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高校数学I 二次関数の動く軸と最小値—区間の両端を境に文字の条件を三つに分ける｜武蔵野個別指導塾

公開 2026.11.12更新 2026.11.12武蔵野個別指導塾の特徴高校数学I 二次関数を掘り下げる

固定区間の端と軸を比べ、境界を含む3つの場合と値を取る位置から動く軸と最小値を読み解きます。

よくあるのは、復習中に「軸が区間の左にある」という条件を、そのまま x の範囲として書いてしまう場面です。動くのは軸を決める文字で、x が動ける区間は固定されています。文字の値を1つ決めてから放物線を眺めると、この2種類の役割を分けられます。

たとえば軸が左端より左にあれば、区間内で軸に最も近いのは左端です。軸が中に入ると頂点を使い、右に出ると右端を使います。切り替わる瞬間まで含め、最小値とそれを取る x を対応させましょう。

要点（結論から）

文字を固定し、軸と区間の両端を比べます。
上に開く放物線の最小は、区間内で軸に最も近い位置で取ります。
軸が左、内部、右の3つに分け、境界の値と位置を照合します。

何を動かして何を固定するか

出方には、軸がそのまま文字で表される型、平方完成して軸を求める型、軸が文字の式になっていて不等式を解く型があります。いずれも区間は固定し、二次の係数が正であることを確認します。必要な道具は平方完成と一次不等式です。

文字を t とすると、t は1つの放物線を選ぶための数です。x は選ばれた放物線の上で、指定区間内を動く数です。t を決めるたびに別の最小値が得られますが、x の範囲そのものは変わりません。答えは通常、t の条件ごとに最小値と、その値を取る x を書きます。

平方完成の後に定数項も t を含んでも、同じ t についてはその項の値は固定です。そのため、最小となる位置は平方の部分で決まり、最小値を計算するときに定数項を戻します。軸が動くことと、頂点の高さも動くことは区別してください。

軸から近い場所を探す

一般に、実数 p、q と正の数 a に対して y = a(x − p)² + q を L ≦ x ≦ R で考えます。ただし L < R です。軸は直線 x = p、頂点は (p, q) です。a > 0 なので上に開き、同じ p からの距離が小さいほど平方の値は小さくなります。

図1のように軸 p が左端 L より左なら、区間内の任意の x で x − p ≧ L − p > 0 です。よって (x − p)² ≧ (L − p)² となり、左端が最小です。p が区間内なら平方が0になる x = p を選べます。p が右端より右なら、同様に p − x ≧ p − R > 0 なので右端が最小です。

図1では太い線が x の動く区間で、点は軸の位置を示します。左、中、右はそれぞれ別の p の場合です。軸そのものが x の範囲を決めるわけではありません。

端と軸が一致する p = L、p = R では、頂点が端点にあります。左側の式と中央の式は p = L で一致し、中央と右側も p = R で一致します。条件を重複なく書くなら、例えば p < L、L ≦ p ≦ R、p > R とできます。等号を隣に移しても、境界で値と位置が一致することを示せば同じ答えです。

基本例題：軸をそのまま比べる

実数 t に対し、y = (x − t)² + 2 を -1 ≦ x ≦ 3 で考えます。最小値と、その値を取る x を t の条件で場合分けして求めてください。値は整数または t の式で表します。

二次係数は1で正、軸は x = t です。軸と区間の端 -1、3 を比べると、t < -1、-1 ≦ t ≦ 3、t > 3 の3つに分かれます。図2のように、各場合に軸に最も近い点を選びます。

まず t < -1 では左端 x = -1 を代入します。

y = (-1 - t)² + 2
  = (t + 1)² + 2

したがって最小値は (t + 1)² + 2、そのとき x = -1 です。例えば t = -2 なら軸は左端の左にあり、左端の値は 3 です。区間内で軸により近い点はありません。

次に -1 ≦ t ≦ 3 では x = t が定義域に入ります。

y = (t - t)² + 2
  = 2

最小値は 2、そのとき x = t です。例えば t = 0 なら x = 0 は区間にあり、元の式も 2 になります。

最後に t > 3 では右端 x = 3 を代入します。

y = (3 - t)² + 2
  = (t - 3)² + 2

最小値は (t − 3)² + 2、そのとき x = 3 です。t = 4 では右端の値は 3 で、元の条件にも合います。

境界では t = -1 を左側の式に入れても 2、位置は x = -1 = t です。t = 3 を右側の式に入れても 2、位置は x = 3 = t です。境界の直前と直後で選ぶ位置が変わっても、境界では同じ点を指します。なお、t < -1 は文字 t の条件であり、x < -1 を要求していません。どの場合も x は -1 以上3以下です。

標準例題：平方完成して軸を取り出す

実数 s に対し、y = x² − 2sx + 2s + 5 を 0 ≦ x ≦ 4 で考えます。最小値と、その値を取る x を s の条件で場合分けして求めてください。答えは s の式で表します。

二次係数は1で正です。平方完成すると、

y = (x - s)² - s² + 2s + 5

軸は x = s です。頂点の高さ -s² + 2s + 5 も s で変化しますが、固定した s における位置は平方の部分から決まります。区間の端と比べて s < 0、0 ≦ s ≦ 4、s > 4 に分けます。

s < 0 では x = 0 が軸に最も近いので、元の式に代入して

y = 0² - 2s・0 + 2s + 5
  = 2s + 5

最小値は 2s + 5、そのとき x = 0 です。例えば s = -1 で値は 3 です。

0 ≦ s ≦ 4 では x = s が使えます。

y = s² - 2s・s + 2s + 5
  = -s² + 2s + 5

最小値は -s² + 2s + 5、そのとき x = s です。s = 2 なら x = 2 で値は 5 です。

s > 4 では x = 4 が軸に最も近いので、

y = 4² - 2s・4 + 2s + 5
  = 21 - 6s

最小値は 21 − 6s、そのとき x = 4 です。s = 5 なら元の式に x = 4 を入れて -9 です。最小値が負でも、平方の外にある定数が負になるため矛盾しません。

境界 s = 0 では左側と中央の式は共に5、位置は共に x = 0 です。s = 4 では中央と右側の式は共に -3、位置は共に x = 4 です。例えば s = -1、1、5 は3区間の代表で、s = 0、4 の両側でも軸が端を越える向きを確認できます。式を展開したまま端の値だけを比べると、内部に頂点がある場合を落とすので注意します。

発展例題：軸の式を不等式として解く

実数 a に対し、y = 2(x − 2a + 1)² + a を -2 ≦ x ≦ 2 で考えます。最小値と、その値を取る x を a の条件で場合分けして求めてください。境界は分数で正確に表します。

係数2は正で、軸は x = 2a − 1 です。軸の位置を表す 2a − 1 と、固定された端 -2、2 を比べます。x と a を同じ不等式に混ぜず、まず軸について条件を立てます。

2a - 1 < -2
2a < -1
a < -1/2

中央は次のように解きます。

-2 ≦ 2a - 1 ≦ 2
-1 ≦ 2a ≦ 3
-1/2 ≦ a ≦ 3/2

右側は 2a − 1 > 2、つまり a > 3/2 です。3つの範囲は重複せず実数全体を覆います。

a < -1/2 では x = -2 なので、

y = 2(-2 - 2a + 1)² + a
  = 2(2a + 1)² + a
  = 8a² + 9a + 2

最小値は 8a² + 9a + 2、そのとき x = -2 です。-1/2 ≦ a ≦ 3/2 では軸が区間に入り、x = 2a − 1 で平方が0です。最小値は a です。

a > 3/2 では x = 2 なので、

y = 2(2 - 2a + 1)² + a
  = 2(3 - 2a)² + a
  = 8a² - 23a + 18

最小値は 8a² − 23a + 18、そのとき x = 2 です。a = -1 では軸が -3、左端で値は1です。a = 0 では軸が -1、頂点の値は0です。a = 2 では軸が3、右端で値は4です。どの x も元の区間内で、元の式への代入と一致します。

境界 a = -1/2 では軸が -2、左右に使う値はいずれも -1/2 です。a = 3/2 では軸が2、中央と右側の値はいずれも 3/2 です。境界の少し左と少し右では軸の位置が対応する端を横切るので、場合分けの向きも確かめられます。

標準例題では平方完成後の軸が文字そのものでした。発展例題では軸が文字の式なので、軸の位置に関する条件を文字の不等式に直す段階が加わります。軸の式を端に等置して境界を求めるだけでなく、不等号の向きと各区間の代表値も見ると取り違えを防げます。

間違いを図でほどく

基本例題で「t < -1 だから x < -1、したがって x = t で最小値は2」とする答えを考えます。原因は、放物線を選ぶ t の条件を、動点 x の条件と混同したことです。t = -2 とすると、軸 x = -2 は区間外なので x = t は選べません。

図3では、軸 -2 から左端 -1 までの距離が1、左端 -1 から右端 3 までの距離が4になるように、数直線の目盛りをそろえます。t = -2 のとき左端に代入すると (-1 + 2)² + 2 = 3 です。修正すると、最小値は3、取る位置は x = -1 です。軸と頂点はグラフ上に存在しても、指定された範囲で使えるとは限りません。

別の誤りは、軸が内部にある場合にも左右の端だけを代入することです。t = 0 なら両端の値はそれぞれ3と11ですが、x = 0 で2を取ります。端点の比較は内部の頂点を代用できません。また平方完成の定数を落とすと位置は合っても値がずれます。位置を決めてから元の式に戻すと、この誤りも見つかります。

練習：条件と位置を一組にする

以下はいずれも実数の文字について、指定された閉区間での最小値と、その値を取る x を求めます。答えは文字の条件を不等式で分け、値は整数、分数または文字の式で表してください。

y = (x − b)² − 3、2 ≦ x ≦ 5。
y = 3(x − c)² + 1、-4 ≦ x ≦ -2。
y = x² − 2dx + d、1 ≦ x ≦ 3。
y = (x + 2e)² + 4、-3 ≦ x ≦ 1。
y = 2(x − f − 1)² − f、-2 ≦ x ≦ 4。

答えと解き方

軸は x = b です。b < 2 では x = 2 で最小値 (b − 2)² − 3、2 ≦ b ≦ 5 では x = b で最小値 -3、b > 5 では x = 5 で最小値 (b − 5)² − 3 です。b = 2 と b = 5 では端点と頂点が一致し、隣の式も -3 です。例えば b = 1、3、6 をそれぞれ元の式に戻すと、選んだ位置の値はいずれも表示した式と一致します。
軸は x = c です。c < -4 では x = -4、最小値 3(c + 4)² + 1。-4 ≦ c ≦ -2 では x = c、最小値1。c > -2 では x = -2、最小値 3(c + 2)² + 1 です。c = -4 と c = -2 では各端で値1となります。c = -5、-3、-1 を代入すると値は順に4、1、4で、位置はいずれも区間内です。
平方完成して y = (x − d)² − d² + d、軸は x = d です。d < 1 なら x = 1、最小値 1 − d。1 ≦ d ≦ 3 なら x = d、最小値 -d² + d。d > 3 なら x = 3、最小値 9 − 5d です。d = 1 では両側とも0、d = 3 では両側とも -6 です。d = 0、2、4 では元の式からそれぞれ1、-2、-11となり、選んだ x は1、2、3です。
軸は x = -2e です。-2e < -3 を解くと e > 3/2、-3 ≦ -2e ≦ 1 を解くと -1/2 ≦ e ≦ 3/2、-2e > 1 を解くと e < -1/2 です。負の数で割るため不等号の向きが変わります。e < -1/2 では x = 1、最小値 (1 + 2e)² + 4。-1/2 ≦ e ≦ 3/2 では x = -2e、最小値4。e > 3/2 では x = -3、最小値 (2e − 3)² + 4 です。境界ではそれぞれ x = 1、-3 で値4です。e = -1、0、2 を元の式に戻すと値は5、4、5です。
軸は x = f + 1 です。f + 1 < -2 は f < -3、-2 ≦ f + 1 ≦ 4 は -3 ≦ f ≦ 3、f + 1 > 4 は f > 3 です。f < -3 では x = -2、最小値 2(f + 3)² − f。-3 ≦ f ≦ 3 では x = f + 1、最小値 -f。f > 3 では x = 4、最小値 2(3 − f)² − f です。f = -3 と3では頂点が端点にあり、隣の式もそれぞれ3と -3 になります。f = -4、0、4 で値は6、0、-2となり、元の式と定義域に合います。

各問で境界を含む中央の条件を採用しました。境界を端側に含めても答えは変わりませんが、条件が抜けたり重なったりしないように書きます。代表値は計算の点検であり、全範囲の根拠は軸からの距離の比較です。