組という順で確認すれば、漏れや二重計上を見つけられます。

図2の6つの選択には、それぞれ逆順を含む2つの順列があります。合計は6・2 = 12通りとなり、最初に数えた順列に戻ります。答えから元の数へ戻すことで、割った数が正しいかも点検できます。

標準例題：選ばない側から見る

異なる8枚の作品から展示する6枚を選びます。選ぶ順序は記録せず、同じ作品を重ねて選びません。選び方を整数の通り数で求めてください。

展示する6枚をそのまま選ぶ方法と、展示しない2枚を選ぶ方法を比べます。展示する6枚が決まれば残り2枚が決まり、展示しない2枚が決まれば残り6枚も決まります。互いに逆に戻せるため、両方の選び方は1対1に対応します。

8C6 = 8C2
    = (8・7) / (2・1)
    = 28

答えは28通りです。残す2枚は異なり、順序を記録しないので8C2を使えます。例えば残す2枚を作品AとBに決めると、AとB以外の6枚が展示されます。別の2枚を残せば、展示されない作品が違うので展示する集合も違います。

直接計算しても同じ答えになります。6枚の順番を付けた選択から、その6枚の並び6!通りを取り除きます。

8C6 = (8・7・6・5・4・3) / (6・5・4・3・2・1)
    = (8・7) / (2・1)
    = 28

一般にも、n個からr個を選ぶと、選ばないものはn − r個です。選んだ集合とその補集合は互いに一意に決まるので、nCr = nC(n − r)です。この対称性は単なる式の形の一致ではなく、選択そのものの対応を表します。r = 0やr = nでも、空集合と全体集合が対応します。

発展例題：選択の後に役割を付ける

異なる7個の模型から3個を選び、そのうち1個を中央台、別の1個を右台、残る1個を左台に置きます。同じ模型を複数の台に置けません。台は区別し、配置の数を整数の通り数で求めてください。

この問いでは、選んだ集合が同じでも、どの台に何を置くかが違えば別の配置です。まず3個の集合を選び、その集合の内部で3個を台に割り当てると考えます。選択の時点では順序を無視しますが、割当ての段階では役割を区別します。

7C3 = (7・6・5) / (3・2・1)
    = 35
3! = 3・2・1
   = 6
35・6 = 210

答えは210通りです。どの3個を選んでも台への割当ては6通りです。選んだ集合が違えば置かれた模型も違い、同じ集合からでも台への割当てが違えば配置が違います。したがって、掛けた結果に重複はありません。

別の方法では中央台、右台、左台の順に模型を決めます。中央台は7通り、右台は残り6通り、左台は残り5通りです。

7P3 = 7・6・5
    = 210

どちらの方法も、完成した配置から台ごとの模型を読み取れば、選択と割当てを一意に復元できます。もし台を区別せず選んだ模型だけを問うなら35通りです。反対に台を区別する問いで35だけを答えると、同じ集合内の6配置を1つにまとめてしまいます。境界は取り出す操作の有無ではなく、完成した結果に何を記録するかです。

誤答を順序のまとまりに戻す

基本例題で、4・3 = 12通りとする誤答を考えます。原因は、最初と次の取り出しを区別したまま、答えを選ばれた集合の数として扱ったことです。図3のように、ABとBAは異なる順列ですが、選択としては同じ1組です。

図3で残りの順列も同様に逆順と組にすると、12通りは2通りずつの6組になります。修正は12 / 2 = 6です。割る2は「2個選ぶから」とだけ覚えるより、選んだ2個の並べ方が2通りあると説明すると、3個以上でも判断できます。

逆の誤りもあります。発展例題のように台が区別されるのに、順列を3!で割って35通りとする場合です。割る操作は選択だけを求めるときには適切ですが、台の違いまで消します。最終結果を1つ書き、模型を2台の間で交換したとき別の結果かどうかを問題文へ戻して確かめましょう。

練習問題

いずれも対象は互いに異なり、同じ対象を繰り返し選びません。選択だけを問う場合は選ぶ順序を記録しません。答えはいずれも整数の通り数で求めてください。

1. 5種類の葉の標本から3種類を選びます。選び方は何通りですか。
2. 9冊の記録帳から使わない1冊を決め、残りを使います。使う記録帳の集合は何通りですか。
3. 6個の異なる印から0個を選びます。選ばれた印の集合は何通りですか。
4. 5枚の異なる写真から2枚を選び、表紙と裏表紙に1枚ずつ置きます。表紙と裏表紙を区別すると配置は何通りですか。
5. 7種類の音から4種類を選びます。選び方は何通りですか。選ばない音にも注目してください。

練習問題の答えと解き方

1. 10通りです。3種類の並びを数えて、同じ選択に属する3!通りで割ります。

5C3 = (5・4・3) / (3・2・1)
    = 10

各結果は3種類を含みます。結果ごとに3!通りの並びがあるので、10・6 = 60通りの順列へ戻ります。

2. 9通りです。使わない1冊が決まると使う8冊も一意に決まります。逆に使う8冊から使わない1冊を復元できます。

9C8 = 9C1
    = 9

残す1冊のどれを選んでも使う集合は異なり、いずれも8冊を含みます。

3. 1通りです。選ばれた集合は空集合であり、何も選ばない結果が1つあります。

6C0 = 1

選ぶ印がないから答えが0という意味ではありません。空集合を元の6個と照合すると、どの印も選ばれていないという条件を満たします。

4. 20通りです。写真の選択は順序を無視しますが、その後の表紙と裏表紙は区別します。

5C2 = (5・4) / (2・1)
    = 10
10・2 = 20

各選択に対して2枚を交換した配置が別にあります。表紙を5通り、裏表紙を残り4通りとする5P2 = 20とも一致します。

5. 35通りです。選ばない3種類を決めると、選ぶ4種類が決まります。

7C4 = 7C3
    = (7・6・5) / (3・2・1)
    = 35

選ばない集合を変えれば選ぶ集合も変わり、各結果は7種類のうち4種類を含みます。順番を付ければ各選択から4!通りの列ができ、35・24 = 840通りで7P4にも戻ります。

選択と配置の区別に迷ったら、具体的な2つの結果を書き、片方をもう片方に変える操作を考えます。その操作で問題が求める記録が変わるかどうかが判断の手掛かりです。

覚えておくこと

選択だけなら順序を消し、役割があれば区別します。
nCrはnPrを各選択に対応するr!で割った数です。
選ぶ側と選ばない側は1対1に対応します。
0個を選ぶ結果は空集合の1通りです。

式のどこで迷ったかを見分ける

式がnPrになった場合は、1つの結果について順番を入れ替えた例を2つ書き、問題文では同じか別かを尋ねます。nCrになった場合も、完成後の役割が消えていないか、具体的な配置に戻って確かめます。答えの数字だけで判断すると、正しい数を偶然出していても、別の条件で同じ誤りが残ることがあります。

個別指導では、本人が割った数を指し、その数が何の並べ方かを言葉と小さな一覧で確かめます。0個の場合には何も書かない状態を1つの結果として認識しているかを尋ね、選ばない側を使った場合には元の選択へ戻せるかを確認します。選んだ集まりとその記録方法を結び付けると、組合せの式に意味が生まれます。