高校数学A 重複順列の基本—毎回使える記号の数を確かめて列を作る｜武蔵野個別指導塾

点灯列の候補数を各位置で確かめ、同じ色の連続も数える重複順列に迫ります。

よくあるのは、高1が光の点灯パターンを考え、同じ色が続く列を除いてしまう場面です。赤、青、緑を使って順に光らせるとき、赤の次にも赤を選んでよいのでしょうか。答えは、色を再び選べるという条件にあります。点灯する順番を記録し、各位置の選択肢が減るかどうかを確かめましょう。

何を一通りと数えるか

点灯列では、どの色が何番目に現れたかを区別します。赤、青という列と青、赤という列は、使った色の集合は同じでも順序が異なるため別の列です。一方、赤、赤という列も、同じ色を繰り返してよいなら有効です。先に「使用した色の種類」だけを数えると、位置の違いが消えてしまいます。

問いの形は主に3つあります。毎回同じ候補から選ぶ列をそのまま数える形、特定の位置で候補が制限される形、隣同士など複数の位置の関係を指定する形です。どれもまず、完成した列を一通りずつ見分ける規則を決めます。次に、選択後も候補が残るか、前の選択によって候補数が変わるかを調べます。

ここでは記号そのものの列を扱います。数字を整数の桁として読むときの先頭の制限は扱いません。また、選ぶ確率が等しいかどうかは列の個数を数えるための条件ではありません。実現可能な列を重複なく数えることに集中します。

繰り返し選べることと位置の区別

異なるn種類のものから、同じものを何回選んでもよいとして、順序を考えてr個並べることを重複順列といいます。各位置にn通りの選択肢があり、前の位置で何を選んでも次の位置で同じn種類を使えるとき、その数はnをr回掛けたnのr乗、すなわちnⁿではなくnʳです。例えばrが3ならn・n・n = n³です。

この式は、候補数が同じだという条件を省略して使うものではありません。最初の位置のそれぞれの選択に対し、次の位置でn通りが対応します。そのそれぞれにさらにn通りが対応します。異なる選択の履歴は、少なくとも1つの位置で違う列になり、同じ列が別の履歴から生まれることはありません。この対応が積の法則の根拠です。

図1のように、色の候補は選んだ後も元の集合に残ります。赤を選んだ次にも赤、青、緑が候補です。図中の矢印は1回選んだ後の候補を示し、色の個数を消費しないことを表します。

図1で、最初が赤であることは次の選択を制限しません。実物の札を箱から取り出す操作で説明するなら、選ぶたびに札を戻すと考えられます。対して戻さず、同じ札を二度使えない場合は候補が減ります。n種類から異なるr個を順に選ぶ数は、rがn以下ならnPrです。例えば3種類から2位置に並べると、戻す場合は3・3、戻さない場合は3・2です。数字を見ただけで式を決めず、操作を先に読み取ります。

基本例題：2回の点灯

赤、青、緑の3色から1色を選んで点灯する操作を2回行います。各回にどの色も選べ、同じ色を続けて選んでもかまいません。点灯順を区別するとき、列は何通りですか。答えは整数で求めます。

1回目は3通りです。どれを選んでも2回目は再び3通りなので、積の法則を使えます。

3・3 = 3²
= 9

答えは9通りです。図2の各行は1回目、各列は2回目を表します。交点にある列を見れば、1回目と2回目の選択が1組決まります。

図2の対角線には赤赤、青青、緑緑があります。繰り返しが許されるので、これらも数えます。赤青と青赤は位置が違うので別です。表の3行のそれぞれに3列があり、どの列も1つの交点に対応するため、9通りに漏れも重複もありません。

もし操作を変えて、使った色は2回目に選べないとしたら、1回目の3通りに対し2回目は2通りです。3・2 = 6通りとなり、元の9通りから同色の3通りを除いた数と一致します。この比較で変えたのは選択の条件であり、列の順序を区別する規則は同じです。

列を表で確かめるときは、行と列の意味を入れ替えないことも大切です。行を1回目、列を2回目と決めた後、赤青を赤の行と青の列の交点に置きます。青赤は青の行と赤の列の交点です。同じ2色を使っていても交点が異なるので、順序の違いを表せます。表の端にある行や列を含めて確認すれば、どれかの色を候補から落としていないかも点検できます。

選択肢が多くて表を全部書けないときも、仕組みは同じです。初めの色を1つ固定し、その下に可能な続きを並べたまとまりを考えます。初めの色が違うまとまりは重ならず、どのまとまりにも同じ数の続きがあります。まとまりの数と各まとまりの大きさを掛けることで、表を省略しても何を数えているかを説明できます。

標準例題：位置ごとに候補が違う列

4種類の音ア、イ、ウ、エを使い、4拍の音列を作ります。各拍で同じ音を何回でも使えます。ただし1拍目はアまたはイ、4拍目はウまたはエとします。拍の順序を区別するとき、条件に合う列は何通りですか。整数で求めます。

まず位置ごとに候補を書きます。1拍目は2通り、2拍目と3拍目はそれぞれ4通り、4拍目は2通りです。各制限はその位置だけにかかり、どの拍の選択も他の拍の候補を減らしません。したがって候補数を掛けられます。

2・4・4・2 = 4・16
= 64

答えは64通りです。例えばア、ア、エ、エも条件を満たします。アの繰り返しやエの繰り返しを除く理由はありません。逆にウ、イ、ア、エは1拍目が条件外なので入りません。式に含まれる列は、初めと終わりの候補をそれぞれ指定範囲から取っているため、いずれも条件に合います。

別の見方では、両端の組を先に決めます。1拍目と4拍目の組は2・2 = 4通りです。両端の組を1つ固定すると、中央の2拍は4・4 = 16通りあります。よって4・16 = 64通りです。完成した列から両端の組と中央の組が一意に読み取れるので、先に中央を選んでも同じ列を一度ずつ数えます。

4⁴とすると両端の条件を無視します。また4・3・2・1とすると使った音が消えることになります。いずれも問題の操作と対応しません。途中の拍に同じ音が続く場合があるかを、式を立てる前に声に出して確かめると、条件の読み違いを見つけやすくなります。

発展例題：隣の記号との関係

記号A、B、C、Dから毎回1つを選び、左から5位置の列を作ります。同じ記号は何回でも使えますが、隣り合う位置には同じ記号を置かないことにします。位置の順を区別するとき、条件に合う列は何通りですか。整数で求めます。

繰り返し使用は許されますが、隣接する位置には制限があります。したがって5位置すべての候補数を4とすることはできません。最初は4通りです。2位置目は直前の記号を除いた3通り、3位置目以降も直前の記号だけを除いた3通りです。

4・3・3・3・3 = 4・3⁴
= 4・81
= 324

答えは324通りです。例えばA、B、A、C、Aは、Aを繰り返していますが隣同士が異なるので有効です。A、B、B、C、Dは2位置目と3位置目が同じで、条件に合いません。3位置目で除くべきものは2位置目の記号だけであり、1位置目の記号を一律に除くわけではありません。

どの位置でも直前の文字は4種類のうちちょうど1種類です。そのため、そこまでの列がどのようなものでも次の候補数は3で一定です。各段階で異なる選択をすれば完成列のその位置が異なり、完成列から選択の履歴を逆に読めるので、324通りを重複なく数えています。

条件が「どの2位置にも同じ記号を置かない」なら話は変わります。5位置に4種類しかなく、繰り返しを許さないため完成列は0通りです。「隣だけ異なる」条件では離れた位置への再使用を認める点が分かれ目です。さらに「Aの直後にはBを置けない」など候補数が直前の記号によって変わる条件では、一定の数を一括して掛けず、直前の記号で場合を分けて数えます。

誤答から条件を読み直す

基本例題で3・2 = 6通りとした場合を考えます。これは最初の色を使った後、2回目の候補から取り除いた計算です。図3のように、戻さない操作なら正しい候補数ですが、元の問題では赤を選んだ後も赤を使えます。

図3の上段では2回目も3色を選べます。下段は赤を取り除いた別条件で、候補が2色です。誤答の原因は計算の掛け算ではなく、問題にない制限を加えたことです。修正するには「1回目に赤を選んだ後、赤をもう一度選べるか」と具体的に問い、赤赤を列に戻します。同様に青青、緑緑も戻せば6 + 3 = 9通りです。

反対に、発展例題を4⁵とする誤りは、隣接条件を落としています。各位置で何種類が使えるかを、前の選択を仮に決めて調べましょう。選択肢の数が変わるかどうかと、同じ記号を離れた位置で再使用できるかどうかは、別々に確認します。

問題を解く際は、条件を満たす具体例と満たさない例をそれぞれ作ってから、式が両者を正しく扱っているか確かめます。

練習問題

いずれも位置の順序を区別し、答えは整数の通り数で求めます。

1. 丸、三角、四角、星、線の5種類の図形から、各位置に1つずつ選んで3位置の列を作ります。同じ図形は何回でも使えます。何通りですか。
2. 東、西、南、北の4種類の表示から、順に3つを選びます。同じ表示を繰り返してよいものとし、中央は東または西に限ります。何通りですか。
3. 甲、乙、丙の3種類の印から、各位置に1つずつ選んで4位置の列を作ります。同じ印を繰り返してよいものとし、隣り合う位置の印は異なることにします。何通りですか。
4. 春、夏、秋、冬の4種類の札から、1枚選んでは戻す操作を3回します。ちょうど2回目と3回目が同じ札となる列は何通りですか。1回目に制限はありません。
5. 赤、白、黒の3種類の模様から各位置に1つずつ選び、4位置の列を作ります。同じ模様は何回でも使えます。少なくとも1位置が白である列は何通りですか。

練習問題の答えと解き方

1. 各位置で5種類を使えるので、5・5・5 = 125通りです。例えば丸を3回並べた列も含みます。各列は3位置の選択から一意に決まり、全位置で候補を尽くしています。
2. 最初と最後は各4通り、中央は2通りです。4・2・4 = 32通りです。中央に南を置いた列は含まれず、東を複数回使う列は条件を満たします。
3. 最初は3通り、以後は直前と異なる2通りずつです。3・2・2・2 = 24通りです。甲、乙、甲、乙は隣が異なるため含まれ、甲、甲で始まる列は含まれません。
4. 1回目は4通り、2回目は4通りです。3回目は2回目と同じ札に定まるので1通りです。4・4・1 = 16通りです。1回目も同じ札になる列を除く条件はありません。どの列からも最初の2回の札を復元でき、重複はありません。
5. 全体は3・3・3・3 = 81通りです。白がない列は各位置で赤か黒の2通りなので2・2・2・2 = 16通りです。求める数は81 − 16 = 65通りです。白がない列と白を少なくとも1つ含む列は重ならず、全体を尽くします。白が4位置にある列も後者に含みます。

覚えておくこと

各位置でn種類を繰り返し使えるr位置の列はnʳ通りです。 候補数が位置によって違えば、その数を位置ごとに掛けます。 隣接条件があれば、直前の選択後の候補を確かめます。 列の順序と、同じ記号を再使用できるかを別に読みます。

つまずきの見分け方

式がnPrになっていたら、2位置目で消した候補を尋ねます。同じ色を再使用できる問題であれば、その候補を使う具体的な列を書いてもらうと、落とした列が見えます。逆に累乗を書いた場合も、各位置の候補が本当に一定か、隣との条件を使って確認します。

個別指導では、まず完成列を1つ挙げ、問題の条件を一つずつ満たすかを説明してもらいます。次に式の各因数がどの位置を表すかを尋ね、候補に入れたものと除いたものを列挙します。式の値が合っていても、異なる操作を偶然同じ数で数えていないか、列から選択の手順を逆にたどります。記号を選んだ後の候補を確かめれば、繰り返しを含む列の数え方が定まります。