高校数学I 面積から角を求める問題—正弦の値から二つの候補を出して追加条件で選ぶ｜武蔵野個別指導塾

二辺と面積から間の角の正弦を求め、補角の候補を挙げます。追加された辺の長さの条件で、残す角を選びます。

よくあるのは、高1の高校生が三角形の2辺と面積を見て、角が1つに定まると考える場面です。2本の辺の長さを固定して片方を開いていくと、高さが同じになる開き方は、直角を境に2通りありえます。面積の式から正弦を出すところで終わらず、図形に戻して角の候補を調べましょう。

どの条件が角を決めるか

たとえば、2辺の長さと面積から、その間の角を求める問題があります。面積が適切な大きさなら、鋭角と鈍角の2候補が現れます。さらに「間の角は鈍角」とあれば、そのうち鈍角を選べます。一方、面積が2辺から決まる上限を超えれば、計算を進めても三角形は作れません。

逆に、面積が上限と一致すれば間の角は直角です。候補の個数は、式に数を入れる前に決まっているわけではありません。辺の指定、面積の正負、角に添えられた条件を別々に読むことが出発点です。

学習範囲として、三角比を鈍角まで広げ、三角形の計量に用いる内容を扱います。ここでは2辺とその間の角に注目し、三辺のみから面積を求める方法には立ち入りません。

高さから角の候補へ

三角形 ABC で AB = c、AC = b、間の角を A、面積を S とします。三角形なので b > 0、c > 0、0° < A < 180° です。このとき面積の公式は次の形です。

S = (1/2)bc sin A
sin A = 2S/(bc)

角 A は、長さ b と c の辺が出会う頂点の角です。角 B や角 C を間違って代入しないよう、式に入れる前に2辺を図でたどります。bc は正なので、両辺を割る操作もできます。

図1のように、底辺を固定してもう1辺の先端を左右に移すと、同じ高さにある2点から同じ面積が生じます。片方の角を θ とすると、もう片方は 180° − θ です。鈍角の正弦はその補角の正弦と等しいため、正弦の値だけでは区別できません。図1の2つの三角形は底辺ともう1辺の長さがそれぞれ共通で、高さも共通です。

正弦の値を k = 2S/(bc) と置いて、次の順に確かめます。面積 S が正で k < 1 なら、0° と 180° の間に補角の関係にある2候補があります。k = 1 なら 90° の1候補、k > 1 なら候補はありません。S = 0 は3点が一直線に並ぶ退化した形で、三角形としては採用しません。負の面積も三角形の面積にはなりません。

この判定は、正弦が 1 以下であることから言えます。したがって成立する面積は 0 < S ≤ bc/2 です。上限 bc/2 は2辺が直角に交わるときに実際に得られるので、単なる超えてはいけない目安ではなく、達成できる最大値です。0 に近い正の面積は作れますが、0 自体は三角形の面積として取れません。

基本例題：2つの開き方を残す

三角形 ABC で AB = 8 cm、AC = 6 cm、面積が 12 cm² です。角 A を度数で求め、該当する角をすべて答えてください。

図2のように、指定された2辺は頂点 A で交わります。面積の最大値は (1/2)・8・6 = 24 cm² なので、12 cm² は正で上限未満です。三角形の角として2候補を調べる準備ができました。

面積公式に代入します。

12 = (1/2)・8・6・sin A
12 = 24 sin A
sin A = 1/2

0° < A < 180° において sin A = 1/2 となる角は 30° と 150° です。よって答えは 30°、150° です。30° の正弦が 1/2 で、150° はその補角です。片方を書いた時点では、もう片方が残っていないか確認します。

元の面積へ戻して確かめます。どちらの角でも高さは 6・(1/2) = 3 cm です。底辺 8 cm と高さ 3 cm から面積は (1/2)・8・3 = 12 cm² となります。どちらも角が 0° と 180° の間にあり、高さが正なので、実際に三角形を作れます。

標準例題：追加条件で選ぶ

三角形 PQR で PQ = 10 cm、PR = 4 cm、面積は 10√3 cm² です。角 P は鈍角です。角 P を度数で求めてください。

長さ 10 cm と 4 cm の間が角 P です。最大面積は 20 cm² で、10√3 < 20 です。実際、正の数について (10√3)² = 300 < 400 = 20² なので、与えられた面積は上限未満です。

10√3 = (1/2)・10・4・sin P
10√3 = 20 sin P
sin P = √3/2

三角形の内角の範囲では候補は 60° と 120° です。鈍角という条件に合うのは 120° なので、答えは 120° です。60° も面積の条件には合いますが、鈍角ではないため除きます。除いた理由を「面積が違う」とすると、2候補の意味を取り違えます。

検算では sin 120° = sin 60° = √3/2 を使います。高さは 4・√3/2 = 2√3 cm、面積は (1/2)・10・2√3 = 10√3 cm² です。角は 90° より大きく 180° より小さいため、面積と鈍角の両条件に戻ります。

発展例題：残る辺で開き方を選ぶ

三角形 XYZ で XY = 7 cm、XZ = 8 cm、面積は 14 cm² です。さらに YZ > √113 cm とします。角 X を度数で求めてください。

まず面積だけから候補を探します。最大面積は 28 cm² であり、与えられた 14 cm² はその半分です。

14 = (1/2)・7・8・sin X
14 = 28 sin X
sin X = 1/2

したがって X = 30° または 150° です。ここで追加条件は角の名前ではなく、残る辺の長さを比べています。余弦定理をそれぞれの候補に使います。

YZ² = 7² + 8² - 2・7・8 cos X
YZ² = 113 - 112 cos X

X = 30° なら cos X = √3/2 です。

YZ² = 113 - 112・√3/2
YZ² = 113 - 56√3
YZ² < 113
YZ < √113

辺の長さは正なので、二乗を比較して長さを比較できます。この候補は追加条件に合いません。一方、X = 150° なら cos X = -√3/2 です。

YZ² = 113 - 112・(-√3/2)
YZ² = 113 + 56√3
YZ² > 113
YZ > √113

よって答えは 150° です。求めた角を面積に戻すと、(1/2)・7・8・(1/2) = 14 cm² です。さらに上の余弦定理の結果から残る辺の条件も満たします。2辺が正で、その間の角が 0° より大きく 180° より小さいので、この角から三角形を作れます。

この比較には図形的な見方もあります。2辺の長さを固定すると、鈍角の方は先端どうしが遠くなります。ただし、数で指定された条件を判定するときは、どの長さと比べるかを式に残します。正弦が同じことと余弦が同じことは別です。

誤答を修正する

図3のように、2辺が 10 cm と 6 cm、面積が 15 cm² のとき、間の角を 30° と答える途中計算を考えます。

15 = (1/2)・10・6・sin A
sin A = 1/2
A = 30°

ここまでは 30° が条件に合うことを示しています。しかし、角をすべて求める問題の答えとしては不足です。sin 150° も 1/2 なので、図3の鈍角の三角形も面積が 15 cm² です。修正後の答えは 30°、150° です。高さはどちらも 6・1/2 = 3 cm、面積は (1/2)・10・3 = 15 cm² です。

反対に、常に2個と決めるのも誤りです。同じ2辺で面積が 30 cm² なら sin A = 1 であり、角は 90° の1個です。面積が 31 cm² なら sin A = 31/30 となり、正弦が 1 を超えるので三角形は存在しません。面積が 0 cm² のときも、辺が一直線になって三角形になりません。公式の変形ができても図形が成立するとは限らないため、計算結果の範囲を確認します。

また、与えられた角が2辺の間にない場合に同じ式をそのまま使うことはできません。頂点と辺を対応させ直し、面積公式に使う角を探します。たとえば AB と AC を使うなら、共通の端点 A の角が対象です。図の向きが変わっても、その対応は変わりません。

練習問題

長さの単位は cm、面積の単位は cm² です。角度は度数で答え、複数ある場合は条件を満たす角をすべて挙げてください。いずれも三角形の指定した2辺の間の角を θ とします。

1. 2辺が 12 と 5、面積が 15 です。θ を求めてください。
2. 2辺が 9 と 8、面積が 18√3 です。θ は鋭角です。θ を求めてください。
3. 2辺が 14 と 3、面積が 21 です。θ を求めてください。
4. 2辺が 11 と 4、面積が 23 です。そのような三角形が存在するか答えてください。
5. 2辺が 6 と 4、面積が 6√2 です。残る辺の長さを d とし、d > √52 とします。θ を求めてください。

練習問題の解答と確かめ

1. 補角を残す

15 = (1/2)・12・5・sin θ
15 = 30 sin θ
sin θ = 1/2
θ = 30° または 150°

どちらも内角の範囲にあります。それぞれの高さは 5・1/2 = 5/2 なので、面積は (1/2)・12・(5/2) = 15 です。正の高さであり、2候補とも元の条件に戻ります。

2. 鋭角を選ぶ

18√3 = (1/2)・9・8・sin θ
18√3 = 36 sin θ
sin θ = √3/2
θ = 60° または 120°

鋭角は 60° なので答えは 60° です。高さは 8・√3/2 = 4√3、面積は (1/2)・9・4√3 = 18√3 です。60° は鋭角という追加条件にも合います。120° は面積には合いますが鋭角ではありません。

3. 上限に達する角

21 = (1/2)・14・3・sin θ
21 = 21 sin θ
sin θ = 1
θ = 90°

答えは 90° です。直角なら高さは辺の長さ 3 に等しく、面積は (1/2)・14・3 = 21 です。正弦が最大の 1 になる位置は、この内角の範囲で直角に限られます。

4. 上限を超える面積

最大面積 = (1/2)・11・4
最大面積 = 22
23 > 22

したがって、そのような三角形は存在しません。式に入れても sin θ = 23/22 > 1 となり、内角の正弦として実現できないことを確認できます。直角でさえ面積は 22 なので、指定の 23 へ戻せる角はありません。

5. 残る辺の条件を使う

6√2 = (1/2)・6・4・sin θ
6√2 = 12 sin θ
sin θ = √2/2
θ = 45° または 135°

余弦定理で残る辺を調べます。

d² = 6² + 4² - 2・6・4 cos θ
d² = 52 - 48 cos θ

45° なら d² = 52 − 24√2 < 52 であり、d > √52 に反します。135° なら d² = 52 + 24√2 > 52 なので条件に合います。答えは 135° です。角を戻すと面積は (1/2)・6・4・√2/2 = 6√2 です。残る辺も正で、求めた二乗は指定の不等式を満たします。

条件が足りないときの答え方

角を1つに決めるよう求められていても、面積と2辺から2候補が残り、他の条件がないなら、一方を勝手に選べません。両方を示し、それぞれが面積を満たすことを確かめます。反対に「鈍角」という条件があっても、正弦の値が 1 より大きければ候補自体が存在せず、鈍角を選ぶ段階には進めません。

指定された面積が負である場合も、長さと高さからできる三角形の面積には合いません。0 の場合は線分が重なる境界なので、面積公式に形式的に代入して得た 0° や 180° を内角として採用しないことが必要です。数の範囲、候補、追加条件の順で調べれば、条件不足と成立しない条件を区別できます。

手元に残す要点

• 面積を2辺の積の半分で割り、間の角の正弦を出します。
• 正弦が 0 より大きく 1 より小さければ、補角の2候補を調べます。
• 最大面積では直角、最大面積を超える条件では三角形はありません。
• 追加条件を各候補に戻し、残る角を選びます。
• 面積と角の範囲を元の問題で確かめます。

途中で止まったときの見分け方

式を立てられないときは、2辺の共通の端点に印を付け、その角を θ と呼びます。正弦の値が出た後に止まるなら、半円の左右に同じ高さの点を置き、補角を図に書き加えてみてください。面積の条件と鋭角・鈍角などの追加条件を、別々の行で判定すると取りこぼしに気づけます。

個別指導で確かめるなら、まず面積公式の2辺と角が同じ頂点に集まっているか、次に候補のそれぞれを元の面積へ戻せるかを、図と式を並べて点検します。候補がない場合も、最大面積と指定値の比較を説明できれば、計算の行き止まりが意味のある結論に変わります。面積から角を探すときは、正弦の値の先にある候補まで見届けます。