高校数学I 二次不等式の整数解—開いた端と閉じた端から個数の条件を逆算する｜武蔵野個別指導塾

根が整数になる境界では、等号の有無によって数える個数が変わります。最後に入る整数と次の整数を手がかりに、文字の範囲まで逆算していきます。

よくあるのは、高1の本人が復習中に二次不等式を解き、根が整数のときに端も数えてしまう場面です。数直線に2つの根を置けても、不等号が等号を許すかを見落とすと、整数解の個数が変わります。まず実数の解の範囲を求め、その中にある整数を拾います。さらに文字を含む端が動くときは、整数を通過する瞬間に注目して、個数から文字の範囲を逆算します。

個数を問われたら何を先に決めるか

出方には主に3つあります。第1は、数値が決まった二次不等式を解いて整数を列挙する問題です。第2は、根の一方に文字が入り、指定された個数になる文字の範囲を求める問題です。第3は、定義域が別に与えられ、その範囲との共通部分で数える問題です。いずれも二次式の符号を調べるところから始めます。

二次係数が正で異なる2つの根を持つ場合、二次式は根の間で負、外側で正です。根では値が0です。0を含む不等号なら根も解になり、含まない不等号なら根は解になりません。二次係数が負なら正負が逆になります。この区別をした後に整数に絞れば、根の個数と整数解の個数を混同せずに済みます。

また、外側の範囲に定義域の制限がなければ、整数解は無限にあります。有限個の整数を数える問題では、範囲が両側から限られているか、別の定義域があるかを確認します。解が存在しない場合は個数を0とし、端点が一致する場合も元の不等号に戻して調べます。

開いた端と閉じた端を整数に翻訳する

実数の範囲 a < x < b では、a と b は含みません。a ≤ x ≤ b では両端を含みます。片方だけ等号がある場合は、その側だけ端を含みます。端が整数でなければ、等号の有無を変えてもその端自体は整数解になりません。一方、端が整数に一致した瞬間には、その整数を数えるかどうかが個数を左右します。

図1のように、同じ端を持つ2つの範囲でも、端にある整数の扱いが違います。白い丸はその点を含まず、塗った丸は含む印です。線の上の整数を数える前に、丸を描き分けます。

図1では 1 < x < 5 の整数は 2、3、4 の3個、1 ≤ x ≤ 5 の整数は 1、2、3、4、5 の5個です。端の差 5 − 1 = 4 は長さであり、個数そのものではありません。閉区間で両端が整数なら、左端から右端までの個数は差に1を足して求められます。開区間では両端を除くため差から1を引きます。ただし、端が整数とは限らない場合や範囲が空の場合には、この形を無条件に使わず列挙します。

文字が端になるときは、数えたい整数と、そのすぐ隣の整数を使います。例えば x < t で整数 4 を含み、5 を含まないためには、4 < t かつ t ≤ 5 です。t = 5 のとき 5 < 5 は成り立たないので、上の等号は必要です。逆に x ≤ t なら、4 を含み 5 を含まない条件は 4 ≤ t < 5 です。境界に代入して確認すると、不等号の向きを覚え間違えても修正できます。

もう一つ、整数の存在しない範囲も考えます。例えば 2 < x < 3 は実数ならたくさんありますが、整数はありません。2も3も端で除かれ、その間に整数がないためです。2 ≤ x ≤ 2 は1点の範囲であり、整数解は2の1個です。一方、2 < x < 2 は同時に2より大きく2より小さい数を求めるので、解がありません。範囲を見た瞬間に長さだけで個数を決めず、端の順序と等号を確かめます。

端が動く問題では、条件を満たす文字が存在しないこともあります。例えば 0 < x < t で t ≤ 1 なら、正の整数のうち最小の1さえ入らないので、整数解は0個です。t が負の場合もこの範囲は空です。整数が存在するかどうかと、実数の範囲そのものが空かどうかは別の問いです。実数の範囲が空でなければ必ず整数がある、と考えないようにします。

文字が根の順序を変える設定では、最初にどちらが左かを場合分けします。根が一致する境界では間が消えるため、元の式へ代入して別に判断します。

基本例題：まず実数の範囲を出す

二次不等式 x² − 6x + 5 < 0 を満たす整数 x をすべて求め、個数を整数で答えてください。

二次係数は1で正です。左辺を積にすると、

x² - 6x + 5 < 0
(x - 1)(x - 5) < 0

異なる根は1と5です。積が負になるのは2つの因数の符号が異なる間なので、実数の解は 1 < x < 5 です。等号を許さないため1と5を除きます。図2のように、その内側の整数を拾います。

整数解は x = 2、3、4 で、個数は3個です。元の左辺に戻すと、それぞれ -3、-4、-3 で確かに負です。端の1と5では0になり、負ではないため除きます。範囲の外では2つの因数が同符号なので、ほかの整数が入り込む余地はありません。

もし不等号が ≤ なら、根でも左辺が0なので1と5も加わります。逆に > なら根の外側が解であり、定義域がなければ整数解は無限にあります。同じ方程式の根を使っても、求めるものが実数の範囲なのか整数の個数なのか、また0を含むのかを別々に判断する必要があります。

標準例題：動く右端から範囲を逆算する

実数 t は t > -2 とします。不等式 (x + 2)(x − t) < 0 を満たす整数 x がちょうど4個となる t の範囲を求めてください。

条件 t > -2 により、2つの根は左から -2、t の順で異なります。二次係数は1なので、積が負となる実数の範囲は

-2 < x < t

です。左端は固定され、-2 自身は入りません。左から順に整数を並べると -1、0、1、2、3、……です。ちょうど4個にするには、4番目の2を含み、次の3を含まないことが必要です。逆にこの2条件があれば、それより左の -1、0、1 も含まれるため十分です。

2 < t
3 は x < t を満たさないので t ≤ 3
したがって 2 < t ≤ 3

t = 3 では3が根なので除かれ、整数解は -1、0、1、2 の4個です。t = 2 では2が根となり除かれるため3個です。t が3より大きければ3も入り、少なくとも5個になります。境界の両側まで見れば、2 < t ≤ 3 の両方の不等号が元の条件から出てきたと確かめられます。

たとえ t が整数でなくても、整数解が変化するのは t が整数を通るところです。例えば t = 5/2 のときも解は -1、0、1、2 です。t を少し動かしただけで個数が連続的に変わるわけではなく、次の整数が範囲に入るところで1個ずつ変わります。この観察は境界を予想する助けになりますが、等号の判定は元の不等式ですることが必要です。

発展例題：閉じた端と定義域を合わせる

実数 s は s ≥ 1 とします。定義域 -1 ≤ x ≤ 6 において、不等式 (x − 1)(x − s) ≤ 0 を満たす整数 x がちょうど4個となる s の範囲を求めてください。

s ≥ 1 なので、根は1とsであり、s = 1 のときは重なります。二次係数は正で、0も許されますから、元の不等式の実数解は 1 ≤ x ≤ s です。s = 1 でも (x − 1)² ≤ 0 の解は x = 1 であり、この表現に含まれます。定義域との共通部分は

1 ≤ x ≤ s かつ -1 ≤ x ≤ 6

です。1から数えると整数は 1、2、3、4、5、6 の順です。4個にするには4を含み、5を含まないことが必要十分です。4も5も定義域の中にあるので、動く端だけを判定できます。

4 ≤ s
5 は x ≤ s を満たさないので s < 5
したがって 4 ≤ s < 5

s = 4 では根の4を含むため4個です。s = 5 では5も含むため5個です。例えば s = 9/2 では整数解が 1、2、3、4 で、元の積は順に 0、-5/2、-3、-3/2 といずれも0以下です。5は積が正となり含まれません。s が6以上では定義域内の1から6までの6個が入り、それ以上 s を大きくしても個数は増えません。定義域の右端が上限になるからです。

標準例題では開いた右端を使い、発展例題では閉じた右端と定義域を合わせました。数える順番は同じですが、境界の等号と、次の整数が定義域内に存在するかが分かれ目です。もし4個目が定義域の右端そのものなら、次の整数を除く条件は不要な場合があります。先に候補の整数を定義域で絞ってから判定してください。

誤答を直す：根そのものを入れていないか

基本例題について「根は1と5だから整数解は1、2、3、4、5の5個」としたとします。この答えは実数の範囲の内部を拾えている一方で、根では左辺が0となることを見落としています。元の不等号は < 0 ですから、0を与える両端を数えられません。

図3のように、最初の列挙にある両端を元の式へ戻します。1と5では左辺が0なので消し、2、3、4が残ります。端点に整数があるときの失敗は、数直線の丸を白く描き、代入結果の0と不等号を照合することで見つけられます。

反対に ≤ 0 の問題で、習慣的に根を捨てる誤りもあります。こちらは0を許すのに除いていることが原因です。修正の手順は同じで、端を代入して0になると確かめ、その0が不等号を満たすかを判定します。図の丸だけに頼らず式に戻すと、開いた端と閉じた端のどちらの間違いも見分けられます。

練習：5つの条件を別々に考える

次の5問は、整数 x の個数を指定された形で答えてください。文字は実数です。

1. x² − 9x + 14 ≤ 0 を満たす整数 x をすべて列挙し、個数を答えてください。
2. (x + 4)(x − 2) < 0 を満たす整数 x をすべて列挙し、個数を答えてください。
3. u > 0 とします。(x − 0)(x − u) < 0 を満たす整数 x がちょうど3個となる u の範囲を求めてください。
4. v ≥ -3 とします。(x + 3)(x − v) ≤ 0 を満たす整数 x がちょうど5個となる v の範囲を求めてください。
5. -2 ≤ x ≤ 4 の範囲で、(x + 1)(x − 6) ≥ 0 を満たす整数 x をすべて列挙し、個数を答えてください。

練習の答えと戻し方

1. 因数分解すると (x − 2)(x − 7) ≤ 0 です。二次係数は正なので 2 ≤ x ≤ 7 となります。整数は2、3、4、5、6、7の6個です。両端では積が0で、中の整数では2因数が異符号です。範囲外では同符号になり、列挙に漏れはありません。

2. 根は -4 と2で、実数の解は -4 < x < 2 です。整数は -3、-2、-1、0、1 の5個です。これらでは因数が異符号で、根では積が0なので < 0 を満たしません。差が6でも個数は5であることに注意します。

3. u > 0 より 0 < x < u です。整数1、2、3を含み、4を含まない条件は 3 < u ≤ 4 です。u = 4 では4が根となり、1、2、3が残ります。u = 3 では3が入らず2個、u > 4 では4も入り少なくとも4個です。条件内の u で1、2、3は元の2因数が異符号となります。

4. v ≥ -3 より -3 ≤ x ≤ v です。左から5個は -3、-2、-1、0、1 です。1を含み2を含まないため 1 ≤ v < 2 となります。v = 1 では右端の1も積が0で含まれます。v = 2 なら2も含まれ6個です。範囲内の5整数は元の積が0以下で、次の2は正の積になるので、個数の条件に戻して確かめられます。

5. 二次係数は正で、積が0以上となる実数は x ≤ -1 または x ≥ 6 です。これと -2 ≤ x ≤ 4 の共通部分は -2 ≤ x ≤ -1 です。整数は -2、-1 の2個です。元の積は順に8、0で条件を満たします。右側の x ≥ 6 は定義域と重ならず、整数を生みません。

覚えておくこと

実数の解の範囲を出し、定義域との共通部分を取ってから整数を数えます。 根で0を許すかを不等号で決め、端が整数なら必ず代入します。 個数を逆算するときは、最後に入る整数と次の整数を調べます。 境界値とその両側で、元の条件に戻して個数を照合します。

どこで数え違えたかを見分ける

実数の範囲を誤っている場合と、範囲は正しいのに整数を数え違えている場合では、戻る場所が違います。前者なら2つの根と二次係数の符号を見て、どこで積が正負になるかを確認します。後者なら数直線に整数を書き、端の丸と不等号を照合します。個別指導で確かめるなら、最後に入る整数がなぜ入り、次の整数がなぜ入らないかを、それぞれ元の式と定義域を使って説明してもらいます。境界で0になる点を見逃さなければ、整数解の個数は根拠を持って決められます。