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高校数学I 二次関数の変数の絶対値—右半分の対称移動から左右の式と定義域を組み立てる｜武蔵野個別指導塾

公開 2026.11.12更新 2026.11.12武蔵野個別指導塾の特徴高校数学I 二次関数を掘り下げる

右半分をy軸に対称移動し、境界の重複や水平線との交点数まで読み解く鍵は変数の絶対値です。

よくあるのは、二次関数の式のxを|x|に替えたグラフを描くとき、元の放物線の左半分を右へ写す場面です。元の左側にある点をそのまま残すと、入力が負にならないという絶対値の性質と食い違います。例えばxが負でも、式に入る|x|は正です。どちら側を残し、どちら側を作り直すのかを、点の座標と式の両方から追ってみましょう。

最初に見分けたい問い

出方の1つは、y = f(|x|)のグラフを描く問題です。元のy = f(x)のうちx ≧ 0の部分を残し、それをy軸について対称に写します。2つ目は、左右で式を分けて、指定された点や方程式の解を求める問題です。式を分けた後は、それぞれに付いたxの範囲を忘れずに使います。

3つ目は、水平線y = kとの共有点の個数を数える問題です。まず非負の数tを使ってf(t) = kを解き、その後でtが正ならxが左右に2つ、t = 0ならxが1つあると数えます。負のtは|x|の値にはならず、候補から外します。グラフの形を描くだけでなく、境界で点が重なるかどうかまで見ることが必要です。

必要な道具は、絶対値の定義、二次式の平方完成、二次方程式、座標の対称移動です。以下ではf(t)は二次係数が0でない二次式とし、特に断らなければxはすべての実数を動きます。出力全体に絶対値を付けたy = |f(x)|では、負の高さを上へ折り返します。一方、ここでは入力に付く絶対値が左右の対応を決めます。

入力の符号から左右を決める

実数xの絶対値は、x ≧ 0なら|x| = x、x < 0なら|x| = -xです。0は前者に入れていますが、後者をx ≦ 0にして両側に含めても、0での値は一致します。式を解くときは、0を両方から別々の解として数えないよう注意します。

たとえばf(t) = t² − 4t + 3なら、入力を|x|に替えると次の形です。

y = |x|² - 4|x| + 3
  = x² - 4|x| + 3

|x|² = x²は正負のどちらのxでも成り立ちます。しかし、一次の項の|x|はそのままxにはできません。定義を使えば、右側はx² − 4x + 3、左側はx² + 4x + 3です。どちらもx = 0で3となり、同じ点につながります。

図1のように、元の曲線の右側にある点(2, -1)は、変換後にも残ります。その点をy軸について写した(-2, -1)も変換後の曲線上にあります。実際に|-2| = 2なので、2つの点の高さはともにf(2)です。元の左側の点(-2, 15)はf(-2)の値であり、f(|-2|)の値ではありません。

一般に、x = uとx = -uに対して|-u| = |u|です。したがってf(|-u|) = f(|u|)となり、できあがったグラフはy軸対称です。ただし、元のグラフが左右対称である必要はありません。元の左側を残すと、y軸対称でない形や、式の値と合わない形になりえます。

定義域が限られるときは、写した点がその範囲に入るかも調べます。例えば-1 ≦ x ≦ 4なら、右側の点(2, f(2))は使えますが、対称な点(-2, f(2))は定義域の外です。式自体が左右対称でも、指定された範囲のグラフ全体が左右対称とは限りません。

基本例題：左右の枝と交点を描く

関数y = |x|² − 4|x| + 3について、左右の式を示し、グラフの頂点とx軸との交点を座標で求めて描いてください。xの範囲は全実数とします。答えは整数の座標で表してください。

まず|x|の定義から枝を分けます。等号は右側に置きます。

x ≧ 0のとき  y = x² - 4x + 3
                  = (x - 2)² - 1
x < 0のとき   y = x² + 4x + 3
                  = (x + 2)² - 1

右の式の頂点(2, -1)はx ≧ 0を満たし、左の式の頂点(-2, -1)もx < 0を満たします。よってどちらも実際に使う枝の上の点です。両方の式にx = 0を代入するとy = 3なので、境目は(0, 3)です。

次に右側のx軸との交点を求めます。y = 0として因数分解すると、

x² - 4x + 3 = 0
(x - 1)(x - 3) = 0
x = 1, 3

両方ともx ≧ 0に入ります。右の交点は(1, 0)、(3, 0)です。対称な左の点は(-1, 0)、(-3, 0)です。左の式でも確かめると、

x² + 4x + 3 = 0
(x + 1)(x + 3) = 0
x = -1, -3

この2つはx < 0を満たします。図2のように、境目(0, 3)から左右の谷へ下がり、その後は上へ伸びます。縦と横は同じ縮尺です。元の放物線の左端を写すのではなく、右側の点を写すことで、4つの交点が得られます。

答えを元の式に戻すと、x = ±1では1 − 4 + 3 = 0、x = ±3では9 − 12 + 3 = 0です。x = ±2では4 − 8 + 3 = -1です。候補の座標が枝の範囲に入ることと、元の絶対値の式の値に合うことの両方が確認できました。

標準例題：水平線の高さで個数を分ける

関数y = |x|² − 6|x| + 8と直線y = kの共有点の個数を、実数kの範囲ごとに整数で求めてください。xの範囲は全実数です。共有点は異なる座標の点として数えます。

まずt = |x|と置きます。t ≧ 0であることを横に書いておきます。共有点の条件を平方完成すると、

t² - 6t + 8 = k
(t - 3)² - 1 = k
(t - 3)² = k + 1

左辺は0以上ですから、k < -1ならtは存在せず、共有点も0個です。k = -1ならt = 3です。tが正なので、x = -3, 3の2点になります。頂点に接する場合でも、左右に別々の点があることに注意します。

k > -1では、

t = 3 - √(k + 1),  3 + √(k + 1)

右側の候補3 + √(k + 1)は常に正です。左側の候補の符号は、√(k + 1)と3の比較で変わります。どちらも負ではないので、平方して比較できます。

√(k + 1) < 3  ⇔  k < 8
√(k + 1) = 3  ⇔  k = 8
√(k + 1) > 3  ⇔  k > 8

-1 < k < 8では異なる正のtが2つあり、それぞれが正負2つのxを作るため4点です。k = 8ではt = 0, 6です。t = 0に対応するxは0の1つ、t = 6にはx = -6, 6の2つが対応し、計3点です。k > 8では小さい方のtは負なので採用できず、残る正のtから2点です。

k < -1          0個
k = -1          2個
-1 < k < 8      4個
k = 8           3個
k > 8           2個

境界を元の式で確かめます。k = -1では|x| = 3から9 − 18 + 8 = -1です。k = 8ではx = 0で8、x = ±6で36 − 36 + 8 = 8です。境界の両側も、例えばk = 3ならt = 1, 5で4点、k = 15ならt = -1, 7のうち7だけが使えて2点です。負の候補をそのまま正負のxに変える失敗を避けられます。

基本例題では、枝を描くために頂点と交点を調べました。この問題では高さが変わるので、tの候補が0を通過する高さまで調べる必要があります。頂点の高さだけで区切ると、3点になる境界を見落とします。

発展例題：文字があるときの0の扱い

実数aについて、方程式|x|² − 2a|x| + 3 = 3の異なる実数解の個数を、aの範囲ごとに整数で求めてください。解もaを用いて示してください。

右辺を左辺へ移して、t = |x| ≧ 0と置きます。

|x|² - 2a|x| = 0
t² - 2at = 0
t(t - 2a) = 0
t = 0 または t = 2a

t = 0はどのaでも使え、x = 0に対応します。もう一方は、a > 0なら2a > 0なので使え、x = -2a, 2aを与えます。a = 0なら2つのtの候補がともに0で、x = 0を重ねて数えてはいけません。a < 0なら2a < 0なので、2aは絶対値の値として使えません。

a > 0   解はx = -2a, 0, 2aで3個
a ≦ 0   解はx = 0で1個

検算すると、x = 0では左辺は3です。a > 0でx = ±2aなら|x| = 2aなので、左辺は4a² − 4a² + 3 = 3です。a = 0では式が|x|² = 0となって解は0のみです。例えばa = -1ではt(t + 2) = 0となり、候補-2はt ≧ 0に反します。a = 1ならt = 0, 2で、元の方程式の解は-2, 0, 2です。

発展の分かれ目は、文字を含む候補の符号を決めてからxへ戻す点です。tについて異なる2つの解が見えても、負なら捨て、0なら左右で1点です。この順番を守ると、a = 0での重なりも特別な暗記なしに扱えます。

左側を残してしまったら

基本例題の元の関数f(x) = x² − 4x + 3を使い、「左側の点(-2, 15)を残して、(2, 15)を加える」と考えたとします。この作図ではf(-2)を使っています。しかし変換後にx = -2を代入すると、入力は|-2| = 2です。求める高さはf(2) = -1であり、15ではありません。

図3のように、元の右側の(2, -1)を残し、それを左へ写して(-2, -1)を取ります。元の左側の点は作図の材料から外します。点の左右の座標は符号が逆、高さは同じです。どちらを写すのか迷ったら、負のxを1つ代入して|x|の値を先に出すと判断できます。

もう1つの誤りは、標準例題でt = 0からx = ±0の2解を作ることです。+0と-0は同じ数ですから、座標も同じになります。候補を「t > 0は2点、t = 0は1点、t < 0は0点」に分けると、失敗の原因を式の段階で見つけられます。

練習：枝、交点、範囲を自分で選ぶ

次の5問では、特に指定がなければxはすべての実数です。座標と値は整数または正確な分数で、範囲は不等号で答えてください。解答は問題の後にまとめてあります。

y = |x|² − 2|x| − 3について、左右の式、各枝にある頂点、x軸との交点を求めてください。
y = 2|x|² + 4|x| − 6について、x軸との交点をすべて求めてください。
y = |x|² − 8|x| + 12とy = kの共有点の個数を、実数kの範囲ごとに求めてください。
-2 ≦ x ≦ 5で、y = |x|² − 6|x| + 5の最大値と最小値、およびそれぞれを取るxを求めてください。
実数bについて、方程式|x|² − 2b|x| + 4 = 0がx = 2を解に持つとき、bとその方程式の異なる実数解をすべて求めてください。

練習の答えと道筋

1. 枝を使える範囲まで確認する

x ≧ 0: y = x² - 2x - 3 = (x - 1)² - 4
x < 0:  y = x² + 2x - 3 = (x + 1)² - 4

頂点はそれぞれ(1, -4)、(-1, -4)です。どちらも枝の範囲に入ります。右の式を0とすると、

x² - 2x - 3 = 0
(x - 3)(x + 1) = 0
x = 3, -1

右の範囲では3だけを採用し、対称な左の交点を加えて(3, 0)、(-3, 0)です。右の式から出た-1を右側の解として採用することはできません。元の式でx = ±3なら9 − 6 − 3 = 0、x = ±1なら1 − 2 − 3 = -4となり、交点と頂点の高さが合います。

2. 負の入力候補を捨てる

t = |x| ≧ 0と置き、y = 0とします。

2t² + 4t - 6 = 0
t² + 2t - 3 = 0
(t + 3)(t - 1) = 0
t = -3, 1

-3はt ≧ 0を満たさないので、t = 1だけが使えます。したがって交点は(-1, 0)、(1, 0)です。元の式にx = ±1を戻すと2 + 4 − 6 = 0です。もしt = -3も採用すると、絶対値が負になることを要求するため、対応する実数xはありません。

3. 0になる高さで個数が変わる

t = |x| ≧ 0
t² - 8t + 12 = k
(t - 4)² = k + 4

k < -4では解なし、k = -4ではt = 4から2点です。k > -4ではt = 4 ± √(k + 4)です。小さい方が0となるのはk + 4 = 16、すなわちk = 12です。したがって答えは次のとおりです。

k < -4          0個
k = -4          2個
-4 < k < 12     4個
k = 12          3個
k > 12          2個

k = -4ではx = ±4により16 − 32 + 12 = -4です。k = 12ではx = 0, ±8により値は12です。例えば境界の間のk = 5ではt = 1, 7となって4点、境界より上のk = 21ではt = -1, 9のうち9のみが使えて2点です。点を重複なく数えた結果と一致します。