高校数学I 二次関数の移動量—二つの式が平行移動で重なる条件を頂点から探す｜武蔵野個別指導塾

二次係数の一致と頂点の差から、移動できない場合も含めて二次関数の移動量を見極めます。

復習中、2つの放物線の頂点が同じだと気づき、「頂点が合えばグラフも重なる」と考える場面があります。しかし、頂点を共有しても開き方が違う放物線はあります。逆に、頂点が離れていても、形が同じなら平行移動で重なります。移動量を探す前に、移動で変わらないものを見つけましょう。

何を答える問題なのか

出方には、2つの式から横と縦の移動量を求める型、移動できるかどうかを先に判定する型、文字を含む式について重なるための条件を求める型があります。いずれも頂点の座標を読み取るため、式を平方完成してから比べます。移動方向は、元のグラフから移動先を見る向きに決めます。逆向きなら横も縦も符号が反対です。

ここでのグラフは、特に断らなければ実数全体を定義域とする二次関数のグラフです。定義域が限定された一部分を移すときは、形と頂点のほかに、定義域も横に同じ量だけ移ることを確かめる必要があります。まず放物線全体について、条件がなぜ十分なのかを考えます。

同じ形と頂点の差

二次関数 y = a(x − p)² + q の二次係数 a は 0 ではなく、頂点は (p, q) です。これを横に h、縦に k だけ平行移動すると、各点 (x, y) は (x + h, y + k) に移ります。この対応では、横方向は h の符号で右向き（正）か左向き（負）に分かれます。縦方向については、k が正の移動は上向き、負の移動は下向きと読み取れます。移動後の点を (X, Y) とすれば、元の点は (X − h, Y − k) ですから、

Y - k = a(X - h - p)² + q
Y = a(X - (p + h))² + q + k

となります。移動後の頂点は (p + h, q + k)、二次係数は a のままです。文字 X、Y を普段の x、y に戻しても、表しているグラフは変わりません。横の移動を式に入れるときは x に h を足すのではなく、元の横座標 x − h を代入する点に注意します。

図1のように、頂点 (p, q) から (r, s) へ移す横と縦の差は、それぞれ r − p、s − q です。移動元と移動先の二次係数が同じなら、この差で移動した式は移動先の式に一致します。したがって、二次係数の一致は必要であるだけでなく、頂点の差を使えば十分でもあります。

一方、二次係数が違えば平行移動しても一致しません。たとえば y = x² と y = 2x² はどちらも頂点が原点ですが、x = 1 での高さはそれぞれ 1、2 です。同じ頂点に合わせても開き方が違います。係数の符号が違う場合は開く向きも違い、符号が同じでも絶対値が違えば幅が違います。

限られた範囲のグラフでは

放物線の一部分について「重なる」と問われた場合、式が一致するだけでは足りません。元の定義域が 0 ≦ x ≦ 2 で、横に 3 移すなら、移動後の範囲は 3 ≦ x ≦ 5 です。移動先の式が一致しても、範囲が 0 ≦ x ≦ 2 のままなら、描かれている部分は一致しません。端点も元の点から横に 3 移り、等号の有無もそのまま引き継ぎます。

また、頂点が定義域の外にあっても、平方完成した式の頂点は放物線全体の形を表す基準として使えます。ただし、その頂点が実際に描かれた部分に含まれるとは限りません。式の一致を調べた後で、移動した範囲が指定された範囲に一致するかを別に調べます。範囲が一致しないという失敗と、二次係数が違うため式そのものが一致しないという失敗は、原因が異なります。

移動量を読み取るときは、まず元と先を明示し、それぞれの頂点を同じ順序で書きます。次に先の横座標から元の横座標を引き、縦座標でも同じ操作をします。この順序を統一すると、負の値を引く場合にも、左と下を混同しにくくなります。得られた数を図の矢印でたどり、元の頂点から先の頂点に着くことまで確かめましょう。

基本例題：平方完成して差を取る

放物線 y = 2x² − 4x + 5 を平行移動して y = 2x² + 8x + 3 に重ねます。右方向と上方向を正とした横と縦の移動量を、それぞれ整数で求めてください。

移動元を平方完成します。二次係数 2 を x の項までくくり、括弧の中を平方にします。

y = 2(x² - 2x) + 5
y = 2{(x - 1)² - 1} + 5
y = 2(x - 1)² + 3

移動元の頂点は (1, 3) です。次に移動先を同じ形にします。

y = 2(x² + 4x) + 3
y = 2{(x + 2)² - 4} + 3
y = 2(x + 2)² - 5

移動先の頂点は (-2, -5) です。二次係数はともに 2 なので、頂点の差で全体が重なります。

横の移動量 = -2 - 1 = -3
縦の移動量 = -5 - 3 = -8

答えは横 -3、縦 -8、すなわち左に 3、下に 8 です。図2の矢印は頂点の移動を示しています。頂点の移動だけで結論を出せるのは、二次係数の一致を確かめたからです。

式でも確かめます。横 -3、縦 -8 の移動では、元の式の x を x + 3 に替え、最後に 8 を引きます。

y = 2(x + 3 - 1)² + 3 - 8
y = 2(x + 2)² - 5
y = 2x² + 8x + 3

移動先の式と一致しました。元の頂点 (1, 3) は (-2, -5) に移り、その点も移動先の式を満たします。符号を間違えて右へ 3 とすると頂点の横座標が 4 になるため、問題の移動先には届きません。

標準例題：係数を決めてから移す

放物線 y = ax² + 4x + 1 と y = 2x² − 4x + 7 が平行移動で重なります。a は 0 でない実数です。a と、前者から後者への横と縦の移動量をそれぞれ整数で求めてください。

平行移動で二次係数は変わらないため、必要な条件は a = 2 です。この値は 0 ではなく、問題の条件にも合います。代入して頂点を調べます。

y = 2x² + 4x + 1
y = 2(x² + 2x) + 1
y = 2(x + 1)² - 1

元の頂点は (-1, -1) です。移動先は次のとおりです。

y = 2x² - 4x + 7
y = 2(x² - 2x) + 7
y = 2(x - 1)² + 5

移動先の頂点は (1, 5) なので、横は 1 − (-1) = 2、縦は 5 − (-1) = 6 です。a = 2、横 2、縦 6 が答えです。

必要性の確認だけで止めず、この値で本当に重なるかを調べます。元の頂点形式に x − 2 を代入し、6 を足すと、

y = 2(x - 2 + 1)² - 1 + 6
y = 2(x - 1)² + 5
y = 2x² - 4x + 7

となります。頂点 (-1, -1) も (1, 5) に移り、指定された移動先の頂点に一致します。係数がそろった後は頂点の差が十分条件になるので、別の移動量を探す必要はありません。

発展例題：移動の条件が増えたとき

放物線 y = x² − 2x + 4 を、横に t、縦に 2t だけ平行移動します。移動後のグラフが点 (3, 8) を通るような実数 t を、すべて根号を用いて求めてください。移動後の式と、その頂点もそれぞれ答えてください。

この問題では移動先の放物線が最初から与えられていません。点を通るという条件を使い、移動量そのものを決めます。元の式を平方完成すると、

y = (x - 1)² + 3

です。横に t、縦に 2t 移動した式は次のようになります。

y = (x - 1 - t)² + 3 + 2t

点 (3, 8) の座標を代入し、t の方程式を作ります。

8 = (3 - 1 - t)² + 3 + 2t
8 = (2 - t)² + 3 + 2t
8 = t² - 4t + 4 + 3 + 2t
t² - 2t - 1 = 0

平方完成すると (t − 1)² = 2 です。したがって t = 1 + √2 または 1 − √2 です。

それぞれの移動後の式と頂点は、t の式にそのまま戻して整理できます。

t = 1 + √2 のとき
y = (x - 2 - √2)² + 5 + 2√2
頂点 (2 + √2, 5 + 2√2)
t = 1 - √2 のとき
y = (x - 2 + √2)² + 5 - 2√2
頂点 (2 - √2, 5 - 2√2)

どちらも二次係数は 1 です。点の条件へ戻すと、いずれも (2 − t)² + 3 + 2t = 8 となります。実際、(1 − √2)² + 5 + 2√2 = 8、(1 + √2)² + 5 − 2√2 = 8 です。2つの t は異なり、平方完成した方程式からほかの実数解はありません。

標準例題では移動先の式があるので、まず二次係数を比較し、頂点の差を直接取れます。発展例題では移動先が点の条件で決まるため、移動後の式を作ってから方程式を解きます。方程式の解の個数と、条件に合う移動の個数を最後に対応させることが分かれ目です。

誤答をほどく

「y = x² と y = 2x² は頂点がともに (0, 0) だから、移動量 (0, 0) で重なる」という答えを考えます。頂点の差は確かに (0, 0) ですが、二次係数は 1 と 2 です。原因は、頂点の位置と放物線の形を同じ情報として扱ったことにあります。

図3のように、両者は頂点から横に 1 進んだときの高さが異なります。平行移動は二次係数を変えないので、どの移動量でも2つの放物線全体は重なりません。修正するときは、まず二次係数を書き並べ、一致したときに限って頂点の差を移動量として使います。

もう1つの誤りは、移動元の頂点から移動先の頂点を引くことです。たとえば元が (1, 3)、先が (-2, -5) なら、差は先から元を引いて (-3, -8) です。逆に (3, 8) とすると、移動先から元へ戻す移動になります。矢印の始点と終点を紙に書いてから引き算をすると、方向を確認できます。

練習：移動できるか、できるならどれだけか

次の5問では、特に断らなければ定義域は実数全体です。移動量は右と上を正とし、整数または分数で答えてください。移動できない場合は、その理由も答えます。

1. y = x² + 6x + 4 を y = x² − 2x − 2 に重ねます。横と縦の移動量を求めてください。
2. y = -3(x − 2)² + 1 と y = 3(x − 2)² + 1 は平行移動で重なりますか。理由を述べてください。
3. y = (1/2)x² − 2x + 1 を y = (1/2)x² + x − 4 に重ねます。横と縦の移動量を求めてください。
4. 0 でない実数 b について、y = bx² − 6x + 2 を y = -2x² + 8x − 1 に平行移動で重ねます。b と横、縦の移動量を求めてください。
5. y = (x + 4)² − 2 を、横に u、縦に 1 だけ移したところ、頂点の横座標が 3 になりました。u と移動後の式を求め、移動後の頂点を答えてください。

練習の答えと確かめ

1. 平方完成すると、元は y = (x + 3)² − 5、先は y = (x − 1)² − 3 です。頂点はそれぞれ (-3, -5)、(1, -3) なので、横 4、縦 2 です。元の式の x を x − 4 に替えて 2 を足すと (x − 1)² − 3 となり、先の式に戻ります。頂点も (1, -3) に移ります。

2. 重なりません。二次係数が -3 と 3 で異なり、平行移動ではこの係数が変わらないからです。頂点は同じでも、一方は上に開き、他方は下に開きます。頂点を合わせ直す移動で違いを消すことはできません。

3. 元と先を平方完成します。

y = (1/2)(x² - 4x) + 1
y = (1/2)(x - 2)² - 1
y = (1/2)(x² + 2x) - 4
y = (1/2)(x + 1)² - 9/2

頂点は (2, -1) と (-1, -9/2) です。横は -1 − 2 = -3、縦は -9/2 − (-1) = -7/2 です。元に x + 3 を代入し 7/2 を引くと、(1/2)(x + 1)² − 9/2 になります。移動後の頂点は先の頂点と一致します。

4. 二次係数の一致から b = -2 です。元と先は次のようになります。

y = -2(x² + 3x) + 2
y = -2(x + 3/2)² + 13/2
y = -2(x² - 4x) - 1
y = -2(x - 2)² + 7

頂点は (-3/2, 13/2) と (2, 7) です。横は 7/2、縦は 1/2 です。元に x − 7/2 を代入して 1/2 を足すと、-2(x − 2)² + 7 になります。b = -2 は 0 でなく、指定された先の式にも一致します。

5. 元の頂点は (-4, -2) です。横座標が 3 になるには -4 + u = 3 より u = 7 です。縦に 1 移るので頂点は (3, -1)、式は y = (x − 3)² − 1 です。元の式に x − 7 を代入して 1 を足しても、この式になります。頂点の横座標は問題の指定どおり 3 です。

手元に残す要点

二次係数が違う放物線は、平行移動では重なりません。 係数が同じなら、移動量は移動先の頂点から移動元の頂点を引いて求めます。 求めた移動を元の式と頂点に戻し、移動先の条件を確かめます。

どこで止まったかを見分ける

頂点を出せない場合は、平方完成の途中で括弧の外の係数を掛け直せているかを調べます。頂点は正しいのに方向を逆にする場合は、座標を数直線に置き、元から先への差を声に出して確認します。係数が違う場合にも差を取ってしまうなら、頂点から同じ横の距離にある点の高さを比べます。

個別に確認するときは、移動前後の式、2つの頂点、差を取る順序を本人に説明してもらいます。さらに、得た移動量を元の式へ戻し、先の式と一致するかを一緒に追います。式が一致しないときは、横移動の代入の符号と縦移動の加減を別々に調べます。頂点の差は、同じ形という条件があって初めて放物線全体の移動量を決めます。