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高校数学A 三つの集合の個数—共通部分から順に埋めて重複のない集計を作る｜武蔵野個別指導塾

公開 2026.11.12更新 2026.11.12武蔵野個別指導塾の特徴高校数学A 場合の数と確率を掘り下げる

三つの編集機能を使った作品数を8領域で整理し、三重の重なりを戻す計算と、集計条件の整合性を追います。

よくあるのは、高1が作品に使った三種類の編集機能を集計し、二つずつの重なりを引くときに、三種類すべてを使った作品まで引きすぎる場面です。機能ごとの件数を足すと、一作品が複数回現れます。どの作品を何回数えたかを追えば、補正の理由が見えてきます。

どの重なりを尋ねているか

三つの集合の問題では、まず数える対象を一種類にそろえます。作品の数を求めるなら、機能の使用回数ではなく、各作品がどの機能を使ったかに注目します。三つとも使った作品は、機能を三回使っていますが作品としては1個です。

出方には、各集合と二つずつの共通部分、三つの共通部分から少なくとも一つに属する個数を求める型があります。また、ちょうど二つに属する個数から三つの共通部分を逆算する型もあります。さらに、与えられた数が実際の集計として成り立つか調べる型では、答えを計算して終わらず、各領域が負にならないかまで確かめます。

「AとBの両方」は、Cにも属するものを含みます。「AとBだけ」はCに属しないものに限ります。この違いを読み飛ばすと、引くべき個数が変わります。問題文にある全体が何を含むかも最初に決めましょう。

三つの円を領域に分ける

全体集合をUとし、その部分集合をA、B、Cとします。集合AまたはBに属する要素全体を和集合A∪B、両方に属する要素全体を共通部分A∩Bといいます。Aに属さないUの要素全体はAの補集合です。要素の個数をn(A)のように表します。

三つの集合によって、Uは所属の有無に応じて8領域に分かれます。Aだけ、Bだけ、Cだけ、AとBだけ、BとCだけ、CとAだけ、三つすべて、どれにも属さない領域です。各要素はそのうちちょうど一つに入ります。図1のように所属先を三つの有無で決めれば、領域を足すときの重複を避けられます。

図1の「AB」はAとBに属しCには属さないことを表します。これに対し、記号A∩BはABCの領域も含みます。三つの共通部分の個数をtとすると、ABだけの個数はn(A∩B) − tです。他の二組も同じように求めます。次にAだけを求めるには、A全体からABだけ、CAだけ、ABCを引きます。外側はU全体から円の内側の合計を引きます。

三つの集合については次の式も使えます。

n(A∪B∪C)
= n(A) + n(B) + n(C)
  - n(A∩B) - n(B∩C) - n(C∩A)
  + n(A∩B∩C)

この式の各要素の数えられ方を確かめます。一つだけに属する要素は最初に1回足され、引かれません。ちょうど二つに属する要素は2回足され、対応する共通部分で1回引かれるので、計1回です。三つすべてに属する要素は3回足され、二つずつの共通部分で3回引かれて0回になります。最後に1回戻して、どの要素も1回ずつ数えます。三つの集合に限ったこの説明を使い、さらに多い集合の一般式には進みません。

基本例題：編集機能の利用作品

40作品について、色調整Aを使ったものは20作品、文字入れBは18作品、音声Cは15作品でした。AとBの両方は9作品、BとCの両方は7作品、CとAの両方は8作品で、三つすべては4作品です。少なくとも一つを使った作品と、どれも使わなかった作品をそれぞれ整数で求めてください。両方の件数には三つすべての作品も含みます。

まず中央の4を決め、それぞれの二つだけの領域を求めます。図2のように、共通部分の数から中央を一度だけ取り除きます。

AとBだけ = 9 - 4 = 5
BとCだけ = 7 - 4 = 3
CとAだけ = 8 - 4 = 4

次に、各集合の総数から、すでに決めた三つの領域を引きます。

Aだけ = 20 - 5 - 4 - 4 = 7
Bだけ = 18 - 5 - 3 - 4 = 6
Cだけ = 15 - 3 - 4 - 4 = 4

図2の七つの数を足すと、少なくとも一つを使った作品数が出ます。

7 + 6 + 4 + 5 + 3 + 4 + 4 = 33
40 - 33 = 7

答えは少なくとも一つが33作品、どれも使わないものが7作品です。式でも20 + 18 + 15 − 9 − 7 − 8 + 4 = 33となります。領域に戻してAを足すと7 + 5 + 4 + 4 = 20、Bは6 + 5 + 3 + 4 = 18、Cは4 + 3 + 4 + 4 = 15です。各二集合の共通部分にも中央の4を加えると、元の9、7、8に戻ります。外側も含む8領域の合計は40で、負の数はありません。

標準例題：ちょうど二つから中央を求める

ある展示の50点について、紙を使った集合をP、布を使った集合をQ、木を使った集合をRとします。Pは24点、Qは21点、Rは19点です。PとQは11点、QとRは9点、RとPは10点で、ちょうど二種類の素材を使った作品は12点です。三種類すべてを使った点数と、どの素材も使わなかった点数を整数で求めてください。二つの素材の共通部分には三種類を使った点も含みます。

三種類すべての点数をtと置きます。二つずつの共通部分の合計では、ちょうど二種類の作品は1回、三種類の作品は3回数えられます。したがって、条件を式にすると次のようになります。

11 + 9 + 10 = 12 + 3t
30 = 12 + 3t
3t = 18
t = 6

各二つだけの領域は5、3、4点です。Pだけは24 − 5 − 4 − 6 = 9点、Qだけは21 − 5 − 3 − 6 = 7点、Rだけは19 − 3 − 4 − 6 = 6点です。少なくとも一種類は9 + 7 + 6 + 5 + 3 + 4 + 6 = 40点なので、外側は50 − 40 = 10点です。答えは三種類すべてが6点、どれも使わないものが10点です。

別の数え方として、和集合の式に代入すると24 + 21 + 19 − 11 − 9 − 10 + 6 = 40です。この式の二組の共通部分は中央をそれぞれ含み、領域表の二つだけの数とは異なります。元の条件に戻すと、二つだけの合計は5 + 3 + 4 = 12、三組の共通部分は5 + 6 = 11、3 + 6 = 9、4 + 6 = 10です。どちらの方法も同じ作品を一度ずつ数えています。

発展例題：条件を満たす集計の範囲

36枚のカードについて、印Aのあるものは18枚、印Bは17枚、印Cは16枚です。AとBの両方は9枚、BとCの両方は8枚、CとAの両方は7枚です。三つすべてに印のある枚数をtとします。各共通部分は三つすべてのカードを含みます。この条件が成り立つ整数tの範囲と、ちょうど一つの印があるカードの枚数の範囲を整数で求めてください。

三つの共通部分が未知なので、中央から各領域を文字で表します。二つだけの領域は順に9 − t、8 − t、7 − tです。これらは負にならないので、特にt ≦ 7です。中央も個数なのでt ≧ 0です。

AだけはAの18枚から、AとBだけ、CとAだけ、中央を引きます。他も同様に計算します。

Aだけ = 18 - (9 - t) - (7 - t) - t = 2 + t
Bだけ = 17 - (9 - t) - (8 - t) - t = t
Cだけ = 16 - (8 - t) - (7 - t) - t = 1 + t

これらはt ≧ 0のもとで負になりません。一方、外側も確認する必要があります。少なくとも一つに属する枚数と外側は次のようになります。

少なくとも一つ = 18 + 17 + 16 - 9 - 8 - 7 + t
= 27 + t
外側 = 36 - (27 + t)
= 9 - t

外側が負にならない条件はt ≦ 9で、先ほどのt ≦ 7のもとで満たされます。よってtは0以上7以下の整数です。ちょうど一つの枚数は(2 + t) + t + (1 + t) = 3 + 3tなので、最小は3枚、最大は24枚です。答えは0 ≦ t ≦ 7、3枚以上24枚以下です。枚数は3、6、9のように3ずつ増えるため、その範囲のすべての整数が実現するわけではありません。

端のt = 0では二つだけが9、8、7枚、一つだけが2、0、1枚、外側が9枚です。t = 7では二つだけが2、1、0枚、一つだけが9、7、8枚、外側が2枚です。いずれも8領域の合計は36枚で、A、B、Cと各共通部分の条件に戻ります。途中の整数についても各領域が非負の整数になり、その個数ずつカードを割り当てられるので、範囲内の値は実現可能です。

標準例題では「ちょうど二つ」が中央を決めました。発展例題では中央が決まらないため、1個の答えを選ぶことはできません。また、計算途中で領域が負になったら、その値は使えません。たとえばt = 8ではCとAだけが7 − 8 = -1枚となり、カードの個数として不可能です。

誤答を領域で直す

基本例題で、少なくとも一つを20 + 18 + 15 − 9 − 7 − 8 = 29作品とする誤答を考えます。二つずつの重複を引くところまでは自然ですが、三つすべてを使う作品は最初に3回足され、3組の共通部分で3回引かれます。これではその作品が0回になっています。

図3のように、三つすべての1作品だけを追うと、最後に1回戻す必要が見えます。4作品分を戻して29 + 4 = 33作品に修正します。図3は作品数の計算全体ではなく、中央にある1作品の数えられる回数を示しています。

逆に、二つだけの領域を求める場面で共通部分の9をそのまま置くのも誤りです。9には三つすべての4が含まれるので、AとBだけは5です。円に数を置く前に、その数が「両方」か「両方だけ」かを書き添えましょう。与えられた数が集計として可能か不明なときは、式の結果だけで判断せず、外側を含む全領域が非負か確かめます。

練習問題

各問の答えは整数で求めてください。二つの集合の共通部分は、三つすべての共通部分を含みます。

30冊の冊子で、写真Aは14冊、地図Bは13冊、図表Cは12冊に載っています。AとBは6冊、BとCは5冊、CとAは4冊、三つすべては2冊です。少なくとも一つが載る冊数と、どれも載らない冊数を求めてください。
ある会の参加者について、楽器Aを演奏する人は17人、楽器Bは15人、楽器Cは14人です。AとBは8人、BとCは7人、CとAは6人、三つすべては3人です。ちょうど一種類を演奏する人数と、ちょうど二種類を演奏する人数を求めてください。
42個の部品で、加工Aは19個、加工Bは18個、加工Cは16個に施されています。AとBは8個、BとCは7個、CとAは6個です。ちょうど二種類の加工を受けた部品は12個です。三種類すべてを受けた個数と、どの加工も受けていない個数を求めてください。
25枚の記録について、分類Aは10枚、Bは9枚、Cは8枚、AとBは7枚、BとCは2枚、CとAは2枚、三つすべては1枚と報告されました。この報告が成り立つか、領域の個数を使って判定してください。
28本の映像について、字幕Aは12本、音楽Bは11本、解説Cは10本にあります。AとBは5本、BとCは4本、CとAは3本です。三つすべての本数をtとするとき、条件を満たす整数tの範囲を求めてください。

練習の答えと考え方

和集合は14 + 13 + 12 − 6 − 5 − 4 + 2 = 26冊です。外側は30 − 26 = 4冊です。二つだけは4、3、2冊、一つだけは6、4、5冊、中央は2冊です。これらと外側を合わせると30冊で、各分類の冊数も元に戻ります。
二つだけは8 − 3 = 5人、7 − 3 = 4人、6 − 3 = 3人です。一つだけはAが17 − 5 − 3 − 3 = 6人、Bが15 − 5 − 4 − 3 = 3人、Cが14 − 4 − 3 − 3 = 4人です。答えはちょうど一種類が6 + 3 + 4 = 13人、ちょうど二種類が5 + 4 + 3 = 12人です。各共通部分には中央の3人を戻すと元の8、7、6人になります。
中央をt個とすると、8 + 7 + 6 = 12 + 3tです。よって3t = 9、t = 3です。少なくとも一つは19 + 18 + 16 − 8 − 7 − 6 + 3 = 35個、外側は42 − 35 = 7個です。二つだけは5、4、3個で合計12個です。一つだけは8、6、6個となり、中央と外側も含めて42個に戻ります。
AとBだけは7 − 1 = 6枚、CとAだけは2 − 1 = 1枚です。Aだけは10 − 6 − 1 − 1 = 2枚です。一方、BとCだけは2 − 1 = 1枚なので、Bだけは9 − 6 − 1 − 1 = 1枚です。Cだけは8 − 1 − 1 − 1 = 5枚です。内側の合計は2 + 1 + 5 + 6 + 1 + 1 + 1 = 17枚、外側は25 − 17 = 8枚です。全領域が非負の整数で、各分類と共通部分の数に戻るため、報告は成り立ちます。
二つだけは5 − t、4 − t、3 − tなので0 ≦ t ≦ 3です。一つだけはAが12 − (5 − t) − (3 − t) − t = 4 + t、Bが11 − (5 − t) − (4 − t) − t = 2 + t、Cが10 − (4 − t) − (3 − t) − t = 3 + tです。和集合は12 + 11 + 10 − 5 − 4 − 3 + t = 21 + t、外側は7 − tです。0から3までの整数では全領域が非負で、これらを割り当てれば元の条件を満たします。答えは0 ≦ t ≦ 3の整数です。