高校数学I 奇数個の四分位数—中央を除く手順から上下の群の中央値を決める｜武蔵野個別指導塾

全体の中央を上下群から外し、四分位数を求めます。未知数の位置と整数条件を照らし合わせ、解なしや複数解の理由まで追えます。

よくあるのは、高1が自作の測定表を復習し、全体の中央値を上下両方の群へ入れる場面です。中央の値は確かにデータの一つですが、両方に入れると、上下の代表を選ぶ範囲が変わってしまいます。奇数個のデータでは中央をまず決め、それを取り除いてから残りを左右に分けます。値ではなく順位を追うと、同じ値が並ぶときや未知の値があるときにも手順を保てます。

順位を問う問題の見取り図

出方の一つは、測定値の一覧から第一四分位数と第三四分位数を直接求める型です。先に昇順へ並べ替え、全体の中央を除いて上下の群を作ります。それぞれの群の中央が一つか二つかを確かめます。データ数が奇数だからといって、上下の群の個数も奇数になるとは限りません。

別の型では、未知の測定値と四分位数が与えられます。未知の値をただ四分位数に等しいと置く前に、その値が並びのどこに入るかを場合分けします。等しい値がある境界も含め、得られた答えを元の一覧へ戻して確認します。条件を満たす値が存在しないことや、複数あることもあります。

さらに、四分位数を変えずにデータの一部を動かせるかを問う型もあります。中央の順位に使われない値なら自由に動くように見えますが、隣の値を追い越すと順位が入れ替わります。許される範囲は順序の条件と四分位数の条件を合わせて決めます。

中央を除いて二つの群に分ける

四分位数を求めるデータは2個以上とします。ここでは奇数個の値を小さい順に並べ、全体の中央の値を除いて上下同数の群に分けます。下の群の中央値を第一四分位数 Q₁、全体の中央値を第二四分位数 Q₂、上の群の中央値を第三四分位数 Q₃とします。群の個数が偶数なら、その群の中央にある2個の値の平均を使います。

例えば7個なら、全体の4番目を除き、1番目から3番目と5番目から7番目に分けます。各群は3個なので、Q₁は2番目、Q₃は6番目です。9個なら5番目を除き、上下4個ずつです。下の群の中央は全体の2番目と3番目、上の群の中央は7番目と8番目です。そのため、各2個の平均が四分位数になります。

図1のように、まず個数を書き、中央に印を付けてから群を切り分けます。図の数字は測定値ではなく、昇順に並べたときの順位です。中央を除いたことを確かめる印があると、2回目の中央値を取る位置が見やすくなります。

値が同じでも、観測が別なら別の順位として数えます。例えば中央とその隣がともに5でも、除くのは中央の1個だけです。等しい値をまとめて消すと、上下の群の人数が変わります。また、同値が四分位数に重なると、値の境界で分けた各区間の人数は必ずしも同じになりません。順位を分ける操作と、値で区間を区切る操作を混同しないことが大切です。

一般に奇数個を n = 2m + 1 個とすると、中央は m + 1 番目です。これを除いた上下の群はそれぞれ m 個です。m が奇数なら各群の中央は1個、m が偶数なら中央の2個を平均します。データ数だけを見て答えを決めるのではなく、群の個数を調べる理由がここにあります。

基本例題：9個の測定値

9枚のカードの長さを測り、小さい順に並べると、単位をcmとして次の値でした。

2, 3, 5, 6, 8, 10, 11, 13, 15

全体の中央値を除いて上下の群の中央値を取る方式で、Q₁、Q₂、Q₃を整数または分数で求めてください。

9個の中央は (9 + 1)/2 = 5 番目なので、Q₂ = 8 cmです。5番目を除くと、下の群は 2, 3, 5, 6、上の群は 10, 11, 13, 15 です。図2のように各群の中央2個を選びます。

Q₁ = (3 + 5)/2
   = 4 cm
Q₃ = (11 + 13)/2
   = 12 cm

したがって、Q₁ = 4 cm、Q₂ = 8 cm、Q₃ = 12 cmです。元の並びに戻すと、3と5は下の4個の中央、11と13は上の4個の中央です。8はどちらにも入っていません。4と12はこの一覧にない値ですが、中央2個の平均なので問題ありません。

もし5番目の8を両群に加えると、下は5個、上も5個になり、それぞれの中央は5と11です。この方式で求めた値は上の答えと異なります。どちらの値を取るかは単なる計算の違いではなく、群の作り方の違いです。問題で指定された方式を先に確認します。

標準例題：未知数の入る位置

7個の自作データを昇順に並べると、単位を点として次のようになります。

1, 3, x, 7, 9, 12, 14

xは整数です。全体の中央値を除いて上下の群の中央値を取る方式で、Q₁ = 4点となるxを求めてください。

昇順という条件から、3 ≤ x ≤ 7です。7個の中央は4番目の7で、下の群は1, 3, xです。この群の中央は3なので、xの値にかかわらずQ₁は3点です。したがってQ₁ = 4点という条件を満たすxは存在しません。

ここでx = 4と置くと、並びは1, 3, 4, 7, 9, 12, 14となります。下の群の中央値は3であり、与えられた4には戻りません。未知数が下の群に含まれていても、群の中央の順位にあるとは限らないことが原因です。上の群は9, 12, 14なのでQ₃は12点で、xを変えてもこの群は変わりません。

境界も調べます。x = 3なら下の群は1, 3, 3、x = 7なら1, 3, 7です。いずれも真ん中は3です。同値のために順位が見えにくくても、観測を1個ずつ数えれば結論は変わりません。

発展例題：四分位数から整数を逆算する

9個の自作データを昇順に並べると、単位を分として次のようになります。

1, 2, a, 6, 8, 10, 12, 15, 18

aは整数です。全体の中央値を除いて上下の群の中央値を取る方式で、Q₁が3分以上4分以下となるaをすべて求めてください。

順序から 2 ≤ a ≤ 6 です。全体の中央値は5番目の8、下の群は1, 2, a, 6です。その中央2個は2とaですから、条件は次のように書けます。

3 ≤ (2 + a)/2 ≤ 4
6 ≤ 2 + a ≤ 8
4 ≤ a ≤ 6

順序条件との共通部分は 4 ≤ a ≤ 6 です。aは整数なので、答えは4、5、6です。両端を含むのは、問題が「以上」「以下」としているからです。小数まで認める問題なら、この区間のすべての実数が答えになりますが、今回は整数に限定します。

元の並びへ戻すと、a = 4、5、6のとき、下の群の中央2個はそれぞれ2と4、2と5、2と6です。その平均は順に3、7/2、4分で、いずれも条件内です。順序上可能な残りの整数2、3ではQ₁が2、5/2分となり、3分に届きません。これで候補の漏れも確認できます。

仮にQ₁を5分以上とする条件なら、同じ式からa ≥ 8ですが、順序条件のa ≤ 6と両立しません。式から得た範囲だけでなく、元の並びに入る範囲も必要です。端の値が等しくなる場合も、順序が崩れない限り含めます。

間違いの原因をたどる

図3は基本例題で全体の中央8を両群に入れた誤りを示します。下を2, 3, 5, 6, 8、上を8, 10, 11, 13, 15とすると、誤答はQ₁ = 5、Q₃ = 11です。中央値を各群へもう一度入れたため、群の中央の位置がずれています。

修正は、まず8を全体の中央値として記録し、上下の群から外すことです。残りは4個ずつですから、下は3と5、上は11と13の平均を取ります。正しくはQ₁ = 4、Q₃ = 12です。図3のように、中央の値を消した後の個数を数えれば、誤答の原因を特定できます。

もう一つの誤りは、中央2個のうち左側だけを答えることです。基本例題なら下の群で3を取ってしまいます。しかし4個の群には真ん中が1個ありません。2番目と3番目の間を代表する値として平均を取り、(3 + 5)/2 = 4とします。四分位数は測定された値に限られない、という点まで確かめてください。

並べ替えを忘れる場合もあります。測定した順の真ん中は、値の大小の真ん中とは限りません。重複した観測を消さずに昇順へ並べ、元の個数と並べ替え後の個数が一致するか確認します。未知数が順序を破る場合は、その値を答えに含めません。

練習：順位と条件を自分で追う

以下の5問は、いずれも全体の中央値を除いて上下の群の中央値を取る方式です。答えは整数または正確な分数で、単位がある場合は単位も付けてください。

1. 7個の鉛筆の長さは、昇順に4, 6, 7, 9, 10, 13, 16 cmです。Q₁、Q₂、Q₃を求めてください。
2. 9回の作業時間は、昇順に1, 4, 6, 7, 9, 12, 14, 17, 20分です。Q₁、Q₂、Q₃を求めてください。
3. 7個の記録は、昇順に2, 5, 5, 5, 8, 8, 11点です。Q₁、Q₂、Q₃を求めてください。
4. 9個の値は昇順に3, 4, b, 9, 11, 13, 15, 18, 21です。bは整数で、Q₁ = 6です。bを求めてください。
5. 7個の値は昇順に1, c, 6, 8, 10, 12, 15です。cは整数で、Q₁が4以上となるcをすべて求めてください。

練習の解答と確かめ

1. 全体の4番目は9です。これを除くと下は4, 6, 7、上は10, 13, 16です。各群の2番目を選び、Q₁ = 6 cm、Q₂ = 9 cm、Q₃ = 13 cmです。元の7個のうち中央1個と上下3個ずつに分かれています。

2. 全体の5番目は9です。下は1, 4, 6, 7、上は12, 14, 17, 20です。各群の中央2個から次を得ます。

Q₁ = (4 + 6)/2 = 5
Q₂ = 9
Q₃ = (14 + 17)/2 = 31/2

答えは5分、9分、31/2分です。元の一覧で4と6、14と17の位置を確認すると、どちらもそれぞれの4個の群の中央です。

3. 4番目の5を除き、下は2, 5, 5、上は8, 8, 11です。よってQ₁ = 5点、Q₂ = 5点、Q₃ = 8点です。中央と同じ5が下に2個残りますが、異なる観測なので消しません。元の7個は上下3個と中央1個に戻ります。

4. 順序から4 ≤ b ≤ 9です。中央11を除くと下は3, 4, b, 9で、Q₁ = (4 + b)/2です。

(4 + b)/2 = 6
4 + b = 12
b = 8

8は整数で4以上9以下です。元の並びへ入れると下の群は3, 4, 8, 9、その中央値は(4 + 8)/2 = 6なので条件を満たします。

5. 順序から1 ≤ c ≤ 6です。中央8を除いた下の群は1, c, 6で、Q₁ = cです。条件を合わせると4 ≤ c ≤ 6となります。整数なので答えは4、5、6です。元の下の群は順に1, 4, 6、1, 5, 6、1, 6, 6となり、中央値はいずれも4以上です。残る整数1、2、3は中央値が4未満です。

順位から見直すもう一歩

四分位数を求めるとき、群を分ける線と数値の大小の境界は同じ意味ではありません。中央と隣の値が等しくても、中央の観測を1個だけ除きます。残った同じ値はそのまま上下の群に置き、各群の中央を選びます。四分位数が同じでも元のデータの並びが一通りに決まるとは限らないので、指定されていない測定値まで推測しないようにします。

逆向きの問題では、求めた数が方程式を満たすだけで十分とは限りません。昇順の条件と整数という条件も同時に確認し、候補がないときは存在しないと答えます。範囲の両端は等号が認められるかを問題文に戻って調べます。

要点を短く

奇数個では昇順の全体の中央を除き、上下同数に分けます。
各群の中央が2個なら平均を取ります。
未知数は順位の条件と四分位数の条件を合わせて調べます。
同じ値も観測ごとに数え、答えを元の並びに戻します。

どこで手が止まったかを見る

答えが合わないときは、最初に元の個数と並べ替え後の個数を比べます。次に全体の中央に印を付け、それを除いた上下の個数が等しいかを見ます。ここが合っていても、各群の中央が2個あることに気づかず、片方だけを選ぶ場合があります。選んだ順位と平均の式を別々に書けば、順位の誤りと計算の誤りを区別できます。

個別指導で確かめるなら、まず生徒自身に中央を除く理由を図の上で説明してもらいます。その後、同じ値が中央と隣にある並びを示し、何個を除くかを尋ねます。逆問題では答えを代入した並びをもう一度作り、順序と求める四分位数の両方を確認します。順位を一つずつ追えば、条件が成り立たない場合も判断できます。