高校数学I 三辺から角を求める問題—余弦定理の式を角について整理し値の範囲を確かめる｜武蔵野個別指導塾

三辺が三角形を作る条件を先に確かめ、余弦定理で角の余弦を求めて、特殊角や最大角を特定します。

よくあるのは、三辺の長さが与えられた高1の高校生が、必ず三角形を描けると考えて計算を始める場面です。長さがどれも正でも、短い2辺の和が最長辺に届かなければ、両端を結べません。まず図形が存在するかを確かめ、その後で辺と向かい合う角を対応させます。角の値が特殊角でなくても、余弦の値や角の大小までは正確に判断できます。

三辺から何を尋ねられるか

3本の棒の長さを指定して、三角形を作れるか、作れるならある頂点の角を求める問題があります。最初に成立を調べると、存在しない角に公式を適用する誤りを防げます。等号になる場合は一直線に並び、面積を持つ三角形にはなりません。

また、3つの角のうち最大の角を選ぶ問題では、すべての角を計算する必要はありません。辺の長さと向かい合う角の大小関係を使います。一方、特定の角度を答える問題では、その角に対する余弦を求め、特別な角の値と照合します。学習指導要領の数学Iには、余弦定理と三角形の決定が含まれます。

三角形を作る条件と余弦の対応

三角形ABCで、角A、角B、角Cに向かい合う辺の長さをそれぞれa、b、cとします。つまりaはBC、bはCA、cはABです。どの角に着目しても、その角をはさむ2辺と、その角の向かい側の1辺を区別します。

3つの長さが正であることに加え、それぞれの2辺の和が残りの1辺より大きい必要があります。これを三角不等式と呼びます。最長の辺をL、残りをM、Nとすると、正の長さについてはM + N > Lを調べれば十分です。他の2つの和は、正の長さを最長辺に足すのでそれぞれ残りの辺を超えるからです。

図1のように、2本の辺を最長辺の両端から伸ばしても、和が最長辺以下では先端が一直線上で接するか、届きません。和が最長辺より大きいときには、先端を合わせて面積のある三角形を作れます。等号は成立条件に含めないことが要点です。

成立する三角形では余弦定理により、角Aについて次の式が成り立ちます。

a² = b² + c² - 2bc cos A
2bc cos A = b² + c² - a²
cos A = (b² + c² - a²)/(2bc)

bとcは正なので、分母2bcは正です。分子では、求めたい角の向かいの辺aの二乗を引きます。式の形を覚えるときは、引く辺を図に書き込むと対応が明確です。角Bならb²を引き、角Cならc²を引きます。

三角形の内角は0度より大きく180度より小さいため、余弦の値は-1より大きく1より小さくなります。実際、三角不等式からa < b + c、かつa > |b − c|です。両辺は非負なので二乗して整理すると、上の余弦はこの範囲に入ります。逆に計算値が1や-1、またはその範囲の外なら、計算ミスか三辺の成立条件を見直します。端の値は一直線の場合に対応し、三角形の内角にはなりません。

余弦が1/2、0、-1/2なら、それぞれ60度、90度、120度です。0度から180度までの余弦は角が大きくなるにつれて小さくなるので、対応する角は一意に決まります。ほかの値を得た場合、無理に特殊角へ丸めず、余弦の値のまま答えるか、問題が許す方法で角度を求めます。

基本例題：向かいの辺を引く

三角形ABCの辺がBC = √7、CA = 2、AB = 3です。角Aを度数法で求めてください。

最長辺は3です。2 + √7 > 3なので三角形は成立します。求める角Aをはさむ辺は2と3で、向かいの辺は√7です。図2の辺の配置を式に移します。

余弦定理から、次のように一行ずつ変形します。

(√7)² = 2² + 3² - 2・2・3 cos A
7 = 4 + 9 - 12 cos A
12 cos A = 6
cos A = 1/2
A = 60度

角Aは三角形の内角なので、0度より大きく180度より小さい範囲から選びました。答えを元の条件に戻すと、2² + 3² − 2・2・3・(1/2) = 7です。向かいの辺は正なので√7となり、与えられた長さと一致します。

ここで最長辺3の向かいは角Cです。角Aが60度でも、それが最大の角とは限りません。求める角の記号と、最大の角の記号を別々に確認してください。図の見た目で最大角を選ぶより、辺の長さとの対応を使う方が確実です。

標準例題：鈍角と最大角を調べる

三角形PQRの辺がQR = √19、RP = 2、PQ = 3です。角Pを度数法で求め、最大の角を答えてください。

最長辺は√19です。2 + 3 = 5 > √19なので成立します。√19 > 3 > 2であり、最長辺QRの向かいの角Pが最大です。角Pをはさむ2辺は2と3です。

(√19)² = 2² + 3² - 2・2・3 cos P
19 = 4 + 9 - 12 cos P
12 cos P = -6
cos P = -1/2
P = 120度

検算では、4 + 9 − 12・(-1/2) = 19となります。正の長さを取るとQR = √19です。120度は鈍角であり、残る2角の和は60度なので、それぞれ120度より小さいことも確認できます。

余弦の符号は角の種類を示します。内角の範囲では、正なら鋭角、0なら直角、負なら鈍角です。ただし負という情報だけでは120度と決まりません。角度まで答えるには、得られた値と特殊角の値を照合する必要があります。

辺の大小から角の大小がわかる理由も確認しましょう。例えばa > bなら、余弦定理でa² − b²を整理すると、向かい合う角の大小に対応します。別の見方として、長い辺上に短い辺と同じ長さを取って二等辺三角形を作れば、外角はそれに隣接しない内角より大きいことから、長い辺の対角が大きいと示せます。等しい辺の対角は二等辺三角形の性質により等しくなります。

発展例題：存在する範囲と角の大小

3辺の長さが3、5、xの三角形を考えます。xは正とします。長さxの辺に向かい合う角をXとするとき、三角形が成立するxの範囲と、Xが60度となるxを求めてください。さらに、そのときの最大角がどの辺の向かいにあるか答えてください。xは根号を用いた厳密な値で表します。

三角不等式を3つ書きます。

3 + 5 > x
3 + x > 5
5 + x > 3

x > 0に注意すると、最後の不等式は常に成立します。残りを整理すると、成立する範囲は2 < x < 8です。x = 2では3とxが一直線に並んで5となり、x = 8でも3と5が一直線に並ぶため、どちらも除きます。

次に、存在する範囲で余弦定理を用います。

x² = 3² + 5² - 2・3・5 cos X
x² = 9 + 25 - 30・(1/2)
x² = 19
x = √19

長さは正なので負の平方根は採用しません。2 < √19 < 8を確かめると、求めた値は成立範囲に入ります。さらに3² + 5² − (√19)² = 15、2・3・5 = 30なので、余弦は15/30 = 1/2に戻ります。内角の範囲でX = 60度です。

3 < √19 < 5なので、最長辺は5です。最大角は長さ5の辺の向かいにあります。xの辺が60度の向かいであっても、その辺が最大とは限らない点に注意します。成立範囲の確認と求めた根の確認は別の作業であり、両方を記すと条件を落としにくくなります。

誤答を直す：等号の先へ進まない

長さ2、3、5を三辺として、5の向かいの角を求めようとしたとします。次の計算は形式上はできます。

cos θ = (2² + 3² - 5²)/(2・2・3)
cos θ = -12/12
cos θ = -1

ここから「三角形の角は180度」と結論するのが誤答です。図3のように2 + 3 = 5なので、2本を一直線に並べたときに端が重なるだけです。高さがなく、三角形の内角としてのθは存在しません。

修正するときは余弦の計算を始める前に、2 + 3 > 5が成り立つかを調べます。等号なので「三角形は成立しない」と答えて止めます。もし最長辺が6なら2 + 3 < 6となり、今度は両端が届きません。等しい場合と足りない場合は図の状態が違いますが、どちらも面積のある三角形にはなりません。

逆に成立する長さで余弦が範囲外に出たら、まず引く辺が求める角の向かいか、二乗の計算が正しいかを確かめます。分母にある2辺は角をはさむ辺です。長さを大きい順に並べた後、その順番をそのまま公式に入れると対応を取り違えることがあります。

練習：成立、角、大小を使い分ける

次の5問はそれぞれ独立した問題です。角度は度数法、根号は厳密な形で答えてください。図は自分で描き、辺と対角を記入してから計算します。

1. 長さ4、6、11の3本の線分で三角形を作れますか。理由も答えてください。
2. 三角形ABCでBC = √13、CA = 3、AB = 4です。角Aを求めてください。
3. 三角形DEFでEF = √31、FD = 3、DE = 5です。角Dの余弦を分数で求め、鋭角か鈍角か答えてください。
4. 三角形GHIでGH = 7、HI = 8、IG = 9です。最大角と最小角を頂点の記号で答え、最大角の余弦を分数で求めてください。
5. 三辺が4、7、tの三角形で、長さtの辺の向かいの角が90度です。成立するtの範囲と、その条件を満たすtを求めてください。

練習の答えと道筋

1. 届く長さを比べる

4 + 6 = 10
10 < 11

短い2本の和が最長の11より小さいので、三角形は作れません。短い辺を一直線に伸ばしても11に1届かず、端点を合わせられません。正の長さであることだけでは成立しない例です。

2. 鋭角を求める

4が最長辺で、3 + √13 > 4なので成立します。角Aの向かいは√13です。

13 = 3² + 4² - 2・3・4 cos A
13 = 25 - 24 cos A
24 cos A = 12
cos A = 1/2
A = 60度

元に戻すと、9 + 16 − 24・(1/2) = 13です。正の平方根を取るとBC = √13となります。内角の範囲にある60度が条件を満たします。

3. 余弦の符号を読む

最長辺は√31であり、3 + 5 > √31なので成立します。角Dの両側は3と5です。

31 = 3² + 5² - 2・3・5 cos D
31 = 34 - 30 cos D
30 cos D = 3
cos D = 1/10

答えはcos D = 1/10で、角Dは鋭角です。これは特別角の値ではないため、度数の整数に丸めません。元の式には34 − 30・(1/10) = 31と戻ります。余弦が正なので角Dは鋭角です。

4. 辺と角の向かい合いを確認する

7 + 8 > 9なので三角形は成立します。最長辺IGの向かいは角H、最短辺GHの向かいは角Iです。したがって最大角はH、最小角はIです。角Hをはさむ辺は7と8です。

9² = 7² + 8² - 2・7・8 cos H
81 = 49 + 64 - 112 cos H
112 cos H = 32
cos H = 2/7

式に戻すと49 + 64 − 112・(2/7) = 81です。正の平方根からIG = 9となり、与えた最長辺を復元できます。余弦が正でも、最大角を求めるには辺の対応を別途確認します。

5. 範囲に答えを戻す

三角不等式は4 + 7 > t、4 + t > 7、7 + t > 4です。正のtについて整理すると3 < t < 11です。角が90度なら余弦は0なので、余弦定理から次を得ます。

t² = 4² + 7² - 2・4・7・0
t² = 65
t = √65

3 < √65 < 11なので成立範囲に入ります。また65 = 16 + 49なので、辺の二乗を元に戻すと直角の条件を満たします。長さは正のため、負の平方根は除きます。

記憶の置き場所

• 正の三辺は、短い2辺の和が最長辺より大きいときに三角形を作ります。
• 余弦定理では、求める角の向かいの辺の二乗を引きます。
• 内角の余弦は-1より大きく1より小さく、特殊角は値と範囲を照合します。
• 長い辺の向かいに大きい角があり、等しい辺の向かいの角は等しくなります。
• 答えを余弦定理と三角不等式に戻して確かめます。

式のどこで止まったかを見つける

図を描く前に式へ数を入れてしまう場合は、まず最長辺に印を付け、残る2辺の和を書くところから始めます。成立後に角とその向かいの辺を同じ印で結ぶと、分子で引く値を選びやすくなります。計算が合っていても角の名前が違う場合は、辺の大小と対角の対応を図に戻して点検します。

個別指導で確かめるなら、等号が出たときの線分の並びを描き、余弦が-1になる式と三角形が存在しない理由を隣に書いてみます。成立する例では、出した角の余弦を元の式に代入し、指定された辺を復元できるかを見ます。三辺を見た最初の一手が、角を求める計算の土台です。