高校数学I 空間図形の角と長さ—正射影と断面から線分と平面の角を含む三角形を選ぶ｜武蔵野個別指導塾

空間対角線の底面への正射影を描き、射影と高さを含む直角三角形で、底面との角や空間対角線の長さを計算します。

よくあるのは、高1の高校生が直方体の見取り図に描かれた角を、そのまま求める角にする場面です。紙の上で大きく開いて見える角も、立体を斜めから描く過程で形が変わっています。どの線が底面にあり、どこへ垂線を下ろしたかを先に決めると、計算に使う三角形を取り出せます。長さと角を一度に眺めるのでなく、底面と縦の断面を順に調べましょう。

どの角を求めるのか

直方体の縦、横、高さが与えられ、向かい合う頂点を結ぶ線分と底面のなす角を求める問題があります。また、その角と底面の辺から高さを逆算する問題もあります。さらに、空間対角線の長さが先に与えられる場合は、底面の対角線を使って高さが正に定まるかを確かめます。

いずれも、見取り図に角の印を付ける前に、線分の底面への写り先を決めます。底面の辺と空間対角線の角を求める問題なら別の三角形が必要です。問題文が指定する相手が「平面」か「辺」かを読み落とさないでください。ここでは直方体の対角線と底面を中心に扱い、平面どうしの角には立ち入りません。

底面に写して断面を取り出す

底面を長方形 ABCD、A、B、C、D の真上の頂点をそれぞれ E、F、G、H とします。空間対角線 AG の端 A は底面上にあります。G から底面に垂線 GC を下ろすと、垂足は C です。線分 AG の底面への正射影は AC です。両端を平面に垂直な方向へ写して結んだ線分と考えます。

図1のように、AG と底面のなす角は、AG とその正射影 AC のなす角 ∠GAC です。直方体の高さ GC は底面に垂直なので、底面上の AC と直交します。したがって三角形 ACG は C を直角とする三角形です。図1の左は立体を紙に投影した見取り図で、紙上の角や長さを直接測るための図ではありません。右は断面を独立して描いた図です。

図1の断面で、角 ∠GAC を θ とすると、向かい側は GC、隣の辺は AC、斜辺は AG です。よって、長さが正のとき次の関係が使えます。

tan θ = GC/AC
sin θ = GC/AG
cos θ = AC/AG

底面の対角線 AC は、直角三角形 ABC に三平方の定理を使って求めます。例えば AB = a、BC = b、高さ CG = h なら、AC² = a² + b²、AG² = a² + b² + h² です。a、b、h が正であれば θ は 0度より大きく90度より小さい角になります。分母が0ではないこともこの条件で確かめられます。

射影が点になる線分は底面に垂直で、なす角は90度です。逆に線分が底面と平行なら、なす角は0度です。斜めの線分では、射影の向きを使って鋭角を選びます。端点から下ろした垂線の足が底面の外にあっても、平面を延長して足を取る点は同じですが、以下の直方体では C が底面の頂点なので延長は不要です。

断面を選ぶ理由をもう一度たどる

線分と平面の角を、平面の中にある適当な線との角で代用すると、選んだ線によって答えが変わってしまいます。射影 AC なら、G と C を結ぶ方向が底面のどの方向にも垂直なので、三角形 ACG の形が定まります。A から C に進む距離は、空間対角線を底面に沿って見たときの距離です。高さだけを横に並べて足すのではなく、直角をはさむ2辺として組み合わせます。

底面の対角線を求める段階と、空間対角線を求める段階では、三平方の定理を使う三角形が違います。前者では AB と BC が直角をはさみ、AC が斜辺です。後者では AC と CG が直角をはさみ、AG が斜辺です。同じ AC が最初は斜辺、次は直角をはさむ辺になります。図に戻り、そのつど直角の向かいを確かめると、辺の役割を取り違えずに済みます。

たとえば高さが不明で、底面と角が与えられたときは、底面の対角線に tan の値を掛けます。高さが先にわかり底面の対角線を求めたい場合には、同じ式を未知数について解くため割り算になります。直方体の辺が正で、角が鋭角であることを確認してから割れば、0で割ることを避けられます。立式後には得た辺を比に戻し、指定の角の三角比と一致するか調べます。

基本例題：横長の箱の対角線

底面の辺 AB = 3 cm、BC = 4 cm、高さ CG = 5 cm の直方体 ABCD-EFGH があります。AG と底面 ABCD のなす角を度で求め、AG の長さを根号を用いて表してください。

図2のように G から底面へ垂線 GC を下ろし、AC を結びます。まず底面の直角三角形 ABC で、三平方の定理を使います。

AC² = AB² + BC²
AC² = 3² + 4²
AC² = 25
AC = 5 cm

AC は長さなので正の平方根を取ります。次に直角三角形 ACG で、θ = ∠GAC と置きます。

tan θ = CG/AC
tan θ = 5/5
tan θ = 1
θ = 45度

θ は鋭角なので45度です。空間対角線の長さも同じ断面から求めます。

AG² = AC² + CG²
AG² = 5² + 5²
AG² = 50
AG = 5√2 cm

答えを戻すと、底面の対角線は5 cm、高さも5 cmなので、断面は直角二等辺三角形です。角が45度という結果と一致します。さらに (5√2)² = 50 で、2辺の二乗の和に戻ります。見取り図の紙上の角が45度に見えるかどうかは、この確認には使いません。

標準例題：角から高さへ戻る

底面の辺が 6 cm と 8 cm の直方体で、空間対角線と底面のなす角が30度です。高さと空間対角線の長さを、それぞれ根号を用いて cm で表してください。

底面の対角線を d cm、高さを h cm、空間対角線を l cm とします。底面の2辺は直交するので、次のようになります。

d² = 6² + 8²
d² = 100
d = 10

断面では底面の対角線が30度に隣り、高さが向かい合います。tan 30度 = 1/√3 を用います。

h/10 = 1/√3
h = 10/√3
h = 10√3/3

斜辺については cos 30度 = √3/2 を用います。

10/l = √3/2
√3 l = 20
l = 20/√3
l = 20√3/3

両方とも正です。高さと斜辺の比を戻すと (10√3/3)/(20√3/3) = 1/2 となり、sin 30度 と一致します。また l² = 400/3、d² + h² = 100 + 100/3 = 400/3 です。2つの照合は、高さを斜辺と取り違えていないかも確かめます。

発展例題：長さから角を決める

底面の辺が 5 cm と 12 cm の直方体の空間対角線が 26 cm です。高さを根号を用いて cm で求め、空間対角線と底面のなす角を度で求めてください。

底面の対角線を d cm、高さを h cm とします。底面で三平方の定理を使った後、縦の断面で再び使います。

d² = 5² + 12²
d² = 169
d = 13
h² + 13² = 26²
h² = 676 - 169
h² = 507
h = 13√3

高さは正なので、負の平方根は採りません。角を θ とすると、隣の辺と斜辺がわかっているので余弦を使えます。

cos θ = 13/26
cos θ = 1/2
θ = 60度

θ は鋭角です。高さを戻すと 13² + (13√3)² = 169 + 507 = 676 = 26² で、指定された空間対角線の長さになります。底面にも 5² + 12² = 13² が成り立ちます。

この道筋では、与えられた空間対角線が底面の対角線より長い必要があります。同じ長さなら高さは0で、正の高さをもつ直方体にはなりません。より短ければ h² が負になるので、実際の長さを作れません。式に代入する前に斜辺が他の辺より長いかを見ると、不成立の条件を見落とさずに済みます。

見取り図の角を拾ったときの直し方

基本例題で ∠GAB を求めて「これが底面との角」と答える誤りを考えます。AB は底面にありますが、AG の底面への射影ではありません。図3のように G の真下は C であり、A と C を結んだ AC が射影です。∠GAB は線分 AG と辺 AB の角として意味をもちますが、求められた平面との角とは別です。

直す手順は、まず G から底面への垂線 GC を示し、次に A と垂足 C を結び、最後に ∠GAC を印付けることです。図3の右の断面は AC と GC が直交する実際の形を表しています。∠GABを使うなら、直角三角形ABGでBG = √(4² + 5²) = √41より、tan∠GAB = √41/3です。底面との角θを求めるときは直角三角形ACGを選び直し、tan θ = CG/AC = 5/5 = 1とします。AB と BC の両方が底面の移動に関係するため、片方の辺だけでは射影の長さになりません。

別の誤りは、断面を正しく選んでも AG を隣辺として tan θ = GC/AG とすることです。AG は直角の向かい側なので斜辺です。この式は sin θ の定義に対応します。角の位置から対辺と隣辺を決め、直角から斜辺を決めてから比を書くと修正できます。

練習：射影を描いてから計算する

次の直方体では、特に断りのない限り、高さは底面に垂直です。角は空間対角線と底面のなす角です。長さは cm で、根号が必要なら根号を用いて表してください。

1. 底面の2辺が 8、15、高さが 17 のとき、底面の対角線と角を求めてください。
2. 底面の2辺が 9、12、角が45度のとき、高さと空間対角線を求めてください。
3. 底面の2辺が 7、24、空間対角線が 50 のとき、高さと角を求めてください。
4. 底面の2辺が 12、16、高さが 20√3 のとき、角と空間対角線を求めてください。
5. 底面の2辺が 20、21、空間対角線が 29 のとき、正の高さをもつ直方体が存在するか判定してください。

練習の解答と解き方

1. 底面の対角線を d とすると、底面の直角三角形から次を得ます。

d² = 8² + 15²
d² = 289
d = 17
tan θ = 17/17
tan θ = 1
θ = 45度

底面の対角線と高さはともに17なので、断面は直角二等辺三角形です。与えられた底面の2辺にも 8² + 15² = 17² が戻ります。

2. 底面の対角線を d、高さを h、空間対角線を l とします。

d² = 9² + 12²
d² = 225
d = 15
h/15 = tan 45度
h/15 = 1
h = 15
l² = 15² + 15²
l² = 450
l = 15√2

高さと底面の対角線が等しいため角は45度に戻ります。また (15√2)² = 450 で、断面の三平方の関係を満たします。

3. 底面の対角線を d、高さを h とします。

d² = 7² + 24²
d² = 625
d = 25
h² = 50² - 25²
h² = 1875
h = 25√3
cos θ = 25/50
cos θ = 1/2
θ = 60度

高さは正です。25² + (25√3)² = 2500 = 50² なので、指定された空間対角線に戻ります。底面の長さも 7² + 24² = 25² を満たします。

4. 底面の対角線を d、空間対角線を l とします。

d² = 12² + 16²
d² = 400
d = 20
tan θ = 20√3/20
tan θ = √3
θ = 60度
l² = 20² + (20√3)²
l² = 1600
l = 40

20/40 = 1/2 なので cos 60度 に戻ります。高さも (20√3)² = 40² − 20² を満たします。

5. 底面の対角線を d、高さを h とすると、

d² = 20² + 21²
d² = 841
d = 29
h² = 29² - 29²
h² = 0
h = 0

正の高さをもつ直方体は存在しません。高さ0を断面に戻すと空間対角線は底面の対角線と一致しますが、立体としての高さの条件を満たさないからです。式の値が計算できても、問題の条件に戻す必要があります。

手元に残す要点

底面への垂線の足と、底面上の端点を結ぶと射影ができます。 底面の対角線を先に求め、射影と高さを含む直角断面を描きます。 求める角の対辺・隣辺・斜辺を決めて三角比を選びます。 長さの正値と元の条件を最後に確かめます。

式が進まないときの確認

最初の式が立たないときは、見取り図の線を増やし続けず、垂足に印を付けて断面だけを描き直します。射影が底面の辺だと考えた場合は、その辺の端点が垂足と一致するかを確かめます。比が逆になった場合は、θ の位置と直角の位置を断面に書き込み、辺の役割を声に出して対応させると誤りの場所が見えます。

個別指導で確認するなら、答えの数字より先に、垂線の足、射影、直角の印を指して説明できるかを見ます。続いて底面と断面の2つの式を並べ、各辺がどちらの図に属するかを確かめます。紙上の見かけから離れ、垂足と射影で空間の角が定まります。